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直线的倾斜角和斜率


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2.1.1《直线的倾斜角和斜率》说课稿
各位专家评委: 你们好!今天我说课的课题是“直线的倾斜角和斜率”。由于本节内容的知识容量稍 大,我将分两课时讲授。第一课时着重处理直线的斜率和倾斜角,第二课时着重处理斜率与 倾斜角的关系。下面我从说教材、说教法、说学法、说教学过程等四个方面向各位专家阐述 我对《直线的倾斜角斜率》第一课时的构思与设想。 一、教材分析 1、教材的地位及作用 我说课的内容是北师大版必修 2 第二章的第一节,这是解析几何的开篇之作。俗话说: 好的开端是成功的一半;因此,这节内容不管是从知识点,还是从思想方法上来说都是很重 要的。本节课涉及到两个知识点:直线的倾斜角和斜率,它是直线的基本要素,是研究直线 方程, 直线的位置关系等的思维起点; 本节课也为后面进一步学习直线的方程及两条直线的 位置关系提供了知识保障。 另外, 本节课是在学生对原有的直线的简单几何知识了解的基础 上, 重新以坐标化的方式来研究直线的倾斜程度等相关性质。 这也是初步向学生渗入解析几 何的基本思想:用代数方法解决几何问题。这个思想方法的渗入对学生以后进一步学习解析 几何是很有帮助的。因此,本节课有着开启全篇,奠定基础,承前启后的重要作用。 2、三维目标分析 (1)知识与技能 结合具体图形探索确定直线的几何要素, 理解直线的倾斜角和斜率的概念, 掌握用代数 方法刻画直线斜率的过程及过两点的直线的斜率的计算公式。 (2)过程与方法 经历用代数方法研究直线问题的过程,在从直观到抽象,从几何到代数的过程中,初步 掌握解析几何的基本思想。 (3)情感、态度与价值观 认识数学内容之间的内在联系,加强数形结合认识问题的观念,感受坐标系的价值。 3、教学重点与难点分析 教学重点:直线的倾斜角和斜率的概念,过两点的直线斜率的计算公式; 教学难点:倾斜角的确定和用代数方法刻画直线斜率的过程。 二、教法分析 (1)教学方法 课堂讲授应有利于学生的数学素质的形成与发展, 即在课堂讲授过程当中, 要善于创设 问题的情境,激发学生积极的发现问题解决问题,充分调动学生学习的主动性、积极性;有 效地渗入数学思想方法。根据这样的原则及所要完成的教学目标,我采用观察发现、启发引 导、探索交流相结合的教学方法。 (2)教学手段 本节课采用多媒体课件及实物演示相结合的教学手段,使抽象的知识直观化、形象化。 三、学法分析 主动探究,独立思考是学生学习数学的重要方式。由直观到抽象,层层深入,遵循了概 念教学的原则和学生的认识规律。 教学中充分体现学生的主体地位, 充分调动学生的学习积 极性和主动性,给学生较大的空间,使学生获得全面的发展。
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四、教学程序 (一)问题导入 问题(1)两点确定一条直线,那么过原点的直线有多少条? 问题(2)与 x 轴正方向所成的角为 30? 的直线有多少条? 问题(3)在平面直角坐标系中,确定直线位置的几何条件是? 学生进行思考、联想一般能回答问题(1) (2) (3) ,从而引出本节课的一个知识点:直线 的倾斜角 问题(4)道路的倾斜程度可以用坡度来刻画。那么,我们熟悉的坡度是怎样确定的? 对于问题(4) ,学生思考后,老师借助书本或直尺进行演示,并用课件演示,让学生有一个 感性认识,体验坡度是由什么来确定的。 再由学生概括出: (坡度=高度/宽度) 问题(5)熟悉了坡度的概念后,如果给你直线上两点,你能用它们的坐标来刻画其倾 斜度吗?(要求学生联想问题情景) 由学生讨论引出课题:直线的倾斜角 (二)讲授新课(时间安排约 12 分钟) (一)倾斜角的概念: 在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l ,把 x 轴(正方向)按逆时针方 向绕着交点旋转到和直线 l 重合时所 角称为直线的倾斜角. 规定:当直线和 x 轴平行或重合时,直线倾斜角为 0 倾斜角 ? 的范围是 0 ? ? ? 180 .
设计思路:从学生的熟悉的生活背景引入,分析学生熟悉的例子,符合学生的认知规律。采用类比推理的 方法,把楼梯的倾斜程度与直线的倾斜程度进行类比,展现了知识的发生和发展过程,降低了学习的难度。

(二)斜率的概念 直线的斜率:平面直角坐标系中,已知两点 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ) ,如果 x1 ? x2 ,那么直线 PQ 的斜率为
k? y2 ? y1 x2 ? x1 ? 纵坐标的增量 ?y ? ( x ? x2即?x ? 0) 横坐标的增量 ?x 1

(引进增量之比这与以后学习导数是一致的)

思考: (1)斜率公式与两点的顺序有关吗? (2)对一条与 x 轴不垂直的定直线而言,直线的斜率是定值吗? (3)如果 x1 ? x2 ,那么直线 PQ 的斜率怎样? 问题讨论: 垂直于 x 轴的直线, 斜率不存在, 我们用什么来反映这类直线的倾斜程度呢? (通过课件向学生展示四个不同倾斜方向的直线在坐标系中的图像,让学生观察) 学生观察并进行讨论,引出下一个知识点: ★概括:倾斜角和斜率都是刻画直线倾斜程度的量,斜率侧重于数量关系,而倾斜角则更 加直观形象. (四)数学应用(例题讲解约 10 分钟,当堂练习约 12 分钟) 例 1 直 线 l1 , l2 , l3 , l4 都 经 过 P(3,2) , 又 l1 , l2 , l3 , l4 分 别 经 过 点

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,讨论 l1 , l2 , l3 , l4 斜率的是否存在,如存在,求

Q1 (?2,?1),Q2 (4,?2),Q3 (?3,2),Q4 (3,5)

出直线的斜率。 思考:直线的倾斜方向与直线斜率有什么联系?(分类)
(本例题设置的过程安排了四种不同的情形,一方面有利于学生对所学知识的串联,累积和加工,另 一方面也为后续学习斜率与倾斜角的关系作辅垫。 )

例 2 经过点 A(3,2)画直线,使直线的斜率分别为①不存在;②0;③

3 4 ;④ ? 4 5

(本例题设置目的在于理解斜率的几何意义,即平移和纵、横坐标增量间的关系,解题时应提供两种解法:

一为待定系数法,二为利用几何意义解题。斜率数值的设置顺序上也体现了有特殊到一般的认知规律)

例 3 已知直线 l 经过点 A(m, 2) 、 B(1, m2 ? 2) ,求直线 l 的斜率及当 m ? 1 时的倾斜角.
(本例题的设置目的在于让学生从斜率及倾斜角两个角度来熟悉本节课的重点内容)

练习(设计意图: (1)着重基础;(2)、 (3)着重知识的运用) (1)判断下列命题的真假: ① 若两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等; ② 若两条直线的斜率相等,则它们的倾斜角也一定相等; ③ 若两条直线的倾斜角不等,则它们中倾斜角大的,其斜率也大; ④ 若两条直线的斜率不等,则它们中斜率大的,其倾斜角也大。 (2)已知三点 A(?3,?3), B(?1,1),C (2,7) ,求 KAB,KBC 思考:如果 KAB=KBC,那么 A、B、C 三点有怎样的关系?有什么用处? (3)已知三点 A(a, 2), B(3,7), C (?2, ?9a) 在一条直线上,求实数 a 的值.

(五)回顾小结(时间安排约 3-4 分钟) 1.直线的斜率的概念及过两点的直线斜率的计算公式; 2.直线的倾斜角的概念及倾斜角的范围. (六)课后作业(时间安排约 1 分钟) 课后练习题 1、2、3、4. 以上是我的就《直线的斜率》第一课时的构思与设想。直线的斜率与倾斜角的关 系将在第二课时中讲解。不足之处请各位专家评批评指正,谢谢!

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