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集体备课教案1.3算法案例


霍城县江苏中学集体备课教案(试行稿)
年级 高一 学科 数学 主备人 王圣明 第 2 稿

教学内容:必修 3 第一章 1.3 算法案例 一、 教学目标(按考试大纲要求)
知识与技能 1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,并能根据这些原理 进行算法分析. 2. 了解秦九韶算法的计算过程,并理解利用秦九韶算法可以减少计算次 数提高计

算效率的实质. 3. 了解各种进位制与十进制之间转换的规律,会利用各种进位制与十进 制之间的联系进行各种进位制之间的转换. 过程与方法 1. 在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常 见的约分求公因式的方法 2. 模仿秦九韶计算方法,体会古人计算构思的巧妙. 3. 学习各种进位制转换成十进制的计算方法,研究十进制转换为各种 进位制的除 k 取余法,并理解其中的数学规律. 情感、态度与价值观 1.通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学 发展的贡献. 2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维 能力,在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的 能力.

复备人:

二、 重点、突破难点:
重点:1..理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法. 2.秦九韶算法的特点 3.各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换。 难点: 1.把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言 2.秦九韶算法的先进性理解. 3 除 k 取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计.

修改补充:

三、 如何突出重点、突破难点
1.在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学 规律,并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更 相减损术的程序框图与算法程序. 2.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变,体会科学的计 算. 3. 在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的

1

区别与联系,熟悉各种进位制表示数的方法,从而理解十进制转换为各 种进位制的除 k 取余法.

教学设计:教学过程
一、创设情景,揭示课题 1.教师首先提出问题:在初中,我们已经学过求最大公约数的知识, 你能求出 18 与 30 的公约数吗? 2.接着教师进一步提出问题,我们都是利用找公约数的方法来求最 大公约数,如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约 数,我们又应该怎样求它们的最大公约数?比如求 8251 与 6105 的最大 公约数?这就是我们这一堂课所要探讨的内容. 二、研探新知 1.辗转相除法 例 1 求两个正数 8251 和 6105 的最大公约数. (分析:8251 与 6105 两数都比较大,而且没有明显的公约数,如能 把它们都变小一点,根据已有的知识即可求出最大公约数) 解:8251=6105× 1+2146 显然 8251 的最大公约数也必是 2146 的约数,同样 6105 与 2146 的 公约数也必是 8251 的约数,所以 8251 与 6105 的最大公约数也是 6105 与 2146 的最大公约数. 6105=2146× 2+1813, 2146=1813× 1+333, 1813=333× 5+148, 333=148× 2+37, 148=37× 4+0, 则 37 为 8251 与 6105 的最大公约数. 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法.也叫欧几里德算法, 它是由欧几里德在公元前 300 年左右首先提出的.利用辗转相除法求最 大公约数的步骤如下: 第一步: 用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 q0 和一个余数 r0; 第二步:若 r0=0,则 n 为 m,n 的最大公约数;若 r0≠0,则用除数 n 除以余数 r0 得到一个商 q1 和一个余数 r1; 第三步:若 r1=0,则 r1 为 m,n 的最大公约数;若 r1≠0,则用除数 r0 除以余数 r1 得到一个商 q2 和一个余数 r2; …… 依次计算直至 rn=0,此时所得到的 rn-1 即为所求的最大公约数. 练习:利用辗转相除法求两数 4081 与 20723 的最大公约数.(答案: 53) 2.更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术. 更相减损术求最大公约数的步骤如下:可半者半之,不可半者,副 置分母· 子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之. 翻译出来为:
2

第一步:任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数.若是,用 2 约 简;若不是,执行第二步. 第二步:以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比 较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数 (等数)就是所求的最大公约数. 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 解:由于 63 不是偶数,把 98 和 63 以大数减小数,并辗转相减,即: 98-63=35, 63-35=28, 35-28=7, 28-7=21, 21-7=14, 14-7=7, 所以,98 与 63 的最大公约数是 7. 练习: 用更相减损术求两个正数 84 与 72 的最大公约数. (答案: 12) 3.比较辗转相除法与更相减损术的区别 (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更 相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别 当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显. (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到. 三、创设情景,揭示课题 我们已经学过了多项式的计算,下面我们计算一下多项式 并统计所做的计 f ( x) ? x 5 ? x 4 ? x 3 ? x 2 ? x ? 1 当 x ? 5 时的值, 算的种类及计算次数. 根据我们的计算统计可以得出我们共需要 10 次乘法运算,5 次加法 运算. 我们把多项式变形为: f ( x) ? x 2 (1 ? x(1 ? x(1 ? x))) ? x ? 1 再统计 一下计算当 x ? 5 时的值时需要的计算次数, 可以得出仅需 4 次乘法和 5 次加法运算即可得出结果.显然少了 6 次乘法运算.这种算法就叫秦九韶 算法. 四、研探新知 秦九韶计算多项式的方法

f ( x) ? an x n ? an ?1 x n ?1 ? an ? 2 x n ? 2 ? ? (an x n ?1 ? an ?1 x n ? 2 ? an ?2 x n ?3 ? ? ((an x n ? 2 ? an ?1 x n ?3 ? ? …… ? (…((an x ? an ?1 ) x ? an ? 2 ) x ?

? a1 x ? a0 ? a1 ) x ? a0

? a2 ) x ? a1 ) x ? a0 ? a1 ) x ? a0.

这就是我国南宋时期数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出 的算法.这种算法就叫秦九韶算法.
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思考:对于 f(x)=(…( (anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+ a0,由内向外逐层计算一次多项式的值,其算法步骤如何? 第一步,计算 v1=anx+an-1. 第二步,计算 v2=v1x+an-2. 第三步,计算 v3=v2x+an-3. …… 第 n 步,计算 vn=vn-1x+a0. 思考:在秦九韶算法中,记 v0=an,那么第 k 步的算式是什么? vk=vk-1x+an-k (k=1,2,…,n). 例 1 已知一个 5 次多项式为

f ( x) ? 4x5 ? 2x4 ? 3.5x3 ? 2.6x2 ? 1.7 x ? 0.8 , 用秦九韶算法求这
个多项式当 x ? 5 时的值. 解: 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=( ( ( (4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 x=5 时的值: v0=4; v1=4?5+2=22; v2=22?5+3.5=113.5; v3=113.5?5-2.6=564.9; v4=564.9?5+1.7=2826.2; v5=2826.2?5-0.8=14130.2. 所以,当 x=5 时,多项式的值等于 14130.2. 思考: (1)例 1 计算时需要多少次乘法计算?多少次加法计算? (2) 在利用秦九韶算法计算 n 次多项式当 x ? x0 时需要多少次乘法 计算和多少次加法计算? 练习:利用秦九韶算法计算

f ( x) ? 0.83x 5 ? 0.41x 4 ? 0.16x 3 ? 0.33x 2 ? 0.5x ? 1
当 x ? 5 时的值,并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算? 五、创设情景,揭示课题 我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都 是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制, 电子计算机用的是二 进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又有什么联系呢? 六、研探新知 进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数 值.可使用数字符号的个数称为基数,基数为 n,即可称 n 进位制,简称 n 进制.现在最常用的是十进制,通常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进行记 数. 对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示 .比如:十进数 57,可以用二进制表示为 111001,也可以用八进制表示为 71、用十六进 制表示为 39,它们所代表的数值都是一样的.
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表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示, 如 111001(2)表示 二进制数,34(5)表示 5 进制数. 电子计算机一般都使用二进制,下面我们来进行二进制与十进制之 间的转化. 例 1 把二进制数 110011(2)化为十进制数. 解:110011=1?25+1?24+0?23+0?22+1?21+1?20 =32+16+2+1 =51. 例 2 把 89 化为二进制数. 解:根据二进制数满二进一的原则,可以用 2 连续去除 89 或所得商, 然后取余数. 具体的计算方法如下: 因为 89=2?44+1, 44=2?22+0, 22=2?11+0, 11=2?5+1, 5=2?2+1, 所以,89=2?(2?(2?(2?(2?2+1)+1)+0)+0)+1 =1?26+0?25+1?24+1?23+0?22+0?21+1?20 =1011001(2). 这种算法叫做除 2 取余法,还可以用下面的除法算式表示:

把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到 89=1011001(2) 上述方法也可以推广为把十进制化为 k 进制数的算法,这种算法成 为除 k 取余法. 当数字较小时,也可直接利用各进位制表示数的特点,都是以幂的 形式来表示各位数字,比如 2*103 表示千位数字是 2,所以可以直接求出 各位数字.即把 89 转换为二进制数时,直接观察得出 89 与 64 最接近故 89=64*1+25 同理:25=16?1+9,
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9=8?1+1, 即 89=64?1+16?1+8?1+1=1?26+1?24+1?23+1?20, 位数 数字 6 1 5 0 4 1 3 1 2 0 1 0 0 1

即 89=1011001(2) 练习:p45 页第 3 题 七、小结 1.辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算 法程序的编写. 2.秦九韶算法计算多项式的值及程序设计. 3. 进位制的概念及表示方法及十进制与二进制之间转换的方 法及计算机程序 作业:P48 习题 1.3 A 组 1. 习题 1.3 A 组 2. B 组 2 习题 1.3 A 组 3、4. 通过教学实践(上课、作业批改)对本教案实施效果的评估(A、B、C、D) : 。

不完善、还需要进一步改进的地方有:

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