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高中数学组卷0022题冉


高中数学组卷 0022 题冉
一.选择题(共 15 小题) 1. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存 最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又 以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其 体积 V 的近似公式 V≈ 为 3, 那么, 近似公式 V≈ A. B. C. D. L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取 L2h 相当于将圆锥体积公式中的 π 近似取为 ( )

2.中国古代数学名著《九章算术》中记载:今有大夫、不更、簪襃、上造、公 士凡五人, 共猜得五鹿, 欲以爵次分之, 问各得几何?意思是: 今有大夫、 不更、 簪襃、上造、公士凡五人,他们共猎获 5 只鹿,欲按其爵级高低依次递减相同的 量来分配,问各得多少,若五只鹿的鹿肉共 500 斤,则不更、簪襃、上造这三人 共分得鹿肉斤数为( A.200 B.300 C. ) D.400

3.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个设计几何体体积的 问题.意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等, 那么这两个几何体的体积相等.设 A,B 为两个等高的几何体,p:A,B 的体积 不相等,q:A,B 在同高处的截面面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p 是 q 的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 中国清朝数学家李善兰在 1859 年翻译 《代数学》 中首次将“function”译做: “函 数”,沿用至今,为什么这么翻译,书中解释说“凡此变数中函彼变数者,则此为 彼之函数”.1930 年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义, 已知集合 M={﹣1,1,2,4},N={1,2,4,16},给出下列四个对应法则:①y=log2|x|, ②y=x+1,③y=2|x|,④y=x2,请由函数定义判断,其中能构成从 M 到 N 的函数的 是( )
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A.①③

B.①②

C.③④

D.②④

5. 我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理 (组暅原理) : “幂势既同, 则积不容异”.“势”即是高,“幂”是面积.意思是:如果两等高的几何体在同高处 截得两几何体的截面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,类比祖暅原理, 如图所示,在平面直角坐标系中,图 1 是一个形状不规则的封闭图形,图 2 是一 个上底长为 1、下底长为 2 的梯形,且当实数 t 取[0,3]上的任意值时,直线 y=t 被图 1 和图 2 所截得的两线段长总相等,则图 1 的面积为( )

A.4

B.

C.5

D.

6.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的 《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如 图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入 n,x 的值分别为 3,2,则输出 v 的值为( )

A.35 B.20 C.18 D.9
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7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆 台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深 一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是( )

(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体 的体积公式 V= A.2 寸 B.3 寸 C.4 寸 D.5 寸 8. 《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著,其中有这样一段表述:“远看巍巍 塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”,其意大致为:有一七层宝塔,每 层悬挂的红灯数为上一层的两倍, 共有 381 盏灯, 则塔从上至下的第三层有 ( 盏灯. A.14 B.12 C.8 D.10 ) )

9.如图的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相 减损术”.执行该程序框图,若输入 a,b,i 的值分别为 6,8,0,则输出 a 和 i 的值分别为( )

A.2,4

B.2,5

C.0,4

D.0,5

10.二战中盟军为了知道德国“虎式”重型坦克的数量,采用了两种方法,一种是 传统的情报窃取, 一种是用统计学的方法进行估计,统计学的方法最后被证实比 传统的情报收集更精确,德国人在生产坦克时把坦克从 1 开始进行了连续编号, 在战争期间盟军把缴获的“虎式”坦克的编号进行记录, 并计算出这些编号的平均 值为 675.5,假设缴获的坦克代表了所有坦克的一个随机样本,则利用你所学过 的统计知识估计德国共制造“虎式”坦克大约有( A.1050 辆 B.1350 辆 C.1650 辆 D.1950 辆
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11.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创 制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所 示的“勾股圆方图”中, 四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形,若直角三角形中较小的锐角 地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是 ( ) ,现在向该正方形区域内随机

A.

B.

C. )

D.

12. 《中国诗词大会》 (第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开 场诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《将进酒》 《山 居秋暝》 《望岳》 《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场,且《将 进酒》排在《望岳》的前面, 《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均 不排在最后,则后六场的排法有( )

A.144 种 B.288 种 C.360 种 D.720 种 13.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中,有一道数学名题叫 “宝塔装灯”,内容为“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增;共灯三百八十一,请 问顶层几盏灯?”(加增的顺序为从塔顶到塔底) .答案应为( A.6 B.5 C.4 D.3 )

14.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设 a, b,m(m>0)为整数,若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余,记为 a=b(bmodm) .若 ,a=b(bmod10) ,则 b 的值可以是( A.2011 B.2012 C.2013 D.2014 )

15. 公元 263 年左右, 我国数学家刘徽发现, 当圆内接多边形的边数无限增加时, 多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘徽得到了圆 周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14, 这就是著名的徽率. 如图是利用刘徽
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的割圆术设计的程序框图,则输出的 n 值为( 参考数据:



,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305.

A.12 B.24 C.48 D.96

二.填空题(共 5 小题) 16.古代科举制度始于陏而成于唐,完备于宋、元.明代则处于其发展的鼎盛阶 段. 其中表现之一为会试分南卷、 北卷、 中卷按比例录取, 其录取比例为 11: 7: 2.若明宜德五年会试录取人数为 100.则中卷录取人数为 .

17.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍, 五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:“有一位善于织布的 女子,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天共织布 5 尺,问这位女子每天 分别织布多少?”根据上题的已知条件,若要使织布的总尺数不少于 20 尺,该女 子所需的天数至少为 .

18. 古代数学家杨辉在沈括的隙积数的基础上想到:若由大小相等的圆球剁成类 似于正四棱台的方垛,上底由 a×a 个球组成,杨辉给出求方垛中圆球总数的公 式如下:S= (a2+b2+ab+ ) ,根据以上材料,我们可得 12+22+…+n2= .

19. 大衍数列, 来源于中国古代著作 《乾坤谱》 中对易传“大衍之数五十”的推论. 其 前 10 项为:0、2、4、8、12、18、24、32、40、50.

通项公式:an=

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如果把这个数列{an}排成右侧形状,并记 A(m,n)表示第 m 行中从左向右第 n 个数,则 A(10,4)的值为 .

20. 《九章算术》是我国第一部数学专著,下有源自其中的一个问题:“今有金箠 (chuí ) ,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问金箠重几何?”其 意思为:“今有金杖(粗细均匀变化)长 5 尺,截得本端 1 尺,重 4 斤,截得末 端 1 尺,重 2 斤.问金杖重多少?”则答案是 .

三.解答题(共 2 小题) 21.“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目,选手面对 1~8 号 8 扇大门,依次 按响门上的门铃, 门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方 式演绎) ,选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基 金,在一次场外调查中,发现参赛选手多数分为两个年龄段: 20~30;30~40 (单位:岁) ,其猜对歌曲名称与否的人数如图所示. (Ⅰ)写出 2×2 列联表;判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄 有关;说明你的理由: (下面的临界值表供参考) P(K2≥k0) k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879

(Ⅱ) 现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取 6 名选手,并抽 取 3 名幸运选手,求 3 名幸运选手中在 20~30 岁之间的人数的分布列和数学期 望. (参考公式:K2= ,其中 n=a+b+c+d)

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22. 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马 P﹣ABCD 中, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, 且 PD=CD, 过棱 PC 的中点 E, 作 EF⊥PB 交 PB 于点 F, 连接 DE,DF,BD,BE. (1)证明:PB⊥平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个 面的直角(只需写出结论) ;若不是,说明理由; (2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 ,求 的值.

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高中数学组卷 0022 题冉
参考答案与试题解析

一.选择题(共 15 小题) 1. (2017?衡水金卷一模) 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家 山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置 如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面 周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 V≈ 式中的圆周率 π 近似取为 3,那么,近似公式 V≈ 中的 π 近似取为( A. B. C. ) D. L2h,它实际上是将圆锥体积公 L2h 相当于将圆锥体积公式

【解答】解:设圆锥底面圆的半径为 r,高为 h, 依题意,L=2πr, 所以 即 π 的近似值为 故选:B. , . ,

2. (2017?衡水金卷一模)中国古代数学名著《九章算术》中记载:今有大夫、 不更、簪襃、上造、公士凡五人,共猜得五鹿,欲以爵次分之,问各得几何?意 思是:今有大夫、不更、簪襃、上造、公士凡五人,他们共猎获 5 只鹿,欲按其 爵级高低依次递减相同的量来分配,问各得多少,若五只鹿的鹿肉共 500 斤,则 不更、簪襃、上造这三人共分得鹿肉斤数为( A.200 B.300 C. D.400 )

【解答】解:按其爵级高低依次递减相同的量来分配,故该数列以公差为 d 的等 差数列,设簪襃得 a, 则大夫、不更、簪襃、上造、公士凡以此为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d, 故 a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=500,
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解得 a=100 则不更、簪襃、上造可得 a﹣d+a++a+d=3a=300, 故选:B

3. (2017?全国二模)祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个 设计几何体体积的问题. 意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体 的截面面积恒等, 那么这两个几何体的体积相等. 设 A, B 为两个等高的几何体, p:A,B 的体积不相等,q:A,B 在同高处的截面面积不恒相等,根据祖暅原理 可知,p 是 q 的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【解答】解:由 p? q,反之不成立. ∴p 是 q 的充分不必要条件. 故选:A.

4. (2017?4 月份模拟)中国清朝数学家李善兰在 1859 年翻译《代数学》中首次 将“function”译做:“函数”,沿用至今,为什么这么翻译,书中解释说“凡此变数 中函彼变数者, 则此为彼之函数”.1930 年美国人给出了我们课本中所学的集合论 的函数定义,已知集合 M={﹣1,1,2,4},N={1,2,4,16},给出下列四个 对应法则:①y=log2|x|,②y=x+1,③y=2|x|,④y=x2,请由函数定义判断,其中 能构成从 M 到 N 的函数的是( A.①③ B.①② C.③④ ) D.②④

【解答】解:在①中,当 x=±1 时,y=log21=0?N,故①错误; 在②中,当 x=﹣1 时,y=﹣1+1=0?N,故②错误; 在③中,任取 x∈M,总有 y=2|x|∈N,故③正确; 在④中,任取 x∈M,总有 y=x2∈N,故④正确. 故选:C.

5. (2017?贵州模拟)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(组暅
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原理) :“幂势既同,则积不容异”.“势”即是高,“幂”是面积.意思是:如果两等 高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等, 那么这两个几何体的体积相 等,类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中,图 1 是一个形状不规则的 封闭图形,图 2 是一个上底长为 1、下底长为 2 的梯形,且当实数 t 取[0,3]上 的任意值时,直线 y=t 被图 1 和图 2 所截得的两线段长总相等,则图 1 的面积为 ( )

A.4

B.

C.5

D.

【解答】 解: 根据题意, 由祖暅原理, 分析可得图 1 的面积等于图 2 梯形的面积, 又由图 2 是一个上底长为 1、下底长为 2 的梯形,其面积 S= 故选:B. = ;

6. (2016?四川)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人, 他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进 的算法. 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若 输入 n,x 的值分别为 3,2,则输出 v 的值为( )

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A.35 B.20 C.18 D.9 【解答】解:∵输入的 x=2,n=3, 故 v=1,i=2,满足进行循环的条件,v=4,i=1, 满足进行循环的条件,v=9,i=0, 满足进行循环的条件,v=18,i=﹣1 不满足进行循环的条件, 故输出的 v 值为: 故选:C

7. (2017?郴州二模)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在 下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径 为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是( )

(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体 的体积公式 V= A.2 寸 B.3 寸 C.4 寸 D.5 寸 【解答】解:如图,由题意可知,天池盆上底面半径为 14 寸,下底面半径为 6
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寸,高为 18 寸. ∵积水深 9 寸, ∴水面半径为 (14+6)=10 寸, 则盆中水的体积为 π×9(62+102+6×10)=588π(立方寸) . ∴平地降雨量等于 故选:B. =3(寸) .

8. (2017?郴州三模) 《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著,其中有这样一段 表述:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”,其意大致为:有 一七层宝塔,每层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有 381 盏灯,则塔从上至下 的第三层有( )盏灯. D.10

A.14 B.12 C.8

【解答】解:设第一层有 a 盏灯, 则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以 a1 为首项, 以 为公比的等比 数列,



=381,

解得 a1=192, ∴a5=a1×( )4=192× 故选:B. =12,

9. (2017?鹰潭一模)如图的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九 章算术》 中的“更相减损术”. 执行该程序框图, 若输入 a,b,i 的值分别为 6, 8, 0,则输出 a 和 i 的值分别为( )
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A.2,4

B.2,5

C.0,4

D.0,5

【解答】解:模拟执行程序框图,可得:a=6,b=8,i=0, i=1,不满足 a>b,不满足 a=b,b=8﹣6=2,i=2 满足 a>b,a=6﹣2=4,i=3 满足 a>b,a=4﹣2=2,i=4 不满足 a>b,满足 a=b,输出 a 的值为 2,i 的值为 4. 故选:A.

10. (2017?赣州一模)二战中盟军为了知道德国“虎式”重型坦克的数量,采用了 两种方法,一种是传统的情报窃取,一种是用统计学的方法进行估计,统计学的 方法最后被证实比传统的情报收集更精确, 德国人在生产坦克时把坦克从 1 开始 进行了连续编号,在战争期间盟军把缴获的“虎式”坦克的编号进行记录,并计算 出这些编号的平均值为 675.5, 假设缴获的坦克代表了所有坦克的一个随机样本, 则利用你所学过的统计知识估计德国共制造“虎式”坦克大约有( A.1050 辆 B.1350 辆 C.1650 辆 D.1950 辆 【解答】解:由题意 ∴n=1350, 故选 B. =675.5, )

11. (2017?南关区校级模拟)“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国 时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”, 用数形结合的方法给出了勾股 定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的
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小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形,若直角三角形中较小的锐角 在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是 ( )

,现

A.

B.

C. )

D.

【解答】解:观察这个图可知:大正方形的边长为 2,总面积为 4, 而阴影区域的边长为 ﹣1,面积为 4﹣2 =1﹣ .

故飞镖落在阴影区域的概率为 故选 A.

12. (2017?黄山二模) 《中国诗词大会》 (第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有 一首特别设计的开场诗词, 在声光舞美的配合下, 百人团齐声朗诵, 别有韵味. 若 《将进酒》 《山居秋暝》 《望岳》 《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在 后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面, 《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀 州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有( A.144 种 B.288 种 C.360 种 D.720 种 【解答】解:根据题意,分 2 步进行分析: ①、将《将进酒》 、 《望岳》和另两首诗词的 4 首诗词全排列,有 A44=24 种顺序, 由于《将进酒》排在《望岳》前面, 则这 4 首诗词的排法有 =12 种, )

②、这 4 首诗词排好后,不含最后,有 4 个空位, 在 4 个空位中任选 2 个,安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》 , 有 A42=12 种安排方法, 则后六场的排法有 12×12=144 种; 故选:A.
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13. (2017?黄山二模)在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中, 有一道数学名题叫“宝塔装灯”,内容为“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增;共 灯三百八十一,请问顶层几盏灯?”(加增的顺序为从塔顶到塔底) .答案应为 ( A.6 ) B.5 C.4 D.3

【解答】解:设此等比数列为{an},q=2,S7=381. 则 故选:D. =381,解得 a1=3.

14. (2017?湘潭三模)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较 深的研究.设 a,b,m(m>0)为整数,若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余,记为 a=b(bmodm) .若 ,a=b(bmod10) ,则 b 的值可以是( A.2011 B.2012 C.2013 D.2014
20 = (1+2) =320=910= (10﹣1)



【解答】 解: ∵
10

=

?1010﹣

?109+

?108+…﹣

?10+



∴a 被 10 除得的余数为 故选:A.

1,而 2011 被 10 除得的余数是 1,

15. (2017?湛江一模)公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形 的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用 割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14, 这就是著名的徽 率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的 n 值为( 参考数据: ,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305. )

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A.12 B.24 C.48 D.96 【解答】解:模拟执行程序,可得: n=6,S=3sin60°= ,

不满足条件 S≥3.10,n=12,S=6×sin30°=3, 不满足条件 S≥3.10,n=24,S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056, 满足条件 S≥3.10,退出循环,输出 n 的值为 24. 故选:B.

二.填空题(共 5 小题) 16. (2017?房山区一模)古代科举制度始于陏而成于唐,完备于宋、元.明代则 处于其发展的鼎盛阶段.其中表现之一为会试分南卷、北卷、中卷按比例录取, 其录取比例为 11:7:2.若明宜德五年会试录取人数为 100.则中卷录取人数为 10 .

【解答】解:由题意,明宜德五年会试录取人数为 100,则中卷录取人数为 100 × =10 人,

故答案为:10.

17. (2017?安徽模拟)我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有 女子善织, 日自倍, 五日织五尺, 问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为: “有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天共织布 5 尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,若要使织布的总尺
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数不少于 20 尺,该女子所需的天数至少为

7



【解答】解:由题意可得:该女子每天织布的量组成了等比数列{an},且其公比 q=2, 若她 5 天共织布 5 尺,即 S5=5,则 =5,解可得 a1= ,

若 Sn≥20,则有 解可得 n≥7,

≥20,即 2n≥125

即若要使织布的总尺数不少于 20 尺,该女子所需 7 天; 故答案为:7.

18. (2017?河北模拟)古代数学家杨辉在沈括的隙积数的基础上想到:若由大小 相等的圆球剁成类似于正四棱台的方垛,上底由 a×a 个球组成,杨辉给出求方 垛中圆球总数的公式如下: S= ( a2+b2+ab+ 12+22+…+n2= . )中, ) ,根据以上材料,我们可得

【解答】解:由题意,在 S= (a2+b2+ab+ 令 a=1,b=n, 则 S= (12+n2+1?n+ = (n+1) (2n+1) =12+22+…+n2. 故答案为: . )

19. (2017?金凤区校级二模)大衍数列,来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易 传“大衍之数五十”的推论.其前 10 项为:0、2、4、8、12、18、24、32、40、 50.

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通项公式:an=

如果把这个数列{an}排成右侧形状,并记 A(m,n)表示第 m 行中从左向右第 n 个数,则 A(10,4)的值为 3612 .

【解答】解:由题意,前 9 行,共有 1+3+…+17= A(10,4)为数列的第 85 项,∴A(10,4)的值为 故答案为 3612.

=81 项, =3612.

20. (2017?长春三模) 《九章算术》是我国第一部数学专著,下有源自其中的一 个问题:“今有金箠(chuí ) ,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问 金箠重几何?”其意思为:“今有金杖(粗细均匀变化)长 5 尺,截得本端 1 尺, 重 4 斤,截得末端 1 尺,重 2 斤.问金杖重多少?”则答案是 【解答】解:由题意可知等差数列中 a1=4,a5=2, 则 S 5= ∴金杖重 15 斤. 故答案为:15 斤. , 15 斤 .

三.解答题(共 2 小题) 21. (2017?湖南二模)“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目,选手面对 1~8 号 8 扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲 以单音色旋律的方式演绎) ,选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门 对应的家庭梦想基金,在一次场外调查中,发现参赛选手多数分为两个年龄段: 20~30;30~40(单位:岁) ,其猜对歌曲名称与否的人数如图所示. (Ⅰ)写出 2×2 列联表;判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄
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有关;说明你的理由: (下面的临界值表供参考) P(K2≥k0) k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879

(Ⅱ) 现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取 6 名选手,并抽 取 3 名幸运选手,求 3 名幸运选手中在 20~30 岁之间的人数的分布列和数学期 望. (参考公式:K2= ,其中 n=a+b+c+d)

【解答】解: (Ⅰ) 年龄/正 误 20~30 30~40 合计 K2= 正 确 10 10 20 错 误 30 70 100 合 计 40 80 120 =3>2.706

∴有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关…(4 分) (Ⅱ)设 3 名选手中在 20~30 岁之间的人数为 ξ,可能取值为 0,1,2,…(5 分) 20~30 岁之间的人数是 2 人…(6 分) P(ξ=0)= ξ P = ,P(ξ=1)= 0 1 2 = ,P(ξ=2)= = (10 分)

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…(11 分) Eξ=0× +1× +2× =1 …(12 分)

22. (2015?湖北) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的 四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳 马 P﹣ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD,过棱 PC 的中点 E,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F,连接 DE,DF,BD,BE. (1)证明:PB⊥平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个 面的直角(只需写出结论) ;若不是,说明理由; (2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 ,求 的值.

【解答】解法 1) (1)因为 PD⊥底面 ABCD,所以 PD⊥BC, 由底面 ABCD 为长方形,有 BC⊥CD,而 PD∩CD=D, 所以 BC⊥平面 PCD.而 DE? 平面 PDC,所以 BC⊥DE. 又因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,所以 DE⊥PC. 而 PC∩CB=C,所以 DE⊥平面 PBC.而 PB? 平面 PBC,所以 PB⊥DE. 又 PB⊥EF,DE∩FE=E,所以 PB⊥平面 DEF. 由 DE⊥平面 PBC,PB⊥平面 DEF,可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体 BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠ DFB. (2)如图 1,

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在面 BPC 内,延长 BC 与 FE 交于点 G,则 DG 是平面 DEF 与平面 ACBD 的交线. 由(Ⅰ)知,PB⊥平面 DEF,所以 PB⊥DG. 又因为 PD⊥底面 ABCD,所以 PD⊥DG.而 PD∩PB=P,所以 DG⊥平面 PBD. 所以 DG⊥DF,DG⊥DB 故∠BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角, 设 PD=DC=1,BC=λ,有 BD= , , .

在 Rt△PDB 中,由 DF⊥PB,得∠DPB=∠FDB= 则 tan 所以 = =tan∠DPF= = = = ,解得

故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 (解法 2)

时,

=



(1)以 D 为原点,射线 DA,DC,DP 分别为 x,y,z 轴的正半轴,建立空间直 角坐标系.设 PD=DC=1,BC=λ, 则 D(0,0,0) ,P(0,0,1) ,B(λ,1,0) ,C(0,1,0) , 点 E 是 PC 的中点,所以 E(0, , ) , 于是 =0,即 PB⊥DE. =(0, , ) , =(λ1,﹣1) ,

又已知 EF⊥PB,而 ED∩EF=E,所以 PB⊥平面 DEF. 因 =(0,1,﹣1) , =0,则 DE⊥PC,所以 DE⊥平面 PBC.

由 DE⊥平面 PBC,PB⊥平面 DEF,可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体 BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠
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DFB. (2)由 PD⊥底面 ABCD,所以 由(Ⅰ)知,PB⊥平面 DEF,所以 =(0,0,1)是平面 ACDB 的一个法向量; =(﹣λ,﹣1,1)是平面 DEF 的一个法向量. , = ,

若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 则运用向量的数量积求解得出 cos 解得 .所以所以 = = =

故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为

时,

=



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