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高中数学竞赛辅导课件第二讲§二次函数


第二讲

二次函数

例1. 当x为何值时,函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2取最小值。 解:f(x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+ …+(x2-2anx+an2) . =nx2-2(a1+a2…+an)x+(a12+a22+…+an2) ∴当x=(a1+a2 +…+an)/n时,

f(x)有最小值.

例2.已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的两个实数根,x12+x22的最大值是 ____.

解:由韦达定理得:x1+x2=k-2,x1x2=k2+3k+5. ∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x 2=(k-2)2-2(k2+3k+5) =-k2-10k-6=-(k+5)2+19 . 已知x1,x2是方程的两个实根,即方程有实数根,此时方程的判别式Δ≥0, 4 ? 即Δ=(k-2)2-4(k2+3k+5) =-3k2-16k-16≥0解得:-4≤k≤ . 3 ∵k=-5 [-4, ? 4 ],
3

设f(k)=-(k+5)2+19,则f(-4)=18,f( ? )= <18. 3 9 ∴当k=-4时,(x12+x22)max=18.

4

50

例3.已知f(x)=x2-2x+2,在x∈[t,t+1]上的最小值为g(t),求g(t)的表达式。

解:f(x)=(x-1)2+1 (1)当t+1<1即t<0时,g(t)=f(t+1)=t2+1 (2)当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,g(t)=f(1)=1 (3)当t>1时,g(t)=f(t)=t2-2t+2 综合(1)、(2)、(3)得:

例4.(1)当x2+2y2=1时,求2x+3y2的最值; (2)当3x2+2y2=6x时,求x2+y2的最值。 解:(1)由x2+2y2=1得2y2= (1-x2), 2x+3y2=2x+
3 2

(1-x2)= -

3 2

(x- )2+
3

2

13 6

又1-x2=2y2≥0,∴x2≤1,-1≤x≤1 . 2 ∴当x= 3 时,y= 1 0 ,(2x+3y2)max=
6

16 3



当x=-1时,y=0, (2x+3y2)min=-2 3 (2)由3x2+2y2=6x,得y2= 2 x(2-x), 1 9 3 代入x2+y2=x2+ 2 x(2-x)=- 2 (x-3)2+ 2 3 又y2= 2 x (2-x)≥0,得0≤x≤2. 当x=2,y=0时,(x2+y2)max=4;当x=0,y=0时,(x2+y2)min=0

例5.如果方程(1-m2)x2+2mx-1=0的两个根一个小于零,另一个大于1,确定 m的范围。
解:令f(x)=(1-m2)x2+2mx-1,根据题设条 件,f(x)的图形是下列两种情形之一: 则(1-m2)f(0)<0,(1-m2)f(1)<0; 即1-m2>0,(1-m2)(2m-m2)<0 解得:-1<m<0 例6.当k为什么实数时,关于X的二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根α 和β分别满足0<α<1和1<β<2? 解:设y=f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2,则因为a=7>0,且方程f(x)=0有两实根α,β, 所以它的图象是开口向上且与X轴相交于两点(α,0)、(β,0)的抛物线。 由于0<α<1,1<β<2,可知在x<α或x>β时,f(x)取正值;在α<x<β时,f(x) 取负值。 于是,当x分列取0,1,2时,有:f(0)=k2-k-2>0,f(1)=k2-2k-8<0,f(2)=k2-3k>0 解这三个不等式组成的不等式组,可得{k | -2<k<-1或3<k<4}。

例7.若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数,求证: (a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) 证明:构造二次函数 f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+…+(anx-bn)2 =( a12+a22+…+an2)x2-2(a1b1+a2b2+…+anbn)x+( b12+b22+…+bn2). 当a12+a22+…+an2≠0即a1,a2,…,an不全为零时,显然有对x∈R,f(x)≥0, 故f(x)=0的判别式: Δ=4(a1b1+a2b2+…+anbn)2-4(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≤0. 即(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) 。 当a1=a2=…=an=0时,结论显然成立,故命题成立。

例8.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1< 1 x2< a 。(1)当x∈(0,x1)时,证明x<f(x)<x1 x (2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明:x0< 。
1

2

证明:⑴.令F(x)=f(x)-x.,因为x1、x2是方程f(x)-x=0的根,得 F(x)=a(x-x1)(x-x2),

当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,x-x1<0,x-x2<0,得(x-x1)(x-x2)>0,
又a>0,得 F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0 即x<f(x).

而x1-f(x)=x1-[x-F(x)]=x1-x+a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1-a(x-x2)]
1 所以x1-x>0,1-a(x-x2)>1-a· >0 a a 得 x1-f(x)>0,即 f(x)<x1.

因为0<x<x1<x2<

1

⑵.依题意知x0= ?

b 2a
b ?1 a
ax 2a
1

因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根, 所以 x1+x2=- x0=-
? x1 2
b 2a ? a(x
1

? x2) ?1 2a

?

ax 1 ? ax 2a

2

?1

因为ax2<1,所以x0<

例8.另证:设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0 1 <x1<x2< a 。(1)当x∈(0,x1)时,证明x<f(x)<x1 x (2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明:x0< 。
1

2

证明:⑴欲证:x<f(x)<x1 ,只须证:0<f(x)-x<x1-x ① 因为方程f(x)-x=0的两根为x1,x2,f(x)=ax2+bx+c(a>0), ∴f(x)-x=a(x-x1)(x-x2), ①式即: 0<a(x-x1)(x-x2)< x1-x ② ∵a>0,x∈(0,x1),x1-x>0,∴a(x1-x)>01 , 1 ②式两边同除以a(x1-x),得:0<x2-x< a ,即只需证:x<x2< a +x . 1 这由已知条件:0<x<x1<x2< a ,即得:x<x2< 1 < 1 +x, a a 故命题得证。 x x x b b (2)欲证x0< 2 ,因为x0= ? ,故只须证:x0- 1 = ? - 1 <0 ③
1

由韦达定理,x1+x2

=?

b ?1 a

2a

2

2a

2


1

x1 ? x 2 2

=?

b ?1 2a


1 a

代入③式有 ?

b 2a

-

x1 2

=

x2 2

-

2a

<0 ,即:x2<

由已知:0<x1<x2<

1 a

,命题得证。

例9已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a、b、c满足 a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R) (1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B; (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围 (1)证明由
? y ? ax 2 ? bx ? c ? ? y ? ? bx

消去y得ax2+2bx+c=0

Δ=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+ c ) 2 ? 3c2]
2 4

∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴
3

c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点

4 c 2b (2)解:设方程ax2+2bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=- ,x1x2= a a

|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
? 4[( ) ? ? 1] ? 4[( ? ) ? ] a a a 2 4
2 2

? (?

2b a

) ?
2

4c a

?

4b ? 4 ac
2

c

c

c

1

3

a

2

?

4(? a ? c) ? 4ac
2

a

2

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0∴a>-a-c>c,解得 c ∈(-2,-
a

1 2

)



f(

c a

) ? 4 [(

c a

) ?
2

c a

? 1]

的对称轴方程是

c a

? ?

1 2

,

c a

∈(-2,-

1 2

)时,为减函数

∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(

3 ,2 3

)

例10已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 的范围 (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围 解 (1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1, 2)内,画出示意图,得 1 ? y m ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?m ? R, f ( ? 1) ? 2 ? 0 , ? ? ? 1 f (1 ) ? 4 m ? 2 ? 0 , ?m ? ? , 2 ? f (2) ? 6m ? 5 ? 0 ?m ? ? 5 ? 6 ? f (0 ) ? 2 m ? 1 ? 0,



?

5 6

? m ? ?

1 2

-1

o

1

2

x

(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组
? f (0 ) ? 0, ? ? f (1 ) ? 0 , ? ? ? ? 0, ?0 ? ? m ? 1 ?

1 ? m ? ? , ? 2 ? 1 ? ? ?m ? ? , 2 ? ?m ? 1 ? 2或 m ? 1 ? ? ?? 1 ? m ? 0.

y
? ? 1 2 ? m ? 1? 2

2,

o

1

x

(这里0<-m<1是因为对称轴x=-m应在区间(0,1)内通过)

例11已知对于x的所有实数值,二次函数f(x)=x2-4ax+2a+12(a∈R)的值都是非
负的,求关于x的方程
x a ?2

=|a-1|+2的根的取值范围 ≤a≤2
2 3

解由条件知Δ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴- (1)当-
3 2

≤a<1时,原方程化为x=-a2+a+6,
1 2
9 4

∵-a2+a+6=-(a- ∴a=- ∴
9 4 3 2

)2+ ,a=

25 4

时,xmin=
25 4

1 2

时,xmax=

25 4

≤x≤

(2)当1≤a≤2时,x=a2+3a+2=(a+

32 2

)-

1 4

∴当a=1时,xmin=6,当a=2时,xmax=12,∴6≤x≤12 综上所述,
9 4

≤x≤12

例12 设a,b为实常数,k取任意实数时,函数y=(k2+k+1)x2-2(a+k)2x+ (k2+3ak+b)的图象与x轴都交于点A(1,0). ① 求a、b的值; ② 若函数与x轴的另一个交点为B,当k变化时,求|AB|的最大值. 解:⑴由已知条件,点A(1,0)在函数图象上, 故(k2+k+1)-2(a+k)2+(k2+3ak+b)=0, 整理得:(1-a)k+(b+1-2a2)=0 ∵ 对k∈R,上式恒成立,∴ 1-a=0且b+1-2a2=0 从而a=1,b=1,y=(k2+k+1)x2-2(k+1)2x+(k2+3k+1) ⑵设B(α,0),则|AB|=|α-1|, ∵(k2+k+1)x2-2(k+1)2x+(k2+3k+1)=0的两个根为1、α, 由韦达定理,1?α=
k
2 2

? 3k ? 1 ? k ? 1

整理得:(1-α)k2+(3-α)k+(1-α)=0,

α=1时,得2k=0 ? k=0 α≠1时,∵ k∈R,∴ △≥0,即(3-α)2-4(1-α)2≥0 得:-1≤α≤ 由1+α =
2

k

且α≠1,综合得:-1≤α≤
3
( k ? 1)
2

5



5 3

k ? k ?1

,同理解得:-1≤α≤
2 3

1 3

,故有: :-1≤α≤

1 3

∴ |AB|=|α-1|∈[

,2] , 即|AB|的最大值为2.

例13:实数a、b、c满足 a2-bc-8a+7=0 …………① b2+c2+bc-6a+6=0 …………② 求a的取值范围.
解:由①得:bc=a2-8a+7 …………③

由①②得:(b+c)2=a2-2a+1
即b+c=±(a-1) …………④

由③④得b,c为方程x2±(a-1)x+(a2-8a+7)=0的两个实数根,
由于b,c∈R,所以△≥0,即:[±(a-1)]2-4(a2-8a+7)≥0

即:a2-10a+9≤0,得:1≤a≤9


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