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湖南省湘潭县一中、岳阳县一中2015-2016学年高二数学上学期第三次联考试题 文


湘潭县一中岳阳县一中 12 月高二联考 文科数学
时量:120 分钟 分值:150 分

本试卷分为第Ⅰ卷(基础部分 100 分)和第Ⅱ卷(能力部分 50 分)两部分,共 150 分,考 试用时 120 分钟 第Ⅰ卷(基础部分 100 分) 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.请将答案填涂在答题卡上 1.若 a ∈R,则“ a =1”是“| a |=1”的 ( ) A.充要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件 2.下列通项公式表示的数列为等差数列的是 A、 a n ? (
n

)

n n ?1
2

B、 an ? n ? 1
2

C、 an ? 5n ? (?1)

D、 an ? 3n ? 1 )

3.若函数 f(x)= x +ax+1的定义域为实数集 R,则实数 a 的取值范围为( A.(-2,2) C.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.[-2,2]

4.直线 l:x-2y+2=0 过椭圆左焦点 F1 和一个顶点 B,则该椭圆的离心率为 ( A . ) 1 5 B. 2 5 5 C. 5 5 D. 2 5

5. 函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数

f(x)
在开区间(a,b)内有极小值点的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

6. 命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定 是 .. A 所有不能被 2 整除的数都是偶数 B 所有能被 2 整除的数都不是偶数 C 存在一个不能被 2 整除的数是偶数 7. 已知双曲线 D 存在一个能被 2 整除的数不是偶数

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 10 x 的焦点重合,且双曲线的离

1

心率等于

10 ,则该双曲线的方程为( ) 3

A. x 2 ?

y2 9

?1

B.

x2 9

? y2 ? 1

C. x 2 ? y 2 ? 1

D.

x2 9

?

y2 9

?1

8.若 f ( x) 的定义域为 R , f ?( x) ? 2 恒成立, f (?1) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 解集为( ) A. (?1,1) B. (?1 , ? ?) C. (??, ?1) D. (??, ??)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答卷相应位置上 1 1 9. 已知 x> ,则函数 y=2x+ 的最小值是 2 2x-1 10. 在△ABC 中,若 a ? 4, b ? 5, c ? 61 ,则 ?C 的大小为
2 11. 已知命题 p : 函数 y ? (c ? 1) x ? 1在 R 上单调递增;命题 q : 不等式 x ? x ? c ? 0 的解集

是 ? .若 p 且 q 为真命题,则实数 c 的取值范围是 _

____.

? y ? x, ? 12.已知 x , y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? ?1, ?
13..设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1>0,S8=S13,Sk=0,则 k 的值为 三.解答题:本大题共 3 小题,共 35 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. ( 本 小 题 满 分 11 分 ) 已 知 点 D 为 Δ ABC 的 边 BC 上 一 点 . 且 BD =2DC,

?ADB ? 75? , ∠ACD=30°,AD = 2 .
求:(I)求 CD 的长; (II)求 Δ ABC 的面积

15. (本小题满分 12 分)已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S5 ? 30, a1 ? a6 ? 14 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 2

? ? 的前 n 项和公式.
an

1 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a2 ? 1) x ? b(a , b ? R) 3 ⑴若 x ? 1 为 f ( x) 的极值点,求 a 的值; ⑵若 y ? f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 , 求 f ( x) 在区间 [?2, 4] 上的最

2

大值; Ⅱ卷(能力部分 50 分) 一.选择题: (5 分) 17 如图,双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左焦点为 F1,顶点为 A1,A2,P 是双曲 a2 b2
F1 A1

y P x O A2

线上任意一点,则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上情况都有可能 二.填空题: (5 分) 18.设曲线 y ? xn?1 (n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横 坐标为 xn ,令 an ? lg xn ,则 a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为 .

三.解答题:本大题共 3 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19(本小题满分 13 分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点, 以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船恰好在失 事船正南方向 12 海里 A 处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 y ?

12 2 x ; 49

②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐 标为 7t . (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救 援船速度的大小; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

20(本小题满分 13 分).已知数列 {an } 的首项 a1 ? 4 ,前 n 项和为 Sn ,且

S n?1 ? 3S n ? 2n ? 4 ? 0(n ? N ? )
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
/ 2 3 n (Ⅱ)设函数 f ( x) ? an x ? an?1x ? an?2 x ? ?? a1x , f ( x) 是函数 f ( x ) 的导函数,令

bn ? f / (1) ,求数列 {bn } 的通项公式,并研究其单调性
3

21(本小题满分 14 分).已知椭圆 距离为 4。 (I)求椭圆的标准方程;

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,两焦点之间的 2 2 a b

(II)过椭圆的右顶点作直线交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A、B 两点, (1)求证:OA⊥OB; (2)设 OA、OB 分别与椭圆相交于点 D、E,过原点 O 作直线 DE 的垂线 OM,垂足为 M,证明|OM|为定值。

4

岳阳县一中、湘潭县一中高二联考 数学(文科)试题 本试卷分为第Ⅰ卷(基础部分 100 分)和第Ⅱ卷(能力部分 50 分)两部分,共 150 分,考 试用时 120 分钟 第Ⅰ卷(基础部分 100 分) 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.请将答案填涂在答题卡上 1.若 a ∈R,则“ a =1”是“| a |=1”的 ( C ) A.充要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件 2.下列通项公式表示的数列为等差数列的是 A、 a n ? ( D
n

)

n n ?1
2

B、 an ? n ? 1
2

C、 an ? 5n ? (?1)

D、 an ? 3n ? 1 D )

3.若函数 f(x)= x +ax+1的定义域为实数集 R,则实数 a 的取值范围为( A.(-2,2) C.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.[-2,2]

4.直线 l:x-2y+2=0 过椭圆左焦点 F1 和一个顶点 B,则该椭圆的离心率为 ( B ) 1 2 5 5 2 A . B. C. D. 5 5 5 5 5. 函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数

f(x)
在开区间(a,b)内有极小值点的个数为( A ) A.1 B.2 C.3 D.4 6. 命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定 是( D ..

)

A.所有不能被 2 整除的数都是偶数 B.所有能被 2 整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的数不是偶数 7. 已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 10 x 的焦点重合,且双曲线的离

心率等于

10 ,则该双曲线的方程为( B ) 3

A. x ?
2

y2 9

?1

B.

x2 9

? y ?1
2

C. x ? y ? 1
2 2

D.

x2 9

?

y2 9

?1

8.若 f ( x) 的定义域为 R , f ?( x) ? 2 恒成立, f (?1) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 解集为( B ) A. (?1,1)

, ? ?) B. (?1

C. (??, ?1)

D. (??, ??)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答卷相应位置上
5

1 1 9. 已知 x> ,则函数 y=2x+ 的最小值是 2 2x-1

3

10. 在△ABC 中,若 a ? 4, b ? 5, c ? 61 ,则 ?C 的大小为

2? 3

2 11. 已知命题 p : 函数 y ? (c ? 1) x ? 1在 R 上单调递增;命题 q : 不等式 x ? x ? c ? 0 的解集

是 ? .若 p 且 q 为真命题,则实数 c 的取值范围是 _ (1, ??) _____.

? y ? x, ? 12.已知 x , y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? ?1, ?

3

13..设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1>0,S8=S13,Sk=0,则 k 的值为

21

三.解答题:本大题共 3 小题,共 35 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. ( 本 小 题 满 分 11 分 ) 已 知 点 D 为 Δ ABC 的 边 BC 上 一 点 . 且 BD =2DC,

?ADB ? 75? , ∠ACD=30°,AD = 2 .
(I)求 CD 的长; (II)求 Δ ABC 的面积 ------2 分 所以 CD ? 2 ---5 分

解:(I)因为 ?ADB ? 75? ,所以 ?DAC ? 45?

CD AD ? 在 ?ACD 中, AD ? 2 ,根据正弦定理有 ? sin 45 sin 30 ? (II)所以 BD ? 4 又在 ?ABD 中, ?ADB ? 75? ,
sin 75? ? sin(45? ? 30? ) ?
所以 S?ADB ?

6? 2 4

------8 分 所以 S?ABC ?

1 AD ? BD ? sin75? ? 3 ? 1 2

3 3 3 ?3 S?ABD ? ---11 分 2 2

15. (本小题满分 12 分)已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S5 ? 30, a1 ? a6 ? 14 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 2

? ? 的前 n 项和公式.
an

解(Ⅰ)设等差数列 an 的公差为 d , 因为 S5 ? 30, a1 ? a6 ? 14

? ?

5? 4 ? d ? 30 ? 5a1 ? 所以 ? 解得 a1 ? 2, d ? 2. 2 ? ? 2a1 ? 5d ? 14
所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 an ? 2n ,令 bn ? 2
an

----4 分

-----6 分
n

则 bn ? 4 , 又

bn?1 4n?1 ? n ? 4(n ? N ? ) bn 4

所以 bn 是以 4 为首项,4 为公比的等比数列, -----10 分

? ?

6

设数列 bn 的前 n 项和为 Tn 则 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 4 ?
2 3 n

? ?

4(1 ? 4n ) 4n?1 4 ? ? 1? 4 3 3

---12 分

1 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a2 ? 1) x ? b(a , b ? R) 3 ⑴若 x ? 1 为 f ( x) 的极值点,求 a 的值; ⑵若 y ? f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 , 求 f ( x) 在区间 [?2, 4] 上的最
大值; 解:⑴ f ?( x) ? x2 ? 2ax ? a2 ? 1 , ----2 分 ∵ x ? 1 是 f ( x) 的极值点,∴ f ?(1) ? 0 ,即 a 2 ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 或 2.----5 分

1 ⑵∵ (1, f (1)) 在 x ? y ? 3 ? 0 上.∴ f (1) ? 2 ,∵ (1, 2) 在 y ? f ( x) 上,∴ 2 ? ? a ? a2 ? 1 ? b , 3 8 2 2 又 f ?(1) ? ?1 ,∴ 1 ? 2a ? a ? 1 ? ?1 ,∴ a ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1, b ? ,----8 分 3 1 8 ∴ f ( x) ? x2 ? x2 ? , f ?( x) ? x2 ? 2x ,由 f ?( x) ? 0 知 x ? 0 和 x ? 2 是 f ( x) 的极值点—10 分 3 3 8 4 ∵ f (0) ? , f (2) ? , f (?2) ? ?4, f (4) ? 8 ,∴ f ( x) 在区间 [?2, 4] 上的最大值为 8.--12 分 3 3 Ⅱ卷(能力部分 50 分) 一.选择题: (5 分)

x2 y2 17 如图,双曲线 2 ? 2 ? 1 的左焦点为 F1,顶点为 A1,A2,P 是双曲 a b
线上任意一点, 则分别以线段 PF1、 A1A2 为直径的两圆位置关系为( B ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上情况都有可能 二.填空题: (5 分) 18.设曲线 y ? x
n?1

y P F1 A1 O A2 x

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横
-2 .

坐标为 xn ,令 an ? lg xn ,则 a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为

解析:点(1,1)在函数y ? x n ?1 (n ? N * )的图像上, ? (1,1)为切点, y ? x n ?1的导函数为y ' ? (n ? 1) x n ? y ' |x ?1 ? n ? 1 ? 切线是:y ? 1 ? (n ? 1)( x ? 1) 令y=0得切点的横坐标:xn ? n n ?1 1 2 98 99 1 a1 ? a2 ? ... ? a99 ? lg x1 x2 ...x99 ? lg ? ? ...? ? ? lg ? ?2 2 3 99 100 100

7

三.解答题:本大题共 3 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19(本小题满分 13 分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点, 以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船 恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为 抛物线 y ?

12 2 x ; ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援; ③救援船出发 t 小时 49

后,失事船所在位置的横坐标为 7t . (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的 纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小; (2)问救援船的时速至少是 多少海里才能追上失事船? [解](1) t ? 0.5 时,P 的横坐标 xP= 7t ? 中,得 P 的纵坐标 yP=3 由|AP|=
949 2
7 2

,代入抛物线方程 y ?

12 49

x2 ----2 分
----4 分

,得救援船速度的大小为 949 海里/时 -------6 分

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t , 12t 2 ) . ---8 分 由 vt ? 因为 t 2 ?
2

(7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2 ,整理得 v 2 ? 144(t 2 ? 12 ) ? 337 ---10 分 t
1 t2

? 2 ,当且仅当 t =1 时等号成立,
2

所以 v ? 144? 2 ? 337 ? 25 ,即 v ? 25 . 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船 -------13 分 20(本小题满分 13 分).已知数列 {an } 的首项 a1 ? 4 ,前 n 项和为 Sn ,且

S n?1 ? 3S n ? 2n ? 4 ? 0(n ? N ? )
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
/ (Ⅱ)设函数 f ( x) ? an x ? an?1x2 ? an?2 x3 ? ?? a1xn , f ( x) 是函数 f ( x ) 的导函数,令

bn ? f / (1) ,求数列 {bn } 的通项公式,并研究其单调性

8

即 bn ?

5 ? 3n ?1 ? 15 n(n ? 6) ? ?????11 分 4 2 5 ? 3n? 2 ? 15 (n ? 1)(n ? 7) 15 ? 3n 7 ? ?n? ? 0 所以,作差得 bn ?1 ? bn ? 4 2 2 2
????? 13 分

而 bn ?1 ?

所以 {bn } 是单调递增数列。 21(本小题满分 14 分).已知椭圆 距离为 4。 (I)求椭圆的标准方程;

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,两焦点之间的 2 2 a b

(II)过椭圆的右顶点作直线交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A、B 两点, (1)求证:OA⊥OB; (2)设 OA、OB 分别与椭圆相交于点 D、E,过原点 O 作直线 DE 的垂线 OM,垂足为 M,证明|OM|为定值。

?2c ? 4, ?a ? 4 ? 2 【答案】解: (Ⅰ)由 ? c 1 得 ? ,故 b ? 12 . ? , ?c ? 2 ? ?a 2 x2 y 2 ? ? 1. 所以,所求椭圆的标准方程为 ????????(4 分) 16 12 (Ⅱ) (1)设过椭圆的右顶点 ?4,0? 的直线 AB 的方程为 x ? m y ? 4 .
代入抛物线方程 y ? 4 x ,得 y ? 4my ? 16 ? 0 .
2 2

设 A?x1 , y1 ? 、 B? x2 , y 2 ?,则 ?

2 ∴ x1x2 ? y1 y2 ? ? my1 ? 4?? my2 ? 4? ? y1 y2 = 1 ? m y1 y2 ? 4m ? y1 ? y2 ? ? 16 =0.

? y1 ? y2 ? 4m, ? y1 y2 ? ?16.

?

?

9

∴ OA ? OB .

????????(8 分)

(2)设 D?x3 , y3 ? 、 E?x4 , y4 ? ,直线 DE 的方程为 x ? ty ? ? ,代入

?3t

2

? 4 y 2 ? 6t?y ? 3?2 ? 48 ? 0 .

?

x2 y 2 ? ? 1 ,得 16 12

6t? 3?2 ? 48 , y y ? . 3 4 3t 2 ? 4 3t 2 ? 4 4?2 ? 48t 2 从而 x3 x4 ? ?ty3 ? ? ??ty 4 ? ? ? ? 3t 2 ? 4 ? OD ? OE ,? x3 x4 ? y3 y4 ? 0 .
于是 y3 ? y 4 ? ? 代入,整理得 7?2 ? 48 t 2 ? 1 . ∴原点到直线 DE 的距离 d ?

?

?

?
1? t
2

?

4 21 为定值. 7

????????(14 分)

10


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