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2015年上海市黄浦区高三一模数学试卷(文理合卷)WORD版含答案


FunshineMaths 峰行数学 黄浦区 2014 学年第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷(文理合卷)
2015 年 1 月 8 日 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结 果,每题填对得 4 分,否则一律得零分.

1? 1.已知全集 U=R ,集合 A ? ? x || x |?

1?,B ? ? ? x | x ? ? ? ,则 (CU B) ? 2?
2.函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) 的定义域是 x2 ? 1 .

A?



3 . 已 知 直 线 l1 : x ? y ? 3 ? 0, l2 : (1 ? 3) x ? (1 ? 3) y ?1 ? 0 , 则 直 线 l1 与 l2 的 夹 角 的 大 小 是 .

?1 3 0 i| (其 4. 若三阶行列式 2n ? 1 ?2 ? m 中第 1 行第 2 列的元素 3 的代数余子式的值是 ?15 , 则| n ? m 4m 1 2n ? 1
中 i 是虚数单位, m、n ? R )的值是 .

2 2 5 .已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点与双曲线: x ? y ? 1 的右焦点重合,则抛物线 C 的方程 7 2




2

6.若函数 f ( x) ? 2x

?ax?1?3a

是定义域为 R 的偶函数,则函数 f ( x) 的单调递减区间是



7.已知角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,角 ? 的终边与圆心在原点的单位圆(半径 为 1 的圆)交于第二象限内的点 A( x A , ) ,则 sin 2? =
n *

4 5

. (用数值表示)
*

8.已知二项式 (1 ? 2 x) (n ? 2, n ? N ) 的展开式中第 3 项的系数是 A ,数列 ?an ? (n ? N ) 是公差为 2 的等差数列,且前 n 项和为 Sn ,则 lim

n ??

A = Sn



9.已知某圆锥体的底面半径 r ? 3 ,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为 2 ? 的扇形,则该
3

圆锥体的表面积是



10 . 若 从 总 体 中 随 机 抽 取 的 样 本 为 ?1,3, ?1,1,1,3, 2, 2,0,0 , 则 该 总 体 的 标 准 差 的 点 估 计 值 是 .

11 .已知 m、n、?、? ? R,m ? n, ? ? ? ,若 ?、? 是函数 f ( x) ? 2(x ? m)(x ? n ) ? 7的零点,则

m、n、?、? 四个数按从小到大的顺序是

“?” . (用符号 连接起来)

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谭峰

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12.一副扑克牌(有四色,同一色有 13 张不同牌)共 52 张.现随机抽取 3 张牌,则抽出的 3 张牌有且 仅有 2 张花色相同的概率为 . (用数值作答)

13.已知 x ? R ,定义: A( x) 表示不小于 x 的最小整数.如 A( 3) ? 2, A(?0.4) ? 0, A(?1.1) ? ?1 . (理科)若 A(2 x ? A( x)) ? 5 ,则正实数 x 的取值范围是 (文科)若 A(2 x ? 1) ? 3 ,则实数 x 的取值范围是 . .

14. (理科)已知点 O 是 ?ABC 的重心,内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c ,且

2a ? OA ? b ? OB ?

2 3 c ? OC ? 0 ,则角 C 的大小是 3



(文科) 已知点 P、Q 是 ?ABC 所在平面上的两个定点,且满足

PA ? PC ? 0, 2QA ? QB ? QC ? BC ,若 |PQ|=?|BC| ,则正实数 ? =



二、选择题(本大题满分 20 分) 本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相 应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.给定空间中的直线 l 及平面 ? ,条件“直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 α 垂 直的 ( ) . B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 ) .

A.充分非必要条件

16.已知向量 a ? (?3, 4) ,则下列能使 a ? ? e1 ? ? e2 (?、? ? R) 成立的一组向量 e1 , e2 是( A. e1 ? (0,0), e2 ? (?1, 2) C. e1 ? (?1,2), e2 ? (3, ?1) B. e1 ? (?1,3), e2 ? (2, ?6) D. e1 ? (? ,1), e2 ? (1, ?2) ) .

1 2

开始

17.一个算法的程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的值是( A.4 B. 5 C. 6 D. 7

k ? 0,?S ? 0

18.已知 z ? a ? bi (a、b ? R,i是虚数单位) , z1 , z2 ? C ,定义:

S<1000



D( z ) ?|| z ||?| a | ? | b | , D( z1 , z2 ) ?|| z1 ? z2 || .给出下列命题:
① 对任意 z ? C ,都有 D(z) ? 0 ; ② 若 z 是复数 z 的共轭复数,则 D( z) ? D(z) 恒成立; ③ 若 D(z1 ) ? D(z 2 ) (z1 、 z2 ? C) ,则 z1 ? z2 ;


S ? S+2S
输出 k

k ? k ?1

结束

④(理科)对任意 z1、z2、z3 ? C ,结论 D(z1 , z3 ) ? D(z1 , z2 ) ? D(z2 , z3 ) 恒成立; (文科)对任意 z1、z2 ? C ,结论 D(z1 , z2 )=D(z2 , z1 ) 恒成立; 则其中真命题是( A.①②③④ ) . B.②③④ C.②④ D.②③

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谭峰

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三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内 写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 在 长 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 中 , A B ? A 1 A ?4 , B C ? 3,

E、F 分别是所在棱 AB、BC 的中点, 点 P 是棱 A1B1 上的动点,
联结 EF , AC1 .如图所示. (1) 求异面直线 EF、AC1 所成角的大小 (用反三角函数值表示) ; (2) (理科)求以 E、F、A、P 为顶点的三棱锥的体积. (文科)求以 E、B、F 、P 为顶点的三棱锥的体积.

D1 A1
D
F

C1
P

B1
C

A

E

B

第 19 题图

20. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? cos 2x, x ? R . (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c ,若 f ( A) ? 2, C ? 求 ?ABC 的面积 S?ABC 的值.

?
4

,c ? 2 ,

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知函数 g ( x) ? 10x ? 1 , x ? R ,函数 y ? f ( x) 是函数 y ? g ( x) 的反函数. 10 ? 1
x

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式,并写出定义域 D ; (2) (理科)设 h( x) ?

1 ? f ( x) ,若函数 y ? h( x) 在区间 (0,1) 内的图像是不间断的光滑曲线; x
2

求证:函数 y ? h( x) 在区间 (?1, 0) 内必有唯一的零点(假设为 t ),且 ?1 ? t ? ? 1 . (文科)设 h( x ) ?

1 ? f ( x) ,试判断函数 y ? h( x) 在区间 (?1, 0) 上的单调性,并说明你的理由. x

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谭峰

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22. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 7 分. 定义:若各项为正实数的数列 ?an ? 满足 an?1 ? an (n ? N* ) ,则称数列 ?an ? 为“算术平方根递推数 列” ;已知数列 ?xn ? 满足 xn ? 0,n ? N* , 且 x1 ? 9 , 点 ( xn?1 , xn ) 在二次函数 f ( x) ? 2 x2 ? 2 x 的图像上;
2

(1)试判断数列 ?2 xn ? 1? (n ? N ) 是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由;
*

(2)记 yn ? lg(2 xn ? 1) (n ? N ) ,求证:数列 ? yn ? 是等比数列,并求出通项公式 yn ;
*

(3)从数列 ? yn ? 中依据某种顺序自左至右取出其中的项 yn1 , yn2 , yn3 , 列 ?zn ? : z1 ? yn1 , z2 ? yn2 , z3 ? yn3 , ;

,把这些项重新组成一个新数

(理科)若数列 ?zn ? 是首项为 z1 ? ( 1 ) m ?1 、公比为 q ? 1k (m, k ? N* ) 的无穷等比数列,且数列 ?zn ? 各 2 2 项的和为 16 ,求正整数 k、m 的值. 63

1 1 (文科) 若数列 ?zn ? 是首项为 z1 ? ( ) m ?1 , 公比为 q ? k (m, k ? N* ) 的无穷等比数列, 且数列 ?zn ? 各 2 2
项的和为 1 ,求正整数 k、m 的值.
3

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 在平面直角坐标系中, 已知动点 M ( x, y) , 点 A( 0 , 1 ) , ( 0 ,B 1 ) , 1 ( ,0 ) ,? D 称,且 AN ? BN ? 1 x 2 .直线 l 是过点 D 的任意一条直线.
2

点 N 与点 M 关于直线 y ? x 对

(1)求动点 M 所在曲线 C 的轨迹方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 G、H 两点,且 | GH |?

3 2 ,求直线 l 的方程; 2

(3) (理科)若直线 l 与曲线 C 交于 G、H 两点,与线段 AB 交于点 P (点 P 不同于点 O、A、B ) ,直 线 GB 与直线 HA 交于点 Q ,求证: OP ? OQ 是定值. (文科) 设直线 l 与曲线 C 交于 G、H 两点, 求以 | GH | 的长为直径且经过坐标原点 O 的圆的方程.

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黄浦区 2014 学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷(文理合卷) 参考答案和评分标准(2015 年 1 月 8 日) 一、填空题 1. (- 1, - 1 ] ;
2

2. (1, + 7. -

);


3. p ;
3

4. 2 ; 9. 36p ;

5. y 2 = 12 x ; 10. 2 5 ; 3
1. 2

6. (-

, 0] ;

24 25
12.

8. 2 ; 13.(理) 1 ? x ? 17.A

11. a < m < n < b ; 二、选择题: 15.B 三、解答题

234 ; 425

5 1 ? x ? 1 ; 14.(理) p ;(文) ;(文) 4 2 3

16.C

18.C

19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分6分,第 2 小题满分6分. 解(1)联结 AC ,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,有 AC 又 ?CAC1 是直角三角形 ACC1 的一个锐角, ∴ ?CAC1 就是异面直线 AC1与EF 所成的角. 由 AB ? AA 1 ? 4, BC ? 3 ,可算得 AC ? ∴ tan ?CAC1 ?

EF .

AB2 ? BC 2 ? 5 .

CC1 4 4 ? ,即异面直线 AC1与EF 所成角的大小为 arctan . AC 5 5

(理) (2)由题意可知,点 P 到底面 ABCD 的距离与棱 AA1 的长相等. ∴ VP ? AEF ? ∴ VP ? AEF ?

1 1 1 3 3 S ?AEF ? AA1 .∵ S?AEF ? AE ? BF ? ? 2 ? ? , 3 2 2 2 2

1 1 3 S?AEF ? AA1 = ? ? 4=2 . 3 3 2

(文) (2)由题意可知,点 P 到底面 ABCD 的距离与棱 AA1 的长相等. ∴ VP ? EBF ?

1 1 1 3 3 1 1 3 S ?EBF ? AA1 ,S?EBF ? EB ? BF ? ? 2 ? ? , ∴ VP ? EBF ? S ?EBF ? AA1 = ? ? 4=2 . 3 2 2 2 2 3 3 2

20.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分6分,第 2 小题满分6分. 解(1)∵ f ( x) ? 2 3sin x cos x ? cos 2x,x ? R ,∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? 由 2 k? ?

?
6

).

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,解得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ?Z .

∴函数 f ( x ) 的单调递增区间是 [k? ?

?

, k? ? ], k ? Z . 6 3

?

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谭峰

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(2)∵在 ?ABC 中, f ( A) ? 2, C ? 又0 ? A ?? , ∴ A ?

?

, c ? 2 ,∴ 2 sin(2 A ? ) ? 2, 解得 A ? k? ? , k ? Z . 4 6 3

?

?

?
3

. 依据正弦定理,有

a sin

?
3

?

c sin

?
4

, 解得a ? 6 .

∴ B ?? ? A?C ?

5 1 1 6 ? 2 3? 3 ? . ∴ S?ABC ? ac sin B ? ? 2 ? 6 ? . ? 12 2 2 4 2

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 解(1)

g ( x) ?

2 2 10 x ? 1 2 ? 1? ? ?1 . ? 1 ? x , x ? R ,? g ( x) ? 1 .又 10x ? 1 ? 1 ,?1 ? x x 10 ? 1 0 ?1 10 ? 1 10 ? 1

??1 ? g (x ) ? .1 由 y ?

10 x ? 1 1? y 1? y x , x ? lg ,可解得 10 ? . x 10 ? 1 1? y 1? y

1? x ? f ( x )? l g , D ? (?1,1) . 1? x
(理)证明 (2)由(1)可知, h( x) ?

1 1 1? x 1 1? x ? f ( x) ? ? lg ? ? lg . x x 1? x x 1? x

可求得函数 h( x) 的定义域为 D1 ? (?1,0) 对任意 x ? D1 ,有 h( x) ? h( ? x) ? 所以,函数 y ? h( x) 是奇函数. 当 x ? (0,1) 时, 于是, lg

(0,1) .

1 1? x 1 1? x ? lg ? ? lg ? 0, x 1? x ?x 1? x

1 1? x 2 = ?1 ? 在 (0,1) 上单调递减, 在 (0,1) 上单调递减, x 1? x 1? x

1? x 在 (0,1) 上单调递减.因此,函数 y ? h( x) 在 (0,1) 上单调递减. 1? x

依据奇函数的性质,可知, 函数 y ? h( x) 在 (?1, 0) 上单调递减,且在 (?1, 0) 上的图像也是不间断的光滑曲线. 又 h(? ) ? ?2 ? lg 3 ? 0, h( ?

1 2

99 100 100 )?? ? lg199 ? 2 ? ? 0, 100 99 99
1 . 2

所以,函数 y ? h( x) 在区间 (?1, 0) 上有且仅有唯一零点 t ,且 ?1 ? t ? ? (文) (2) 答:函数 y ? h( x) 在区间 (?1, 0) 上单调递减. 理由:由(1)可知, h( x) ?

1 1 1? x 1 1? x ? f ( x) ? ? lg ? ? lg . x x 1? x x 1? x

可求得函数 h( x) 的定义域为 D1 ? (?1,0)

(0,1) .

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谭峰

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对任意 x ? D1 ,有 h( x) ? h( ? x) ? 所以,函数 y ? h( x) 是奇函数. 当 x ? (0,1) 时, 于是, lg

1 1? x 1 1? x ? lg ? ? lg ? 0, x 1? x ?x 1? x

1 1? x 2 = ?1 ? 在 (0,1) 上单调递减, 在 (0,1) 上单调递减, x 1? x 1? x

1? x 在 (0,1) 上单调递减. 因此,函数 y ? h( x) 在 (0,1) 上单调递减. 1? x

依据奇函数的性质,可知, 函数 y ? h( x) 在 (?1, 0) 上单调递减. 22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 7 分. 解(1)答:数列 ?2 xn ? 1? 是算术平方根递推数列.
2 理由: 点( xn?1 , xn ) 在函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 2 x 的图像上,? xn ? 2 xn ?1 ? 2 xn ?1 , 2 2 * 即2xn ? 1 ? 4xn ?1 ? 4 xn?1 ? 1, 2 xn ? 1 ? (2 xn ?1 ? 1) . 又 xn ? 0, n ? N ,

∴2 xn?1 ? 1 ? 证明(2)

2 xn ? 1, n ? N * .∴数列 ?2 xn ? 1? 是算术平方根递推数列.
n ?1

yn ? lg(2 xn ? 1), 2 xn ?1 ? 1 ? 2 xn ? 1, n ? N* ,? y

?

1 yn . 2



1 9 y1 ? lg(2 x1 ? 1) ? 1( x1 ? ) , ? 数列 ? yn ? 是首项为 y1 ? 1 ,公比 q ? 的等比数列. 2 2

1 ? yn ? y1 ? ( ) n ?1 , n ? N* . 2
(理)(3)由题意可知,无穷等比数列 ?zn ? 的首项 z1 ?

1 2
m ?1

,公比

1 (k、m ? N*且k、m为常数) , k 2

1
16 63 16 .化简,得 k ? m ?1 ? 16 . ? 2 ? 1 2 2 1 ? k 63 2
m ?1

若 m ? 1 ? 3 ,则

16 63 16 63 16 63 ? ? + ? + ? 16 .这是矛盾!? m ? 1 ? 2 . 2k 2m ?1 2k 8 2 8
16 63 ? ? 16 , ? m ? 1 ? 2,即m ? 3 . 2 k 2 m ?1

又 m ? 1 ? 0或1 时,

?

16 63 k ? 1 6? , 2? k 2 4

?m ? 3, 6解得 4, k ? . 6 ?? ?k ? 6.
1 2
m ?1

(文) (3)由题意可知,无穷等比数列 ?zn ? 的首项 z1 ?

,公比

1 (k、m ? N*且k、m为常数) , 2k

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谭峰

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1
1 3 1 ? 2 ? . 化简,得 k ? m ?1 ? 1 . 1 2 2 1? k 3 2
m ?1

若 m ? 1 ? 3 ,则

1 3 1 3 1 3 ? m?1 ? k + ? + ? 1 .这是矛盾! ? m ? 1 ? 2 . k 2 2 2 8 2 8
1 3 ? m ?1 ? 1 , ? m ? 1 ? 2,即m ? 3 . k 2 2

又 m ? 1 ? 0或1 时,

?

?m ? 3, 1 3 ? 1 ? , 2k ? 4, 解得k ? 2 . ? ? k 2 4 ?k ? 2.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 解(1)依据题意,可得点 N ( y, x) . 又 AN ? BN ? (2) 若直线 l

? AN ? ( y, x ?1), BN ? ( y, x ? 1) .

1 2 1 x2 x ,? y 2 ? x 2 ? 1 ? x 2 . ? 所求动点 M 的轨迹方程为 C : ? y 2 ? 1 . 2 2 2

y 轴,则可求得 |GH |= 2 ,这与已知矛盾,因此满足题意的直线 l 不平行于 y 轴.

? x2 ? ? y 2 ? 1, x ? 1 ) . 由? 2 设直线 l 的斜率为 k ,则 l : y ?k ( 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 . ? y ? k ( x ? 1). ?
? 4k 2 x ?x ? , ? ? 1 2 2k 2 ? 1 设点 H ( x1 , y1 )、G( x2 , y2 ) ,有 ? 且 ? ? 0 恒成立(因点 D 在椭圆内部). 2 2 k ? 2 ?x x ? ? 1 2 2k 2 ? 1 ?
又 | GH |?

3 2 3 2 2 2 ,于是, 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? , 2 2

即 1? k

2

(

2 4k 2 2 2k 2 ? 2 3 2 ,解得 k ? ? . ) ? 4 ? 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2 2 ( x ? 1) . 2

所以,所求直线 l : y ? ? (理)证明(3)

直线 l 与线段 AB 交于点 P ,且与点 O、A、B 不重合,

? 直线 l 的斜率 k 满足: ?1 ? k ? 1, k ? 0 . 由(2)可得点 P(0, ?k ) ,
可算得 y1 ? y2 ?

?2k k2 , y y ? ? . 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

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谭峰

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又直线 HA : y ? 1 ?

y1 ? 1 y ?1 x, GB : y ? 1 ? 2 x. x1 x2

? ? y ?1 ? ? 设点 Q( xQ , yQ ) ,则由 ? ? y ?1 ? ? ?

y1 ? 1 x, yQ ? 1 x1 y2 ? 1 x. x2


yQ ? 1

?

y1 ? 1 x2 ? (此等式右边为正数). y2 ? 1 x1

2 yQ ? 1 2 ( y1 ?1)2 x2 1 ? ( y1 ? y2 ) ? y1 y2 ? 0 ,且 ( ? ) ? ? 2? 2 yQ ? 1 yQ ? 1 ( y2 ? 1) x1 1 ? y1 ? y2 ? y1 y2

yQ ? 1

? 1+k ? =? ? . ? 1? k ?

2

?

yQ ? 1 1 ? k 1 1 ,解得 yQ ? ? . ? OP ? OQ ? (0, ?k ) ? ( xQ , ? ) ? 1 为定值. ? k k yQ ? 1 1 ? k
当直线 l

(文) (3)

y 轴时, | GH |? 2 ,点 O 到圆心的距离为 1.即点 O 在圆外,不满足题意.

? 满足题意的直线 l 的斜率存在,设为 k ,则 l : y ? k ( x ? 1) .
2k ? 4k 2 ? y1 ? y2 ? ? 2 , x ? x ? , 1 2 ? 2 ? ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 设点 H ( x1 , y1 )、G( x2 , y2 ) ,由(2)知, ? 进一步可求得 ? 2 2 ?y y ? ? k ? x x ? 2k ? 2 . . 1 2 ? 1 2 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1 ?
2k 2 ? 2 ?k 2 ? ? 0 ,解得 k ? ? 2 . 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

依据题意,有 OG ? OH , ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 即

? 所求圆的半径 r ?
圆心为 (

1 3 2 , | GH |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2 5

x1 ? x2 y1 ? y2 4 2 4 2 2 18 , ) ? ( ,? ) . ? 所求圆的方程为: ( x ? )2 ? ( y ? ) ? . 2 2 5 5 5 5 25

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