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七校联合体2016届高二第一次联考文科数学参考答案


七校联合体 2016 届高二第一次联考文科数学参考答案
一.选择题: (本大题共 12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 11 D 12 A D A B C D C B D B 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.) 266 2 13. 14. 3 15. 3 2 16. 81 3 演算步骤.)
第 17 题(本小题满分 10 分) 解: (1) 函数f ? x ? ? sin ? ? x ? 一个最高点是 Q ?

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和

? ?

? ? ? ?的图像经过点P ? ? , 0 ? , 并且图像上与点 P 最近的 12 ? ? 12 ?

? ?

? 5? ? ,1? ; ? 12 ? ? 5? ? ? ?? ? T ? 4 ? ? ? ? ?? ? 2? ? 12 ? 12 ?? 2? 2? ? ?? ? ?1 T 2?

.

----------------------------------2 分

---------------------------------4 分 ----------------------------------5 分

(2)由(1)可知 f ? x ? ? sin( x ?

?
12

)

?? ? ? ? ?? 2 ? ? ? f ? 2? ? ? ? sin ? 2? ? ? ? ? sin ? 2? ? ? ? ?sin 2? ? cos 2? ? ----------------6 分 3? 3 12 ? 4? 2 ? ? ?
因为 cos ? ?

4 3 ? ?? , ? ? ? 0, ? ,所以 sin ? ? , 5 5 ? 2?

----------------------------------7 分

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 所以 f ? 2? ?

24 7 2 2 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? -------------------------9 分 25 25

? ?

??

24 7 ? 2 17 2 2 .---------------10 分 ? ? ? ? sin 2? ? cos 2? ? ? ? ?? ? 2 3? 50 ? 25 25 ? 2

第 18 题(本小题满分 10 分) 证明: (1)连结 AC,BD 交于点 O,连结 OE ----------------------------------1 分 ----------------------------------2 分

? 底面为正方形 ABCD ? O为AC中点

第 1 页,共 5 页

? E为PC中点 ? OE//PA 又OE ? 平面 EDB, PA ? 平面 EDB, ? PA// 平面 EDB
-----------------------------4 分

(2) ? PD ? 平面ABCD, BC ? 平面ABCD,? PD ? BC - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5分 ? DC ? BC, PD ? DC ? D, PD ? 平面PDC,DC ? 平面PDC ? BC ? 平面PDC, 而DE ? 平面PDC- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分 ? DE ? BC ? PD ? DC, E为PC中点,? DE ? PC - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8分 ? PC ? BC ? C , PC ? 平面PBC,BC ? 平面PBC ? DE ? 平面PBC,PB ? 平面PBC ? DE ? PB - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9分 ? EF ? PB, ED ? EF ? E , ED ? 平面EFD,EF ? 平面EFD ? PB ? 平面EFD - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -10分

第19题(本小题满分10分) 解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 S n ? na1 ?

n( n ? 1) d -------------------------------1分 2

S3 ? 6, S5 ?

25 2 3 ? a1 ? ? ? 2 解得 ? ?d ? 1 ? ? 2
---------------------------------3分

?3a1 ? 3d ? 6 ? ? ? 25 5a1 ? 10d ? ? ? 2

所以 ?an ? 的通项公式为: an ? (Ⅱ)设求数列 ? 则:Tn ?

1 n ?1 2

----------------------------------4分

a n?2 ? an ? ? n ?1 , ----------------------------------5分 的前 n 项和为 Tn ,由(Ⅰ)知 n n n ? 2 2 ?2 ?
---------------------------------6分 两式相减得 -------------------------------7分

3 4 5 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 3 4 5 n ?1 n ? 2 Tn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2

1 3 ?1 1 Tn ? ? ? 3 ? 4 ? 2 4 ?2 2
所以 Tn ? 2 ?

?

1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 ? n? 2 ? ? ?1 ? n?1 ? ? n? 2 --------------------------9 分 n ?1 ? 2 ? 2 4 4? 2 ? 2
----------------------------------10 分

n?4 2n ?1

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第 20 题(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:依题意,得 解得 a ? 1 .

1 1 (88 ? 92 ? 92) ? [90 ? 91 ? (90 ? a)] , 3 3
---------------------------------2 分

(Ⅱ)解:设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件 A , ------------------------------3 分 依题意 a ? 0,1, 2,

,9 ,共有 10 种可能.

----------------------------------4 分

由(Ⅰ)可知,当 a ? 1 时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同, ------------------5 分 所以当 a ? 2,3, 4, 能. ------------------------------------------------6 分 所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 P ( A) ?

,9 时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,共有 8 种可
-

8 4 ? . 10 5

---------------7 分

(Ⅲ)解:设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2 分”为事件 B ,-------------8 分 当 a ? 2 时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,所有可能的成绩结果有

3 ? 3 ? 9 种, 它们是: (88,91) , (88,90) , (88,92) , (92,90) , (92,91) , (92,92) , (92,90) ,

(92,91) , (92,92) ,

---------------------------------------------------------------------------------10 分

(88,90) , (92,90) , (92,91) , (92,92) , (92,90) , 所以事件 B 的结果有 7 种, 它们是: (92,91) , (92,92) .
-----------------------------------------------------------------------------11 分

因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2 分的概率 P( B) ?

7 .-----------12 分 9

第 21 题(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)由题意可得 c ? 1 , 又由题意可得 所以 a ? 2 ,
2 2 2 所以 b ? a ? c ? 3 ,

----------------------------------1 分

c 1 ? , a 2
----------------------------------2 分 ----------------------------------3 分 ---------------------------------4 分 --------------------------------5 分

x2 y2 ? ? 1. 4 3 所以椭圆 C 的右顶点 A(2,0) ,
所以椭圆 C 的方程为

第 3 页,共 5 页

代入圆 F 的方程,可得 r 2 ? 1 , 所以圆 F 的方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 . (Ⅱ)法 1: 假设存在直线 l : y ? k ( x ? 2) ( k ? 0) 满足条件, -----------------------------7 分 ------------------------------6 分

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 y2 得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 ----------------------------8 分 ? ?1 ? 3 ? 4

16k 2 , ---------------------------------9 分 4k 2 ? 3 8k 2 ?6k 可得中点 P( 2 --------------------------------11 分 , 2 ), 4k ? 3 4k ? 3 8k 2 ?6k 2 ? 1) 2 ? ( 2 ) ?1 由点 P 在圆 F 上可得 ( 2 4k ? 3 4k ? 3
设 B( x1 , y1 ) ,则 2 ? x1 ? 化简整理得 k 2 ? 0 又因为 k ? 0 , 所以不存在满足条件的直线 l . (Ⅱ)法 2: 假设存在直线 l 满足题意. 由(Ⅰ)可得 OA 是圆 F 的直径, 所以 OP ? AB . 由点 P 是 AB 中点,可得 | OB |?| OA |? 2 . 设点 B( x1 , y1 ) ,则由题意可得 -----------------------------7 分 ------------------------------8 分 --------------------------------9 分 --------------------------------10 分 -------------------------------11 分 --------------------------------14 分 --------------------------------13 分

x12 y12 ? ?1 . 4 3

又因为直线 l 的斜率不为 0,所以 x12 ? 4 , 所以 | OB |2 ? x12 ? y12 ? x12 ? 3(1 ?

x12 x2 ) ? 3 ? 1 ? 4 ,-------------------------------13 分 4 4

这与 | OA |?| OB | 矛盾,所以不存在满足条件的直线 l . --------------------------14 分 第 22 题(本小题共 14 分) 解: (1) f '( x) ? ∵a ?

1 a x 2 ? (2 ? a) x ? 1 , -------------------------------------2 分 ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

9 1 ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 2 ,或 x ? , ------------------------------------3 分 2 2

第 4 页,共 5 页

∴函数 f ( x ) 的单调增区间为 (0, ) , (2, ??) .

1 2

-----------------------------4 分

单调减区间为 ?

?1 ? ,2? ?2 ?

-----------------------------5 分

注:两个单调增区间,错一个扣 1 分,错两个扣 2 分 (2)∵

g ( x2 ) ? g ( x1 ) g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ?1 ,∴ ?1 ? 0 , x2 ? x1 x2 ? x1
--------------------------------------------------7 分



g ( x2 ) ? x2 ? [ g ( x1 ) ? x1 ] ?0, x2 ? x1

设 h( x) ? g ( x) ? x ,依题意, h( x) 在 ? 0, 2? 上是减函数. 当 1 ? x ? 2 时, h( x) ? ln x ?

--------------------------8 分

a 1 a ? x , h '( x) ? ? ? 1, x ?1 x ( x ? 1) 2

令 h '( x) ? 0 ,得: a ? 设 m( x ) ? x ? 3 x ?
2

( x ? 1)2 1 ? ( x ? 1)2 ? x 2 ? 3x ? ? 3 对 x ? [1, 2] 恒成立, x x

1 1 ? 3 ,则 m '( x) ? 2 x ? 3 ? 2 , x x 1 1 ? x ? 2 ,∴ m '( x) ? 2 x ? 3 ? 2 ? 0 , ∵ x
∴ m( x ) 在 [1, 2] 上是增函数,则当 x ? 2 时, m( x ) 有最大值为 ∴a ?

27 , 2

27 . 2

------------------------------------------------------------------------------------11 分

当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? ? ln x ?

a 1 a ? x , h '( x) ? ? ? ?1 , x ?1 x ( x ? 1)2

令 h '( x) ? 0 ,得: a ? ? 设 t ( x) ? x ? x ?
2

( x ? 1)2 1 ? ( x ? 1)2 ? x 2 ? x ? ? 1 , x x

1 1 ? 1 ,则 t '( x ) ? 2 x ? 1 ? 2 ? 0 , x x

∴ t ( x ) 在 (0,1) 上是增函数,∴ t ( x) ? t (1) ? 0 , ∴a ? 0 ------------------------------------------------------------------------------------13 分 - -----------------------------------------------------------------------------------14 分

27 综上所述, a ? 2

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