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高中物理竞赛的数学基础(自用修改)


普通物理的数学基础
选自赵凯华老师新概念力学 一、微积分初步 物理学研究的是物质的运动规律, 因此我们经常遇到的物理量大多数是变 量,而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样,微积分这个数学工具 就成为必要的了。 我们考虑到, 读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些 微积分的初步知识, 对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处 的。 所以我们在这里先简单

地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方 法, 在讲述方法上不求严格和完整, 而是较多地借助于直观并密切地结合物理 课的需要。 至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法, 读者将通过高等 数学课程的学习去完成。 §1.函数及其图形 1.1 函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量

1.2 函数的图象 1.3 物理学中函数的实例 §2.导数 2.1 极限 如果当自变量 x 无限趋近某一数值 x0(记作 x→x0)时,函数 f(x)的数 值无限趋近某一确定的数值 a,则 a 叫做 x→x0 时函数 f(x)的极限值,并记 作

(A.17)式中的“lim”是英语“limit(极限)”一词的缩写,(A.17) 式读作“当 x 趋近 x0 时,f(x)的极限值等于 a”。 极限是微积分中的一个最基本的概念, 它涉及的问题面很广。 这里我们不 企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义,只通过一个特例来说明它 的意义。 求极限公式

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(2) (3) (4)

等价无穷小量代换

sinx~x; tan~x;
2.2 极限的物理意义 (1)瞬时速度

对于匀变速直线运动来说,

这就是我们熟悉的匀变速直线运动的速率公式(A.5)。 (2)瞬时加速度

时的极限,这就是物体在 t=t0 时刻的瞬时加速度 a:

(3)水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差,这样才能使水 流动。为简单起见,我们假设水渠是直的,这时可以把 x 坐标轴取为逆水渠走 向的方向(见图 A-5),于是各处渠底的高度 h 便是 x 的函数:
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h=h(x). 知道了这个函数,我们就可以计算任意两点之间的高度差。

就愈能精确地反映出 x=x0 这一点的坡度。所以在 x=x0 这一点的坡度 k 应 是△

2.3 小量比值

函数的变化率——导数

前面我们举了三个例子,在前两个例子中自变量都是 t,第三个例子中自 变量是 x.这三个例子都表明,在我们研究变量与变量之间的函数关系时,除 了它们数值上“静态的”对应关系外,我们往往还需要有“运动”或“变化” 的观点,着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢,亦即,函数的“变化率” 概念。 当变量由一个数值变到另一个数值时, 后者减去前者, 叫做这个变量的增 量。增量,通常用代表变量的字母前面加个“△”来表示。例如,当自变量 x 的数值由 x0 变到 x1 时,其增量就是 △x≡x1-x0. (A.25) 与此对应。因变量 y 的数值将由 y0=f(x0)变到 y1=f(x1),于是它的增 量为 △y≡y1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+△x)-f(x0).(A.26)应当指 出,增量是可正可负的,负增量代表变量减少。增量比

可以叫做函数在 x=x0 到 x=x0+△x 这一区间内的平均变化率, 它在△x→ 0 时的极限值叫做函数 y=f(x)对 x 的导数或微商,记作 y′或 f′(x),

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f(x)等其它形式。导数与增量不同,它代表函数在一点的性质,即在该 点的变化率。 应当指出,函数 f(x)的导数 f′(x)本身也是 x 的一个函数,因此我 们可以再取它对 x 的导数,这叫做函数 y=f(x)

据此类推,我们不难定义出高阶的导数来。 有了导数的概念,前面的几个实例中的物理量就可表示为:

2.4 导数的几何意义 所以导数的几何意义是切线的斜率。函数的变化率 §3.导数的运算 在上节里我们只给出了导数的定义, 本节将给出以下一些公式和定理, 利 用它们可以把常见函数的导数求出来。 3.1 基本函数的导数公式 (1)y=f(x)=C(常量)

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(2)y=f(x)=x

§4.微分 4.1 微分 自变量的微分, 就是它的任意一个无限小的增量△x. 用 dx 代表 x 的微分, 则 dx=△x.(A.38) 一个函数 y=f(x)的导数 f′(x)乘以自变量的微分 dx,叫做这个函数 的微分,用 dy 或 df(x)表示,即 dy≡df(x)≡f′(x)dx, (A.39)

一个整体引入的。 当时它虽然表面上具有分数的形式, 但在运算时并不象 普通分数那样可以拆成“分子”和“分母”两部分。在引入微分的概念之后, 我们就可把导数看成微分 dy 与 dx 之商(所谓“微商”),即一个真正的分数 了。把导数写成分数形式,常常是很方便的,例如,把上节定理四(A.37)

此公式从形式上看就和分数运算法则一致了,很便于记忆。 下面看微分的几何意义。图 A-8 是任一函数 y=f(x)的图形,P0(x0, y0)和 P1(x0+△x,y0+△y)是曲线上两个邻近的点,P0T 是通过 P0 的切线。直 角三角形△P0MP1 的水平边

的交点为 N,则

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但 tan∠NP0M 为切线 P0T 的斜率,它等于 x=x0 处的导数 f′(x0),因此

所以微分 dy 在几何图形上相当于线段 MN 的长度,它和增量

是正比于(△x)2 以及△x 更高幂次的各项之和[例如对于函数 y=f(x) =x3,△y=3x2△x+3x(△x)2+(△x)3,而 dy=f′(x)△x=3x2△x].当 △x 很小时,(△x)2、(△x)3、?比△x 小得多,

中的线性主部。这就是说,如果函数在 x=x0 的地方象线性函数那样增长, 则它的增量就是 dy.

§5.小量累积 5.1 几个物理中的实例

积分

(1)变速直线运动的路程 我们都熟悉匀速直线运动的路程公式。如果物体的速率是 v,则它在 ta 到 tb 一段时间间隔内走过的路程是 s=v(tb-ta). (A.45) 对于变速直线运动来说,物体的速率 v 是时间的函数: v=v(t),
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函数的图形是一条曲线(见图 A-10a),只有在匀速直线运动的特殊情况 下,它才是一条直线(参见图 A-4b)。对于变速直线运动,(A.45)式已不适用。 但是,我们可以把 t=ta 到 t=tb 这段时间间隔分割成许多小段,当小段足够 短时,在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的。这样一来,物体在 每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算, 然后把各小 段时间里走过的路程都加起来,就得到 ta 到 tb 这段时间里走过的总路程。

设时间间隔(tb-ta)被 t=t1(=ta)、t2、t3、?、tn、tb 分割成 n 小段,每小 段时间间隔都是△t,则在 t1、t2、t3、?、tn 各时刻速率分别是 v(t1)、v(t2)、 v(t3)、?、v(tn)。如果我们把各小段时间的速率 v 看成是不变的,则按照匀 速直线运动的公式,物体在这些小段时间走过的路程分等于 v(t1)△t、v(t2) △t、v(t3)△t、?、v(tn)△t.于是,在整个(tb-ta)这段时间里的总路程是

现在我们来看看上式的几何意义。在函数 v=v(t)的图形中,通过 t=t1、 t2、t3、?、tn 各点垂线的高度分别是 v(t1)、v(t2)、v(t3)、?、v(tn)(见图 A-10b),所以 v(t1 )△t、v(t2)△t、v(t3)△t、?、v(tn)△t 就分

这些矩形面积的总和,即图中画了斜线的阶梯状图形的面积。
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在上面的计算中,我们把各小段时间△t 里的速率 v 看做是不变的,实 际上在每小段时间里 v 多少还是有些变化的,所以上面的计算并不精确。 要使计算精确,就需要把小段的数目 n 加大,同时所有小段的△t 缩短(见图 A-10c)。△t 愈短,在各小段里 v 就改变得愈少,把各小段里的运动看成匀速 运动也就愈接近实际情况。所以要严格地计算变速运动的路程 s,我们就 应对(A.46)式取 n→∞、△t→0 的极限,即

当 n 愈来愈大,△t 愈来愈小的时候,图 A-10 中的阶梯状图形的面积 就愈来愈接近 v(t)曲线下面的面积(图 A-10d)。 所以(A.47)式中的极限值 b a 等于(t -t )区间内 v(t)曲线下的面积。 总之,在变速直线运动中,物体在任一段时间间隔(tb-ta)里走过的路程 要用(A.47)式来计算,这个极限值的几何意义相当于这区间内 v(t)曲线下的 面积。

5 2 定积分

5.3 不定积分及其运算

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