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高考数学冲刺讲义必修3 第三章 概率


概率
------事件与概率 ------古典概型 ------随机数的含义与应用

事件与概率
随机现象

在自然界和人类社会里,经常遇到两类不同的现象: 必然现象和随机现象。 我们知道,把一石块抛向空中,它会掉到地面上来; 我们生活的地球,每天都在绕太阳转动;一个人随着 岁月的消逝,一定会衰老,死亡…..这类现象称

为必 然现象。 另一类现象称为随机现象,它们具有 这样的特点:当在相同的条件下多次 观察同一现象,每次观察到的结果不 一定相同,事先很难预料哪一种结果 会出现。

例如:一名学生练习投篮,对每次投篮,他可能 进球也可能不进球。这是一种随机现象。 在城市中,当我们走到装有交通信号灯的十字路 口时,可能遇到绿灯,也可能遇到红灯。这也是 一种随机现象。 生活中的随机现象还有很多,

大家也可以举例!

其实,总结一下,发生在我们身边的事件无非 分三种: 不可能事件,必然事件与随机事件。 我们这章主要学习的是概率,那么计算概率就离不 开对事件的定义和分析。 通常用大写英文字母A,B, C,……来表示随机事件,随机事件 可以简称为事件。

在一次试验中,我们常常要关心的是所有可
能发生的基本结果,它们是试验中不能再分 的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘, 这样的事件称为基本事件,所有基本事件构成的集 合称为基本事件空间。

基本事件空间常用大写希腊字母

? 表示。

例如:投掷一枚硬币,观察硬币落地 后哪一面向上。这个试验的基本事件 空间就是集合{正面向上,反面向上}, 即 ? ? { 正面向上,反面向上 }

投掷一颗骰子,观察掷出的点数,
这个试验的基本事件空间为

? ? {1,2,3,4,5,6}
例1:连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现 正面还是反面。 (1)写出这个试验的基本事件空间;

(2)求这个试验的基本事件的总数;
(3)“恰有两枚正面向上” 这一事件包含哪几个基本事件?

解:(1)用类似上面一先一后掷两枚硬币时基 本事件的记法,这个试验的基本事件空间

? ? {(正,正,正 ), (正,正,反 ), (正,反,正 ), (正,反,反 ), (反,正,正 ), (反,正,反 ), (反,反,正 ), (反,反,反 )}
(2)基本事件的总数是:8. (3) “恰有两枚正面向上”

包含以下3个基本事件:
(正,正,反),(正,反,正),

(反,正,正)。

频率与概率
随机事件在试验中可能发生,自然产生发生的可能 性有多大的问题。 例2:我们一起来掷硬币。把全班 分成十几个小组,每个小组4至5人。 各小组把一枚均匀硬币至少掷100 次,观察掷出正面向上的次数,然 后把试验结果及计算结果填入下表:

小组编号

抛掷次数(n)

正面向上次数(m)

正面向上频率(m/n)

当全班做完这一试验后,把试验结果 公布,请大家谈谈事件“正面向上” 的发生有没有什么规律可循。如果大 家觉得很浪费时间,那么我们就看看 历史上一些学者还做了成千上万次掷 硬币的试验,结果如下所示:

试验者 棣莫佛 浦丰 费勒 皮尔逊 皮尔逊

抛掷次数(n)

正面向上次数(m) 正面向上频率(m/n)

2048 4040 10000

1061 2048 4979

0.5181 0.5069 0.4979

12000 24000

6019 12012

0.5016 0.5005

人们经过大量试验和实际经验的积累 逐渐认识到:在多次试验中,同一事 件发生的频率在某一个数值附近摆动, 而且随着试验次数的增加,一般摆动 幅度越小,而且观察到的大偏差也越 少。

频率呈现一定的稳定性。频率的稳定性揭示 出随机事件发生的可能性有一定的大小。事 件的频率稳定在某一数值附近,我们就用这 一数值表示事件发生的可能性大小。
一般地,在n次重复进行的试验中, 事件A发生的频率m/n,当n很大时, 总是在某个常数附近摆动,随着n 的增加,摆动幅度越来越小,这时 就把这个常数叫做事件A的概率, 记作P(A)。

从定义中,我们还可以看出,概率是可以通过频率 来“测量”的,或者说频率是概率的一个近似值。 概率在0和1之间浮动,因为有“不可能事件” 和“必然事件”。 “不可能事件”的概率是 0, “必然事件”是1.

0 ? P( A) ? 1
通过上面的试验我们能够用频率推 算出概率,那么概率的这种定义叫 做概率的统计定义。

例3:为了确定某类种子的发芽率,从一大批 种子中抽出若干批做发芽试验,其结果如下:
种子粒数 发芽粒数 发芽率

25

70

130

700

2000

3000

24 60 116 639 0.96 0.857 0.892 0.913

1806 2713 0.903 0.904

能不能从中计算出这类种子的发芽的概率为多少呢?
习题时间: 概率应该在0.905左右。 学生甲在求事件A的概率时,算得事件 A的概率P(A)=1.2,学生乙看了后说 “你一定算错了。”试问乙的根据是 什么? 0 ? P( A) ? 1 概率不能大于1.

概率的加法公式
通过一段时间的学习,我们对概率有了一个新的 认识。现在我们来学习有关概率的新知识。 概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式, 根据它可以计算一些较为复杂事件的概率。先看两 个例子引入事件的两个概念:互斥事件和事件的并。

例4:抛掷一颗骰子,观察掷出 点数。设事件
A为“出现奇数点”,B为“出现2点”, 已知 的概率。

1 1 P( A) ? , P( B) ? 2 6

,求“出现奇数点或2点”

这里的事件A和事件B不可能同时发生。这种不可能 同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事 件)。
设事件C为“出现奇数点或2点”,它也是一 个随机事件。事件C与事件A,B的关系是: 若事件A和事件B中至少有一个发生,则C发 生;若C发生,则A,B中至少有一个发生。 我们称事件C为A与B的并(或和)。

即求事件C的概率为A事件与B事件相加。 1 1 2 P(C ) ? ? ? 2 6 3
一般地,由事件A和B至少有一个发生(即A发生,或 B发生,或A,B都发生)所构成的事件C,称为事件A 与B的并(或和),记作C=A∪B。事件A∪B是由事件 A或B所包含的基本事件组成的集合。 由概率的统计定义,可知

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
以上讲述的是互斥事件的概率加法公式。

例5:在数学考试中,小明的成绩在90分以上 的概率是0.18,在80至89分的概率是0.51,在 70至79分的概率是0.15,在60至69分的概率 是0.09.计算小明在数学考试中取得80分以上 成绩的概率和小明考试及格的概率? 解:分别记小明的考试成绩在90分以 上,在80至89分,在70至79分,在60 至69分为事件B,C,D,E。
这4个事件是彼此互斥的。根据公式小 明的成绩在80分以上的概率是:

P( B ? C) ? P( B) ? P(C) ? 0.18 ? 0.51 ? 0.69;
小明考试及格的概率,即成绩在60分以上的概率。 由公式得:

P( B ? C ? D ? E) ? P( B) ? P(C ) ? P( D) ? P( E) ? 0.18 ? 0.51 ? 0.15 ? 0.09 ? 0.93.

A 在上面例题中,令 A =“小明考试及格”, 明考试不及格”,

=“小

显然 A 与 A 是互斥事件,且 A 或 A 必有一个发生, 即

A? A ? ?

像这样不能同时发生且必有一个发生的两个 事件叫做互为对立事件。

P( A) ? 1 ? P( A)
因此,这样看来,在上一道例题中求“小明考试不 及格”的概率,则由公式得:

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.93 ? 0.07
即小明考试不及格的概率为0.07.

古典概型
古典概型
如何求概率是这节我们要研究的问题。用随机事件 发生的频率来近似求概率。其实,有很多时候我们 不需要去做大量重复的试验就可以得到随机事件的 概率。 例子: 1.掷一枚硬币,正面向上的概率; 2.掷骰子,出现5点的概率; 3.过3个十字路口,没有等 交通信号灯的概率等等。

以上3个例子有两个共同的特征:
(1)有限性 在一次试验中,可能出现的结果只 有有限个,即只有有限个不同的基本事件; (2)等可能性 每个基本事件发生的可能性是均 等的。
我们称这样的试验为古典概型。

上述3个例子都是古典概型。

一个事件是否是古典概型,在于这个试验是 否具有古典概型的两个特征:有限性和等可 能性。

P ( A) ?

事件A包含的基本事件数 试验的基本事件总数

这一定义称为概率的古典定义。

例6:甲,乙两人做出拳游戏(锤子,剪刀,布)。 求:(1)平局的概率; (2)甲赢的概率; (3)乙赢的概率。 解:甲有3种不同的出拳方法,每一种 出法是等可能的,乙同样有等可能的3 种不同出法。 一次出拳游戏共有3乘3,共9种不同的 结果,可以认为这9种结果是等可能的。 所以一次游戏(试验)是古典概型。它 的基本事件总数为9.

设平局为事件A,甲赢为事件B,乙赢为事件C
乙 布

由图容易得到:
(1)平局含3个基本事件(图中的 (2)甲赢含3个基本事件(图中的 ) )


剪 锤

(3)乙赢含3个基本事件(图中的 甲

3 1 P ( A) ? ? ; 9 3 由古典概率的计算公式,可得: 3 1 P( B) ? ? ; 9 3 3 1 P (C ) ? ? 9 3
锤 剪 布

习题时间:
1.从含有三件正品和一件次品的4件产品中不放回地任 取两件,求取出的两件中恰有一件次品的概率。 解:设取出的两件中恰有一件次品的事件为A,
(正1,正2),(正1,正3),(正1,次),

? ?{

(正2,正1),(正2,正3),(正2,次), (正3,正1),(正3,正2),(正3,次), (次,正1), (次,正2), (次,正3),

}

6 1 P( A) ? ? 12 2
2.从1,2,3,…30中任意选一个数, 求下列事件的概率:

(1)它是偶数;(2)它能被3整除。

解:(1)设“它是偶数”的事件为A,
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30 共15个数为偶数。“它是偶数”的概率为:

15 1 P( A) ? ? 30 2
(2)同理,设“它能被3整除”的事件为B, 则概率为:

10 1 P( B) ? ? 30 3

随机数的含义与应用
几何概型 在古典概型中利用等可能性的概念,成功地计 算了某一类问题的概率。不过,古典概型要求 可能结果的总数必须有限。

那么, 对于无限的问题怎么求概率呢?

例7:在500mL的水中有一只草履虫,现从中随机取 出2mL水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概 率。 以上例子的可能结果个数无限,所以它们都不 是古典概型。 设所求事件为A:“在取出的2mL 水样中有草履虫”的概率等于水 样的体积与总体积之比

2 ? 0.004. 500

事件的概率只与子区域的几何度量(长度, 面积或体积)成正比,而与事件的位置和形 状无关。 满足以上条件的试验称为几何概型。

几何度量(长度,面积或体积 ) P( A) ? 总长度,面积或体积

几何概型的特点------无限性!

例8:一海豚在水池中自由游弋。水池为长 30m,宽20m的长方形。求海豚嘴尖离岸边 不超过2m的概率?
30m

20m

如图所示,区域是长30m, 宽20m的长方形。图中阴 影部分表示事件A:“海 豚嘴尖离岸边不超过2m”。

2m

对于几何概型,关键是要构造 出随机事件对应的几何图形, 利用图形的几何度量来求随机 事件的概率。

问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分 的概率,于是

?? ? 30 ? 20 ? 600(m ), ?A ? 30 ? 20 ? 26 ?16 ? 184(m )
2 2

? A 184 23 P( A) ? ? ? . ?? 600 75

习题时间:

有一个长方形的木板,长6cm,宽4cm。现在以该 长方形木板的对角线交点为圆心画一个直径为2cm 的圆O,现有一枚硬币,问该硬币不落在圆O内的 概率是多少? 设硬币落在圆O中的事件为A,则
事件A的概率为:

P( A) ?

?

24
?
24

那么,不落在圆O内的概率 就是用1-P(A),即: P( B) ? 1 ?

总结:
概率与频率的联系与区别;
如何用古典概型求概率,什么是古典概型; 如何用几何概型求概率,什么是几何概型;


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