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第1部分 第一章 1.2 1.2.1 集合之间的关系


第 一 章
集 合

1.2 集 合 之 间 的 关 系 与 运 算

知识点一 1.2.1 集 合 之 间 的 关 系 理解教材新知 知识点二 知识点三 考点一 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练

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给出下面两个集合:A={1,2},B={1,2,3,4}.
问题1:集合A中的元素都是集合B中的元素吗?

提示:是的.
问题2:集合B中的元素都是集合A中的元素吗? 提示:不全是.

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1.子集与真子集 定义 如果集合A中的 任意一个 元素都 子集 是集合B的元素,那么集合A叫做 集合B的子集. 真子 集

符号
语言

图形语言
(Venn图)

A?B
(或B?A)

如果集合A是集合B的子集,并且
B中至少有一个元素不属于A,那 么集合A叫做集合B的真子集 A B (或B? A)
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2.子集的性质 (1)规定:空集是 任何集合 的子集.也就是说,对任 意集合A,都有??A. (2)任何一个集合A都是它本身的 子集 ,即 A?A . (3)如果A?B,B?C,则 A?C. (4)如果A?B,B?C,则 A?C .

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给定两个集合:A={0,1},B={x|x2=x}.
问题1:集合B能否用列举法表示出来?

提示:能,B={0,1}.
问题2:集合A中的元素和集合B中的元素有什么关系? 提示:完全相同.

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1.集合相等 定义 符号 语言 图形语言 (Venn图)

如果集合A的 每一个元素 都
集合 是集合B的元素,反过来, 集合B的 每一个元素 也都是 A=B 集合A的元素,那么就说集 合A等于集合B
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相等

2.集合相等的性质

若A?B,B?A,则A=B;反之, 若A=B,则A?B,且B?A .

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已知A={北京四中高一(2)班的学生},B={北京四中高 一的学生}. 问题1:A和B有何关系? 提示:A B. 问题2:若李胜男是北京四中高一(2)班的学生,则李胜 男是北京四中高一的学生对吗?你能得出什么结论? 提示:对,利用元素特征性质之间的关系可判断集合之 间的关系.
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(1)一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)},如果A?B,

则 x∈A?x∈B .于是,x具有性质p(x)?x具有性质q(x),
即 p(x)?q(x) . 反之,如果p(x)?q(x),则A一定是B的 子集,其中符号 “?”是“推出”的意思.

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(2) 如果命题“p(x)?q(x)”和命题“q(x)?p(x)”,都是正 确的命题,这时我们常说,一个命题的条件和结论可以互 相推出,互相推出可用符号“?”表示.于是,上述两个正确 的互逆命题可表示为p(x)?q(x).显然,如果p(x)?q(x),则 p(x)?q(x) . A=B ,则 A=B;反之,如果

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对子集、真子集概念的理解 (1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即由 x∈A能推出x∈B,这是判断A?B的常用方法. (2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成

的集合”,因为若A=?时,则A中不含任何元素;若A=B,
则A中含有B中的所有元素. (3)在真子集的定义中,A?B首先要满足A?B,其次至 少有一个x∈B,且x?A.

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[例1] 指出下列各对集合之间的关系:

(1)A={-1,1},B={x∈Z|x2=1};
(2)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (3)A={-1,1},B={?,{-1},{1},{-1,1}}; (4)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}; (5)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}.

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[思路点拨]

首先明确元素的特性,再利用子集与真子

集的概念进行判断.

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[精解详析]

(1)用列举法表示集合B={-1,1},故A=B.

(2)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是实数对, 故A与B之间无包含关系. (3)观察发现集合A是集合B的一个元素,故A∈B. (4)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边

相等的三角形,故A?B.
(5)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示由 图可发现A?B.

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[一点通]

判断集合之间的关系本方法是转化为判定元

素和集合间的关系,首先判断一个集合A.中的任意一个元
素是否属于另一个集合B.若是,则A?B,否则A B.其次判

断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A.若是,则 B?A,否则B A?B,B A.最后下结论:若A?B,B?A,则A=B;若

A,则A?B;若A B,B?A,则B?A,若上述

三种情况均不成立,则A B,B

A.

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1.已知集合P={2 010,2 011},Q={2 010,2 011,2 012 },则有 ( A.P=Q C.P?Q B.Q?P D.Q?P )

解析:很明显,集合P中的元素都属于集合Q,则P?Q, 但是2 012∈Q,2 012?P,所以P?Q. 答案:C
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2.已知集合A={x|-2≤x≤2},B={x|0<x<1},则有(
A.A>B C.B?A B.A?B D.A?B

)

解析:借助数轴,可得B?A.
答案:C

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3.已知集合M={x∈Z|-1≤x<3},N={x|x=|y|,y∈M},
试判断集合M,N的关系.

解:∵x∈Z,且-1≤x<3,∴x的取值为-1,0,1,2.
∴M={-1,0,1,2}. 又∵y∈M,∴|y|的值分别是0,1,2. ∴N={0,1,2}.∴N? M.

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[例2]

已知集合A={2,a,b},集合B={2a,2,b2}.

若A=B,求a,b的值. [思路点拨] 从集合相等的概念入手,寻找元素的关

系,还要注意集合中元素的互异性.

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[精解详析]

?a=2a, ? ∵A=B,∴? ?b=b2, ?

?a=b2, ? 或? ?b=2a. ?

? 1 ?a=0, ?a=0, ?a=4, ? ? 解得? 或? 或? ?b=1, ?b=0, ? ? ?b=1. ? 2 ? 1 ?a=0, ?a=4, ? 由集合中元素的互异性,得? 或? ?b=1, ? ?b=1. ? 2
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[一点通] (1) 若两个集合相等,则所含元素完全相同,与顺序 无关.要注意检验,排除与集合元素互异性或与已知相矛 盾的情形. (2)若两个集合中元素均为无限多个,要看两个集合 的代表元素是否一致.且看代表元素满足的条件是否一致.

若均一致,则两个集合相等.
(3)证明两个集合相等的常用思路是证A?B且B?A.
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4.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b-a = A.1 C.2 B.-1 D.-2 ( )

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b 解析:∵a中,a≠0,∴a+b=0.当 b=1 时,a=-1, b b 这时a=-1,符合题意;当a=1 时,a=0 不合题意.故 b-a=1-(-1)=2.

答案:C

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5.已知M={0,2,b},N={0,2,b2},且M=N,则实 数b的值为________. 解析:∵M=N,∴b=b2.解得b=1或b=0(舍去), ∴b=1. 答案:1

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6.已知集合A={x|x=3n-2,n∈Z},B={y|y=3k+1,
k∈Z},证明A=B. 证明:(1)设任意x0∈A,则x0=3n0-2,且n0∈Z. 3n0-2=3(n0-1)+1,因为n0∈Z,所以n0-1∈Z. 所以x0∈B.故A?B.

(2)设任意y0∈B,则有y0=3k0+1,且k0∈Z.
3k0+1=3(k0+1)-2, 因为k0∈Z,所以k0+1∈Z. 所以y0∈A.故B?A. 综上可得A=B.
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[例3]

(12分)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m

-1<x<m+1},且B?A.求实数m的取值范围.
[思路点拨] 就B是否为空集进行讨论,利用B?A列

出关于m的不等式(组)求解.

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[精解详析]

(1)当 B=?时,m+1≤2m-1. (4 分)

解得 m≥2,这时 B?A.? ?-3≤2m-1, ? (2)当 B≠?时,由 B?A 得?m+1≤4, ?2m-1<m+1. ? 解得-1≤m<2. ? 综上得 m≥-1.?

? (8 分) (10 分) (12 分)

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[一点通]
(1) 分析集合关系时,首先要分析、简化每个集合. (2)解此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将 各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端 点值,做到准确无误.一般含“=”用实心点表示,不含“= ”用空心点表示. (3) 解此类问题还要注意“空集”的情况,因为空集是 任何集合的子集.
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7.若集合A={x|1<x<2},B={x|x>a},满足A?B,则实数a
的取值范围是 ( )

A.{a|a≥2}
C.{a|a≥1}

B.{a|a≤1}
D.{a|a≤2}

解析:如图所示,因为A?B,所以a≤1.

答案:B
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8.设A={x|x2-8x+15=0},B={x|x-a=0}.若B?A,

则实数a的值为________.
解析:A={3,5},B={a}.∵B?A,∴a=3或a=5.

答案:3或5

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(1)子集和真子集

①A?B包含两种情况:A=B和A?B.当A是B的子集
时,不要漏掉A=B的情况.

②集合与集合之间的关系有包含关系、相等关系,其
中包含关系有:包含于(?)、包含(?)、真包含于(?)、真

包含(?)等、用这些符号时要注意方向,如A?B与B?A
是相同的,但A?B,B?A是不同的.
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(2)空集 ①空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真 子集. ②利用“A?B”或“A?B”解题时,要讨论A=?和 A≠?两种情况.

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