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广东省惠州市2014届高三上学期第二次调研数学(理)试题 Word版含答案


惠州市 2014 届高三第二次调研考试
数 学 (理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其

他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式: 球的体积公式: V ?

4 3 ?R 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求.

(1 ? i) 2 1.复数 z ? 的虚部为( (i为虚数单位) 1? i



A. 1

B. ?1

C. ?1

D. 0

2.设集合 A ? {x ?3 ? 2 x ? 1 ? 3} ,集合 B 为函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域,则 A ? B ?( )

A. (1, 2) C. [1, 2)

B. [1, 2] D. (1, 2]


3.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和, a1 ? 2, a5 ? 3a3 , ,则 S 9 ? (

A. ?72

B. ?54

C. 54

D. 72


4. 按右面的程序框图运行后,输出的 S 应为(

A. 26

B. 35

C. 40

D. 57

开始

5.“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与 l 2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行” 的( )

S=0,i=1
T=3i-1

A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
S=S+T i= i+1 否 i>5? 是 输出 S 结束

6. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是 2 的圆,则这个几何体 的体积是 ( )

A. 16?

B. 14?

C. 12?

D. 8?
正视图 左视图

7.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们 随机编号为 1 , 2 ,??, 960 ,分组后在第一组采用简单随机抽样的 方法抽到的号码为 9 .抽到的 32 人中, 编号落入区间 [1, 450] 的人做问 卷 A ,编号落入区间 [451,750] 的人做问卷 B ,其余的人做问卷 C . 则抽到的人中,做问卷 C 的人数为 ( )

俯视图

A. 7

B. 9

C. 10

D. 15

8.已知函数 f ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ??? 且函数 f ( x) 的零点均在区间 2 3 4 2013


? a, b ? (a ? b, a, b ? Z ) 内,圆 x 2 ? y 2 ? b ? a 的面积的最小值是(
A. ? B. 2? C. 3? D. 4?

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.若向量 BA ? (2,3), CA ? (4, 7), 则 BC ? 10. 若 tan(? ? ? ) ? 2 ,则 sin 2? = .

??? ?

??? ?

??? ?

.

?x ? 2 y ? 1 ? 11. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ?1 ? 0 ?
12. 若 ( x ?

.

a x2

)6 展开式的常数项是 60 ,则常数 a 的值为
?3x ? a ( x ? 0) ? g ( x)( x ? 0)

.

13.已知奇函数 f ( x ) ? ?

则 g (?2) 的值为

.

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的 得分。 14. (坐标系与参数方程选做题)已知点 A 是曲线 ? ? 2 cos? 上任意一点,则点 A 到直线

? ? sin(? ? ) ? 4 的距离的最小值是________.
6

15.(几何证明选讲选做题)如图, D 是圆 O 的直径 AB 延长线上一点, PD 是圆 O 的切线, P 是切点, ?D ? 30 ,


AB ? 4 , BD ? 2 , PA =
16. (本小题满分12分)



三、解答题: (本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. )

? 已知函数 f ( x) 3 sin 2 x ? cos 2 x .
(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和最值; (2)求函数 f ( x) 的单调递减区间. 17. (本题满分 12 分) 若盒中装有同一型号的灯泡共 10 只,其中有 8 只合格品, 2 只次品。 (1) 某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3 次,每次取一只灯泡,求 2 次取到次品的 概率; (2) 某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡,若是 正品则用它更换已坏灯泡,若是次品则将其报废(不再放回原盒中) ,求成功更换会议室的 已坏灯泡所用灯泡只数 X 的分布列和数学期望. 18.(本小题满分 14 分) 四棱锥 P ? ABCD 底面是平行四边形,面 PAB ? 面 ABCD ,

1 AD , ?BAD ? 60。, E,F 分别为 AD,PC 的中点. 2 P (1)求证: EF // 面PAB ; PA ? PB ? AB ?
F

(2)求二面角 D ? PA ? B 的余弦值.

B

C

A

E

D

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和是 S n ,且 Sn ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) bn ? log 3 (1 ? Sn ?1 )(n ? N ) , 设 求适合方程
*

1 an ? 1(n ? N * ) . 2

1 1 1 25 ? ? ??? ? ? 的正整数 n b1b2 b2b3 bnbn ?1 51

的值.

20. (本小题满分 14 分) 已知左焦点为 F (?1, 0) 的椭圆过点 E (1,

2 3 ) .过点 P(1,1) 分别作斜率为 k1 , k 2 的椭圆的动 3

弦 AB, CD ,设 M , N 分别为线段 AB, CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1 ; (3)若 k1 ? k2 ? 1 ,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln(1 ? x )
2

(1)当 a ?

4 时,求函数 f ( x) 在 (0, ??) 上的极值; 5
2

(2)证明:当 x ? 0 时, ln(1 ? x ) ? x ; (3)证明: (1 ?

1 1 1 . )(1 ? 4 )?(1 ? 4 ) ? e (n ? N ? , n ? 2, e为自然对数的底数) 4 2 3 n

惠州市 2014 届高三第二次调研考试
数学 (理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 A 8 A

1.【解析】因为 z ? ?1 ? i 。故选 B 2.【解析】集合 A ? ? x | ?3 ? 2 x ? 1 ? 3? ? ?x | ?1 ? x ? 2? ,集合 B 为函数 y ? 1g ( x ? 1) 的 定义域,所以 B ? ? x | x ? 1? ,所以 A ? B ? (1,2]。故选 D 3 【 解 析 】 a1 ? 2, a5 ? 3a3 得 a1 ? 4d ? 3(a1 ? 2d ) , 即 d ? ? a1 ? ?2 , 所 以

S9 ? 9a1 ?

9?8 d ? 9 ? 2 ? 9 ? 8 ? ?54 ,选 B 2

4.【解析】第一次循环:T ? 3i ? 1 ? 2, S ? S ? T ? 2, i ? i ? 1 ? 2 ,不满足条件,再次循环; 第二次循环: T ? 3i ? 1 ? 5, S ? S ? T ? 7, i ? i ? 1 ? 3 ,不满足条件,再次循环; 第三次循环: T ? 3i ? 1 ? 8, S ? S ? T ? 15, i ? i ? 1 ? 4 ,不满足条件,再次循环; 第四次循环: T ? 3i ? 1 ? 11, S ? S ? T ? 26, i ? i ? 1 ? 5 ,不满足条件,再次循环; 第五次循环: T ? 3i ? 1 ? 14, S ? S ? T ? 40, i ? i ? 1 ? 6 ,满足条件,输出 S 的值为 40. 故选 C 5. 【 解 析 】 由 直 线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与 l 2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平 行 , 得

? a ? a ? 1? ? 2? 0 ? , 解得a ? ? 2 , 所 以 “ a ? 1 ” 是 “ 直 线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与 或 1 ? ? ? 4a ? 1 0 ?
l 2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行”的充分不必要条件。故选 A
6.【解析】由题知该几何体是挖去

1 3 4 3 个球的几何体。所以 V ? ? ? ? 2 ? 8? .故选 D 4 4 3

7.【解析】由系统抽样的原理知将 960 人分 30 组,所以第一组抽 450/30=15 人,第二组抽 (750-450)/30=10,第三组抽 32-15-10=7 人。故选 A 8.【解析】∵f(x)=1+x﹣ ,

∴当 x<﹣1 或 x>﹣1 时,f'(x)=1﹣x+x ﹣x +?+x

2

3

2012

=

>0.

而当 x=﹣1 时,f'(x)=2013>0 ∴f'(x)>0 对任意 x∈R 恒成立,得函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数 ∵f(﹣1)=(1﹣1)+(﹣ ﹣ )+?+(﹣ ∴函数 f(x)在 R 上有唯一零点 x0∈(﹣1,0) ∴b﹣a 的最小值为 0-(-1)=1. ∵圆 x +y =b﹣a 的圆心为原点,半径 r= ∴圆 x +y =b﹣a 的面积为 π r =π (b﹣a)≤π ,可得面积的最小值为 π 。故选:A 二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做 一题. 9. (-2,-4) 10. ?
2 2 2 2 2



)<0,f(0)=1>0

3), 7), 9.【解析】因为 BA ? (2, CA ? (4, 所以 BC ? BA ? AC ? ? ?2, ?4 ?
10.【解析】 tan(? ? ? ) ? 2 得 tan ? = ? 2 , sin ? ? ?2 cos? . ? sin ? ? cos ? ? 1
2 2

??? ?

4 5

11.1 12.4 13.-8

14.

??? ?

??? ?

??? ???? ?

5 2

15. 2 3

1 4 ? 4 cos2 ? ? cos2 ? ? 1? cos2 ? ? . 又 sin 2? ? 2 sin ? ? cos? ? ?4 cos2 ? ? ? 5 5
11.【解析】?由可行域知直线过点(1,0)时取得最大值 1 12. 【 解 析 】 Tr +1 ? C x
r 6 6? r r ? a? r r 6 ?3 r r 得 , 由 6? 3 ? 0 r ? 2 所 以 , ? ? 2 ? ? ? ?1? C6 a 2 x ? x ? ? ? r

? ?1?

2

2 C6 a ? 60, 解得a ? 4 。

13. 【 解 析 】 因 为 函 数 f ( x) 为 奇 函 数 , 所 以 f (0)=3 +a =0 , 即 a ? ?1 。 所 以
0

f (? 2 )? g ( 2 ) ? ? ? f

( 2 ? ? ( 3? 1? ? 8 ) 2 ) 。
2 2

14.【解析】曲线 ? ? 2 cos? 即 ? x ? 1? ? y ? 1 ,表示圆心在(1,0) ,半径等于 1 的圆, 直线 ? sin(? ?

?
6

) =4,即 x ? 3 y ? 8 ? 0 ,圆心(1,0)到直线的距离等于

1? 0 ? 8 2

?

7 , 2

所以点 A 到直线 ? sin(? ?

?

7 5 ) =4 的距离的最小值是 ? 1 ? 。 6 2 2

15.【解析】连结 PO,因为 PD 是⊙O 的切线,P 是切点,∠D=30°,所以∠POC=60°, 并且 AO=2,∠POA=120°,PO=1 在△ POA 中,由余弦定理知, PA ? 2 3

三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解:(1)f(x) ? 3 2 ? 2 ?2sin(x? ) sin cos x x 2 6 ??????????3 分

?

?T ?
当2 ? x

2? ?? 2

??????????4 分

?

?2 ?? 即 x?k ? ( ? )时,f(x)取最小值-2????6 分 k ? k Z 6 2 6 3 ? ? (2)由 2 ?? ? x? ?2 ? ? ?(k?z), ?????????8 分 k 2 k 2 6 2 得 k ? ? ? ? ? ? ?????????10 分 ? ? x k 5( z ? k ) 3 6 ? 5 ? ∴单调递减区间为 [ ? , ? ?????????12 分 k ? k ? ](? . k z ) 3 6
当2 ? x 17(本小题满分 12 分) 解:解:设一次取次品记为事件 A,由古典概型概率公式得: P(A) ?

?

?2 ?? 即 x?k ? ( ? )时,f(x)取最大值 2;????5 分 k ? k Z 6 2 3

?

?

?

?

2 1 ? ??2 分 10 5

有放回连续取 3 次,其中 2 次取得次品记为事件 B,由独立重复试验得:

12 2 1 2 4 ???4 分 P(B) C( ). ? ? 3 5 5 125
(2)依据知 X 的可能取值为 1.2.3???5 分 且 P(x ? 1 ? )

8 4 ? ???6 分 10 5

P(x ? 2) ?

2?8 8 ? ???7 2 45 A10

P(x ? 3) ?

2 A2 1 ? ???8 分 2 A10 45

则 X 的分布列如下表: X p 1 2 3

4 5

8 45

1 45
??10 分

EX ?

36 16 3 55 11 ? ? ? ? ???12 分 45 45 45 45 9

18(本小题满分 14 分) 解: (1) 取PB的中点,连FG,由题设FG / / BC , FG ?

1 BC -----2 分 2
P F

? AE / / BC , AE ?

1 BC ? FG / / AE 2

AEFG是平行四边形 ,所以 EF / / AG ---4 分
AG ? 面PAB, EF ? 面PAB ? EF // 面PAB ---6 分

G
B

C

A

E

D

(2)取 PA 的中点 N , 连BN , DN ---8 分

?PAB是等边三角形? BN ? PA
? Rt ?PBD ~Rt ?ABD ? PD ? AD

P F

? AN ? PB ?ANB ? ? 是二面角 D ? PA ? B
的平面角 ----------------------------10 分 知 BD ? 面PAB, BD ? BN
A

N

B

C

E

D

在Rt?DBN中,BD ? 3 AB ? 2 BN --------------------12 分

tan ? ?

BD 5 5 ? 2, cos ? ? 即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 ---------------14 分 BN 5 5

解法二 (1)

?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 600 ,由余弦定理 BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2 ??ABD ? 90
0

所以 BD ? AB

面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB ………………………………2 分
建系 {BA, BD, z} 令 AB ? 2

??? ??? ? ?

A ? 2, 0, 0 ? , D 0, 2 3, 0 , P 1, 0, 3 , C ?2, 2 3, 0

?

? ?

? ?

?

??? 1 ??? ???? 1 ? ? 3 EF ? AP ? DC ? ?3, 0, 3 ? ? 3, 0,1 2 2 2

?

? ?

?

?

?

……………………..4 分

因为平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1, 0 ?

?? ?

??? ?? ? ? EF ? n2 ? 0 ? EF / / 面PAB
??

z
P F B

…………..6 分

(2) 设平面 PAD 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ?

??? ? ???? AP ? ?1, 0, 3 , AD ? ?2, 2 3, 0 …………8 分

?

?

?

?

C

?? ??? ? ? n1 ? AP ? ? x ? 3z ? 0 ? …………10 分 ? ?? ???? ?n1 ? AD ? ?2 x ? 2 3 y ? 0 ? ?? 令 x ? 3 所以 n1 ? 3,1,1 …………12 分

x

A

E

D

y

?

?

平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1, 0 ? ……13 分

?? ?

?? ?? ? 5 1 ,即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 cos ? n1 , n2 ?? 5 5
说明:其他建系方法酌情给分 19(本小题满分 14 分) (1) 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ,由 s1 ? 当 n ? 2 时,∵ sn ? 1 ? ∴ sn ? sn ?1 ? ∴ an ?

.................14 分

1 2 ????????1 分 a1 ? 1 ,得 a1 ? 2 3

1 1 an , sn ?1 ? 1 ? an ?1 , ???????2 分 2 2

1 1 ? an?1 ? an ? ,即 an ? ? an?1 ? an ? 2 2
????????????????5 分

1 a n ?1 (n ? 2) 3

∴ ?an ? 是以 故 an ?

2 1 为首项, 为公比的等比数列.?????????????6 分 3 3
????????????????7 分

2 1 n ?1 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) n (n ? N ? ) 3 3 3

(2) 1 ? sn ?

1 1 1 an ? ( ) n , bn ? log 3 (1 ? sn ?1 ) ? log 3 ( ) n ?1 ? ? n ? 1 ?????9 分 2 3 3

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 ????????????????11 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2 ?13 分
解方程

1 1 25 ,得 n ? 100 ? ? 2 n ? 2 51

…………………………………………14 分

20(本小题满分 14 分) 解 (1)由题意知 c ? 1, 设右焦点 F (1,0)
'

? 2a ? EF ? EF ' ? (1 ? 1) 2 ? (
? a ? 3, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2

2 3 2 3 ? 0) 2 ? ? 2 3 ??????2 分 3 3

?椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 3 2

??????4 分

2 2 x12 y12 x2 y 2 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则 ? ?1 ① ? ? 1 ②??????6 分 3 2 3 2

②-①,可得 k1 ?

y 2 ? y1 2 x 2 ? x1 2 ?? ?? x 2 ? x1 3 y 2 ? y1 3

??????8 分

(3)由题意 k1 ? k 2 ,设 M ( x M , y M ) 直线 AB : y ? 1 ? k1 ( x ? 1) ,即 y ? k1 x ? k 2 代入椭圆方程并化简得
2 (2 ? 3k12 ) x 2 ? 6k1k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0

? xM ?

? 3k1 k 2 2k 2 , yM ? 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12 ? 3k1 k 2 2 k1 , yN ? 2 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

??????10 分

同理? x N ?

??????11 分

当 k1 k 2 ? 0 时, 直线 MN 的斜率 k ?

y M ? y N 10 ? 6k1 k 2 ? xM ? x N ? 9 k1 k 2

直线 MN 的方程为 y ?

2k 2 10 ? 6k1 k 2 ? 3k1 k 2 ? (x ? ) 2 ? 9 k1 k 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12 10 ? 6k1 k 2 2 2 x ? 此时直线过定点(0, ? )???13 分 ? 9 k1 k 2 3 3

又 k1 ? k2 ? 1 化简得 y ?

当 k1 k 2 ? 0 时,直线 MN 即为 y 轴,也过点(0, ? 综上, 直线过定点 (0,? (本小题满分 14 分) 解 (1)当 a ?

2 ) 3
??????14 分 21

2 ) 3

4 4 时,f ( x) ? x ? ln(1 ? x 2 ) 5 5
?????1 分

? f ' ( x) ?

4 2x 4 x 2 ? 10 x ? 4 ? ? 5 1? x2 5(1 ? x 2 )

x, f ' ( x), f ( x) 变化如下表

x
f ' ( x)

? 1? ? 0, ? ? 2?
+ ↗

1 2
0 极大值

?1 ? ? ,2 ? ?2 ?


2
0 极小值

?2,???
+ ↗

f (x)

1 2 5 ? f 极大值 ? f ( ) ? ? ln , 2 5 4
(2)令 g ( x) ? x ? ln(1 ? x )
2

f 极小值 ? f (2) ?

8 ? ln 5 ?????4 分 5

则 g ( x) ? 1 ?
'

2x ( x ? 1) 2 ? ?0 1? x2 1? x2

?????????6 分

? g (x)在?0, ? ?上为增函数。? g ( x) ? g (0) ? 0 ?
? ln(1 ? x 2 ) ? x
(3)由(2)知 ln(1 ? x ) ? x
2

??????8 分 ???????9 分 ???????10 分

令x ?

1 1 1 1 1 1 得, ln(1 ? 4 ) ? 2 ? ? ? 4 n(n ? 1) n ? 1 n n n n

????12 分

1 1 1 ) ? ln(1 ? 4 ) ? ?? ? ln(1 ? 4 ) 4 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 ? ? 1 ????13 分 2 2 3 3 4 n ?1 n n 1 1 1 ????14 分 ? (1 ? 4 )(1 ? 4 ) ? (1 ? 4 ) ? e 2 3 n ? ln(1 ?


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