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2014高考数学备考学案(文科)能力提升第45课 递推数列求通项(2)


递推数列求通项(2) 1 1.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? 1 ? ,求 a n . an 1 1 1 【解析】∵ an ?1 ? 1 ? ,∴ an ? 2 ? 1 ? , ?? an ?1 an ? 1 an 1 an ?3 ? 1 ? ? 1 ? an ? 1 ? an , an ? 2 从而数列 {an } 是以 3 为周期的周期数列. 1

1 又 a1 ? 2 , a2 ? 1 ? ? , a3 ? ?1 , 2 2 ? 2, n ? 3k ? 1, ?1 ? ∴ an ? ? , n ? 3k ? 2, 其中 k ? N . ?2 ? ?1, n ? 3k ? 3, ?
2.已知数列{ an }满足 a1 ? 1? an ? an ?1 ? 3n ? 2(n ? 2) . (1)求 a2 ? a3 ; (2)求数列{ an }的通项公式. 【解析】 (1)∵数列{ an }满足 a1 ? 1? an ? an ?1 ? 3n ? 2(n ? 2)? ∴ a2 ? a1 ? 4 ? 5? a3 ? a2 ? 7 ? 12 . (2)由 an ? an ?1 ? 3n ? 2(n ? 2) , 得 an ? an ?1 ? 3n ? 2? 由递推关系, 得 an ?1 ? an ?2 ? 3n ? 5? … ? a3 ? a2 ? 7? a2 ? a1 ? 4? 叠加得: an ? a1 ? 4 ? 7 ? …+ 3n ? 2

第 45 课

?

(n ? 1)(4 ? 3n ? 2) 3n2 ? n ? 2 ? ? 2 2
2

∴ an ? 3n ? n (n ? 2) .

2

当 n ? 1 时 ?1 ? a1 ? 3 ? 1 ? 1 ? 1?
2

2

∴数列{ an }的通项公式 an ? 3n ? n .
2

2

3.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? (1)求数列 {an } 的通项公式;

3 an ? 1 (n ? N* ) . 2

(2)在数列 {bn } 中, b1 ? 5 , bn ?1 ? bn ? an ,求数列 {bn } 的通项公式. 【解析】 (1)当 n ? 1 时, a1 ? 当 n ? 2 时, Sn ?

3 a1 ? 1 , ∴ a1 ? 2 . 2

3 an ? 1 , ① 2

3 Sn?1 ? an?1 ? 1(n ? 2) , ② 2 3 3 ①-②得: an ? ( an ? 1) ? ( an ?1 ? 1) ,即 an ? 3an ?1 , 2 2 ∴ 数列 {an } 是首项为 2,公比为 3 的等比数列.
∴ an ? 2 ? 3
n ?1


n ?1 n?2 n?2

(2)∵ bn ?1 ? bn ? an ,∴ bn ?1 ? bn ? 2 ? 3 ∴ n ? 2 时, bn ? bn?1 ? 2 ? 3

,即 bn ? bn ?1 ? 2 ? 3

∴ (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? (b4 ? b3 ) ? ??? ? (bn ? bn?1 )

? 2 ? (3n?2 ? ? ? 31 ? 30 ) ? 2 ?
∴ bn ? b1 ? 3
n ?1

1 ? 3n ?1 ? 3n ?1 ? 1 . 1? 3

?1,
n ?1

∵ b1 ? 5 ,∴ an ? 3 又当 n ? 1 时, 3
1?1

?4.

? 4 ? 5 ? b1 ,∴ bn ? 3n ?1 ? 4 .

4. (2012 丰台二模)已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,该数列的前 n 项和为 S n ,且满足
2 S3 ? a5 ? a2 .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 b1 ? a1 , bn ?1 ? bn ? 2 n (n ? N ) ,求数列 {bn } 的通项公式.
a *

【解析】 (1)∵ ?

? S3 ? a5 2 ? a5 ? a2

∴?

? 3a1 ? 3d ? a1 ? 4d , 2 ?a1 ? 4d ? (a1 ? d )

d ? ?a1 ? 1 ?a1 ? ∴? ,∵ d ? 0 ,∴ ? . ∴ an ? 2n ? 1. 2 ?d ? 2 ?d (d ? 1) ? 0 ?
(2)∵ bn ?1 ? bn ? 2 n (n ? N ) ,∴ b2 ? b1 ? 2 1 , b3 ? b2 ? 2 2 ,…… bn ? bn ?1 ? 2
a *

a

a

an?1



∴ bn ? b1 ? 2 1 ? 2 2 ? ? ? 2
a a

an?1

? 21 ? 23 ? ? ? 22n?3 ?

2(4n?1 ? 1) . 3

∴ bn ?

22 n ?1 ? 1 . 3


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