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2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)


预习导学 高中数学 · 选修2-1· 人教A版

2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)

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2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)

[

学习目标] 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的 图形; 2.根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的 性质,画图.

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2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)

[知识链接]
x2 y2 观察椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的形状, 你能从图中看出它的范围 a b 吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?

答案

(1)范围:-a≤x≤a,-b≤y≤b;

(2)对称性:椭圆关于x轴、y轴、原点都对称;

(3)特殊点:顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),
B2(0,b).

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[预习导引] 1.椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上

2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)

焦点在y轴上

图形

标准 方程 范围

x y + =1(a>b>0) a2 b2 -a≤x≤a __________ -b≤y≤b __________
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2

2

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 -b≤x≤b __________ -a≤y≤a __________

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2.2.2 椭圆的简单几何性质(一) 续表

顶点
轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

A1(-a,0),A2(a,0) , A ___________________ ___________________ 1(0,-a),A2(0,a) , B B1(-b,0),B2(b,0) ___________________ ___________________ 1(0,-b),B2(0,b) 2a 短轴长=___ 2b ,长轴长=___
(± a2-b2,0)
(0,± a2-b2)

|F1F2|=2 a2-b2

x轴、y轴 对称中心:_____ 原点 对称轴:________ c (0,1) e= ∈_______ a
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2. 离心率的作用

接近1 ,则椭圆越扁;当椭圆离心率越 当椭圆的离心率越______
接近0 ,则椭圆越接近于圆. ______

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2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)

要点一 椭圆的简单几何性质
例1 求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦
x2 y2 解 已知方程化成标准方程为 + =1, 16 9 于是 a=4,b=3,c= 16-9= 7, ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a=8 和 2b=6, c 7 离心率 e= = , a 4
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点和顶点坐标.

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又知焦点在 x 轴上, ∴两个焦点坐标分别是 F1(- 7,0)和 F2( 7,0), 四个顶点坐标分别是 A1(-4,0),A2(4,0),B1(0,-3) 和 B2(0,3).

规律方法

解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准

形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,

再利用a,b,c之间的关系和定义,求椭圆的基本量.

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2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)

跟踪演练1

求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴

长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
2 2 x y 解 椭圆的方程 m2x2+4m2y2=1(m>0)可转化为 + =1. 1 1 m2 4m2 1 1 2 2 ∵m <4m ,∴ 2> 2,∴椭圆的焦点在 x 轴上,并且长半 m 4m 1 1 3 轴长 a= ,短半轴长 b= ,半焦距长 c= . m 2m 2m

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2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)

2 1 ∴椭圆的长轴长 2a= ,短轴长 2b= , m m 3 3 焦点坐标为(- , 0), ( , 0), 2m 2m 1 1 1 1 顶点坐标为( , 0), (- , 0), (0,- ),(0, ). m m 2m 2m 3 c 2m 3 离心率 e= = = . a 1 2 m

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2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)

要点二 由椭圆的几何性质求方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
1 (1)已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,若其离心率为 , 2 焦距为 8. (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧 顶点的距离为 3.

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2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)

(1)由题意知, 2c= 8, c= 4, c 4 1 ∴ e= = = ,∴a= 8, a a 2 从而 b2= a2- c2= 48, y2 x2 ∴椭圆的标准方程是 + = 1. 64 48
? ?a= 2c, (2)由已知? ? ?a- c= 3, ? ?a= 2 3, ∴? 从而 ? ?c= 3.

b2= 9,

x2 y2 x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1 或 + = 1. 12 9 9 12
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规律方法

在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦

点所在的坐标轴,从而确定方程的形式;若不能确定焦点
所在的坐标轴,则应进行讨论,然后列方程(组)确定a,b.

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6 跟踪演练 2 椭圆过点(3,0),离心率 e= ,求椭圆 3 的标准方程. 解 ∵所求椭圆的方程为标准方程,

又椭圆过点(3,0),∴点(3,0)为椭圆的一个顶点. ①当椭圆的焦点在x轴上时,(3,0)为右顶点,则a=3,
c 6 6 6 ∵e= = ,∴c= a= ×3= 6, a 3 3 3 ∴b2=a2-c2=32-( 6)2=9-6=3, x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 9 3

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②当椭圆的焦点在 y 轴上时, (3, 0)为右顶点,则 b= 3, c 6 6 ∵ e= = ,∴ c= a, a 3 3 2 2 1 2 2 2 2 2 ∴b =a -c =a - a = a , 3 3 2 2 y x ∴ a2= 3b2= 27,∴椭圆的方程为 + = 1. 27 9 x2 y2 y2 x2 综上可知,椭圆的标准方程是 + = 1 或 + = 1. 9 3 27 9

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要点三 求椭圆的离心率

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例 3 如图所示,F1,F2 分别为椭圆 的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐 标等于右焦点的横坐标,其纵坐标 2 等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3 解 设椭圆的长半轴、短半轴、 半焦距长分别为 a,b,c. 则焦点为 F1(-c,0),F2(c,0), 2 M 点的坐标为(c, b), 3 则△MF1F2 为直角三角形.

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2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)

在 Rt△ MF1F2 中, |F1F2|2+ |MF2 |2= |MF1|2, 4 即 4c2+ b2= |MF1 |2. 9 4 2 4c2+ b2+ b= 2a, 9 3 整理得 3c2= 3a2- 2ab. 又 c2= a2- b2,所以 3b= 2a. b2 4 所以 2= . a 9 2 2 2 2 a - b c b 5 ∴ e2= 2= 2 = 1- 2= , a a a 9 5 ∴ e= . 3 而 |MF1|+ |MF2 |=
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规律方法

求椭圆离心率的方法: c b2 ①直接求出 a 和 c,再求 e= ,也可利用 e= 1- 2求解. a a ②若 a 和 c 不能直接求出,则看是否可利用条件得到 a 和 c 的 c 齐次等式关系,然后整理成 的形式,并将其视为整体,就变 a 成了关于离心率 e 的方程,进而求解.

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跟踪演练3

2.2.2 椭圆的简单几何性质(一) 如图所示,椭圆的中心在

原点,焦点F1,F2在x轴上,A,B是椭圆 的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴, PF2∥AB,求此椭圆的离心率. x2 y2 解 设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 如题图所示,则有 F1(-c,0),F2(c,0),A(0,b), B(a,0), 直线 PF1 的方程为 x=-c, x2 y2 b2 b2 代入方程 2+ 2=1,得 y=± ,∴P(-c, ). a b a a

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又 PF2∥AB,∴△PF1F2∽△AOB. |PF1| |AO| ∴ = , |F1F2| |OB| b2 b ∴ = ,∴b= 2c. 2ac a 2 c 1 2 2 2 2 2 ∴b =4c ,∴a - c =4c ,∴ 2= . a 5 5 5 2 1 ∴e = ,即 e= ,所以椭圆的离心率为 . 5 5 5

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1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一
个顶点是(-10,0),则焦点坐标为 A.(±13,0)
C.(0,±13)

(

)

B.(0,±10)
D.(0,± 69)

答案
解析

D
由题意知椭圆焦点在 y 轴上, 且 a=13, b=10,

则 c= a2-b2= 69,故焦点坐标为(0,± 69).

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2.如图,直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点 B,该椭圆的离心率为( ) 1 2 A. B. 5 5 5 2 5 C. D. 5 5 答案 D
1 b 1 解析 ∵x-2y+2=0,∴y= x+1,而 = , 2 c 2 a2-c2 1 a2 5 c 2 5 即 = ,∴ 2 = , = . c2 2 c 4 a 5

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3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的离心率是
4 A. 5 3 B. 5 2 C. 5 1 D. 5

(

)

答案

B

解析 由题意有 2a+2c=2(2b),即 a+c=2b, 又 c2=a2-b2,消去 b 整理得 5c2=3a2-2ac, 3 2 即 5e +2e-3=0,∴e= 或 e=-1(舍去). 5

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x2 y2 4.设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P a b 3a 为直线 x= 上一点,△ F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形, 2 则 E 的离心率为 ( ) 1 2 3 4 A. B. C. D. 2 3 4 5

答案

C

3 解析 由题意可得|PF2|=|F1F2|,∴2( a-c)=2c, 2 3 ∴3a=4c,∴e= . 4

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2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)

1.已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式,应先化成 标准形式. 2.根据椭圆的几何性质,可以求椭圆的标准方程,其基本思

路是“先定型,再定量”,常用的方法是待定系数法.在
椭圆的基本量中,能确定类型的量有焦点、顶点,而不能 确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距. 3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想 的应用.

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