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初中数学教学设计案例


“初中数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计

“变量与函数”教学设计
林俊伟(民航广州子弟学校),郑青青(广州石化中学)
一.内容和内容解析 【内容】变量与函数的概念 【内容解析】 “14.1 变量与函数”是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册第十四章第一单元,本设计 是第 1 课时, 引导学生从生活实例中抽象出常量、

变量与函数等概念, 其中函数的概念是本节核心内容. 函 数概念的核心是两个变量间的特殊对应关系:(1)由哪一个变量确定另一个变量;(2)唯一对应关系. 如果直接研究某个量 y 有一定困难,我们可以去研究另一个与之有关的量 x,从而达到研究的目的.这也 是一种化繁为简的转化思想. 本节课是函数入门课,首先必须准确认识变量与常量的特征,初步感受到现实世界各种变量之间联 系的复杂性,同时感受到研究主要从化繁就简入手,在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关 系.本设计把重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系:由哪一个变量确定另一变量;唯一确定的含 义.” 而函数图象较为直观形象,有助于学生理解函数的概念,因此把函数图象中的部分内容提前到本 课时学习. 二.目标和目标解析 【目标】理解常量、变量与函数的概念. 【目标解析】 (1)借助简单实例,学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题,能指出具体问题中 的常量、变量.初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画,能举出涉及两个变量的实例,并指出由 哪一个变量确定另一个变量,这两个变量是否具有函数关系.初步理解对应的思想,体会函数概念的核 心是两个变量之间的特殊对应关系,能判断两个变量间是否具有函数关系. (2) 借助简单实例, 引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学 知识的方法,感知现实世界中变量之间联系的复杂性,数学研究从最简单的情形入手,化繁为简. (3)从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题,引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验 “发现、创造”数学知识的乐趣.学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识,感知数学是有用、有 趣的学科. 三、教学问题诊断分析 变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中.学生知道代数式中的字母可以表 示数,方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”,从“静态”的角度理解字母所表示的数,另外,

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“初中数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计 学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等朴素的函数关系的生活实例.但是学生初次接 触函数的概念,难以理解定义中“唯一确定”的准确含义. 【教学重点】借助简单实例,从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念. 【教学难点】怎样理解“唯一对应”. 四、教学过程设计 (一)导言: 1.《名侦探柯南》中有这样一个情景:柯南根据案发现场的脚印,锁定疑犯的身高.你知道其中的 道理吗? 2.我们班中同学 A 与职业相扑运动员,谁的饭量大?你能说明理由吗? 问题 1 中都涉及两个量的关系,脚印确定,对应的身高有多个取值;问题 2 涉及多个量的关系.这 一节课我们研究两个量的关系,研究怎样由一个量来确定另一个量. 【设计意图】 从学生的生活入手, 开门见山, 在极短的时间(一两分钟)内指明本节课的学习内容. 现 实世界中各种量之间的联系纷繁复杂,应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简,本节课只关注一 类简单的问题. (二)概念的引入 1.票房收入问题:每张电影票的售价为 10 元. (1)若一场售出 150 张电影票,则该场的票房收入是 (2)若一场售出 x 张电影票,则该场的票房收入 y 元,则 y= 思考: (1)票房收入随售出的电影票变化而变化,即 y 随 的变化而变化; 元;若售出 205 张、310 张呢? .

(2)当售出票数 x 取定一个确定的值时,对应的票房收入 y 的取值是否唯一确定?

2.成绩问题:如图是某班同学一次数学测试中的成绩登记表:这一次数学测试中, 13 号的成绩为______; 号的成绩为______; 号的成绩为______; 号的成绩为______. 15 16 23

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思考: (1)测试成绩随________的变化而变化; (2)任意确定一个学号 x,对应的成绩 f 的取值是否唯一确定? 3.气温问题:图一是抚顺春季某一天的气温T随时间 t 变化的图象,看图回答:

(1)这天的 8 时的气温是

℃,14 时的气温是

℃,最高气温是

℃,最低气温是 ).

℃;

(3)这一天中,在 4 时~12 时,气温( A.持续升高 思考: (1)天气温度随 B.持续降低

),在 16 时~24 时,气温( C.持续不变

的变化而变化,即 T 随

的变化而变化;

(2)当时间 t 取定一个确定的值时,对应的温度 T 的取值是否唯一确定? 【设计意图】这三个问题中都含有变量之间的单值对应关系,通过研究这些问题引出常量、变量、 函数等概念,通过这种从实际问题出发开始讨论的方式,使学生体验从具体到抽象地认识过程.问题的形 第 3 页 共 37 页

“初中数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计 式有填空、列表、求值、写解析式、读图等,隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、 列表法、图象法. (三)概念的界定 思考:上述三个问题中,分别涉及哪些量的关系?通过哪一个量可以确定另一个量? 在上面的三个问题中,其中一个量的变化引起另一个量的变化(按照某种规律变化),变化的量叫 做变量;有些量的值始终不变(例如电影票的单价 10 元??).并且当其中一个变量取定一个值时,另 一个变量就随之确定,且它的对应值只有一个. 教师根据学生的回答,在黑板上板书:

师生对上述三个问题进行分析,找出它们的共性,归纳出函数的概念. 【设计意图】 (1)如何把具体的实例进行抽象, 形式化为数学知识是本课的关键. 这里提出的问题 “上 述三个问题中,分别涉及哪些量的关系?通过哪一个量可以确定另一个量?”是一个关键的“脚手架”, 借助“脚手架”,学生经历数学概念的形成过程,引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念, 逐步了解如何给数学概念下定义. (2)此处板书是 “脚手架” 的重要组成部分, “两个量的对应关系” 揭示 . 问题回顾:指出前面三个问题中涉及到的量,并指出其中的变量、常量、自变量与函数. 【设计意图】巩固常量、变量、自变量、函数的概念. 例 1 一个三角形的底边为 5,这一边上的高 h 可以任意伸缩.

(1)高 h 的变化会引起三角形中哪些量发生变化?这些变量是高 h 的函数吗? (2)试求面积 s 随 h 变化的关系式,并指出其中的常量、变量与自变量。

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“初中数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计 例 2 如果用 r 表示圆的半径,半径 r 的变化会引起圆中哪些量发生变化?这些变量是半径 r 的函数 吗? 【设计意图】例 1、例 2 的引入用几何画板做动态演示.此两例引导学生体会几何问题中两个变量 在动态变化过程中的依存关系. 例3 问题 1 中,售出票数是票房的函数吗?问题2中,学号 x 是成绩 f 的函数吗?

【设计意图】(1)引导学生从逆向思维的角度进行思考,更全面地理解函数的概念.(2)培养 学生逆向思维的习惯.(3)让学生对这三个问题留下更深刻的印象,特别是“成绩问题,”它将在函 数这一章书的教学中反复被引用,帮助学生深入理解函数的概念. (四)概念巩固 1.购买一些签字笔,单价 3 元,总价为 y 元,签字笔为 x 支,根据题意填表:

(1)y 随 x 变化的关系式 y = (2)当购买 8 支签字笔时,总价为

, 元.

是自变量,



的函数;

2.周末,小李 8 时骑自行车从家里出发,到野外郊游,16 时回到家里.他离开家后的距离 s(千米) 与时间 t(时)的关系如图所示.

(1)当 t=12 时,s=________;当 t=14 时,s=________; (2)小李从______时开始第一次休息,休息时间为____小时,此时离家______千米. (3)距离 s 是时间 t 的函数吗?时间 t 是距离 s 的函数吗? 【设计意图】(1)例题和巩固练习,巩固变量与函数等概念,让学生充分体会到许多问题中的变量 关系都存在着函数关系,隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.(2) 练习二 2(4)从逆向思维的角度提出具有实际背景的问题有利于学生理解函数的“单值对应关系”,有利 于学生明确“由哪一个量能唯一确定另一个量”,让学生养成多角度思考的习惯. 第 5 页 共 37 页

“初中数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计 (五)概念辨析

1.两个变量 x、y 满足关系式

,填表并回答问题:

y 是 x 的函数吗?为什么? 2.下列各图中,表示 y 是 x 的函数的有_________________(可以多选).

3.你能举出涉及两个变量的例子吗?它们具有函数关系吗? 【设计意图】理解函数概念的核心是“①由哪一个变量确定另一个变量;②唯一对应关系”,给定 自变量 x 的任意一个值就有唯一确定的 y 的值和它对应,这样的对应可以是“自变量的一个取值对应因 变量的一个取值”(简称“一对一”),也可以是“自变量的多个取值对应因变量的同一个取值”(简 称“多对一”),但不可以是“自变量的同一个取值对应因变量的多个取值”(简称“一对多”). (六)质疑、小结 1.这一节课你有什么收获?还有什么疑问?你可以编一道题考一考同学,也可以向同学请教. 2.函数是一种“数”吗? 【设计意图】通过小结,让学生抓住函数概念的实质. (七)作业:略 —————————————————— 注:设计组成员有林俊伟,郑青青,雷珮瑛,陈汉桥,陈秀君,陈李,郑燕,褚永华,梁颖瑜,陈 敏妍,全文骊,潘瑞胜,伍晓焰,许世红。

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《平方差公式》教学设计
江苏省平潮高级中学 陆志强 一、内容和内容解析 内容 人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“15.2 乘法公式”(第一 课时) 内容解析 《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式 的加减及整式乘法等知识的基础上,在学生已经掌握了多项式乘法之后,自然过渡到具有 特殊形式的多项式的乘法,是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究, 不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法,而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根 式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础,同时也为完全平方公式的 学习提供了方法.因此,平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位,是初中阶段 的第一个公式. 本节课的教学重点是: 经历探索平方差公式的全过程, 并能运用公式进行简单的运算. 二、目标和目标解析 目标 1、经历平方差公式的探索过程,进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力; 2、掌握平方差公式的结构特征,能运用公式进行简单的运算; 3、会用几何图形说明公式的意义,体会数形结合的思想方法. 目标解析: 1、让学生经历“特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示”这一数学活 动过程,积累数学活动的经验,进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力,同时体 会数学的简洁美、培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交 流的重要性. 2、让学生了解平方差公式产生的背景,理解平方差公式的意义,掌握平方差公式的 结构特征,并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中,引导学生观察、分析公式
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的结构特征以及公式中字母的广泛含义,并在练习中,对发生的错误做具体分析,加深学 生对公式的理解. 3、通过自主探究与合作交流的学习方式,让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新 知这一过程,发挥学生的主体作用,增强学生学数学、用数学的兴趣.同时,让学生在公 式的运用中积累解题的经验,体会成功的喜悦. 三、教学问题诊断分析 学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法,但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某 些项符号及漏项等问题.学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字 母的广泛含义学生的理解.因此,教学中引导学生分析公式的结构特征,并运用变式训练 揭示公式的本质特征,以加深学生对公式的理解. 本节课的教学难点:利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式,灵活运用平方差 公式进行计算. 四、教学过程设计 (一)创设情境,引出课题 问题1:计算下列多项式的积,你能发现什么规律? (1)(x+1)(x-1)= (2)(m+2)(m-2)= ; ;

(3) (4)(2x+1)(2x-1)=

= .



【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算,既复习了旧知,又为下面学 习平方差公式作了铺垫,让学生感受从一般到特殊的认识规律,引出乘法公式----平方差 公式. (二)探索新知,尝试发现 问题2:依照以上四道题的计算回答下列问题: ①式子的左边具有什么共同特征?
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②它们的结果有什么特征? ③能不能用字母表示你的发现? 师生活动:教师提问,学生通过自主探究、合作交流,发现规律,式子左边是两个 数的和与这两个数的差的积,右边是这两个数的平方差,并猜想出: . 【设计意图】根据“最近发展区”理论,在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探 索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式,这样更加自然、合理. (三)数形结合,几何说理 问题 3:活动探究:将长为(a+b),宽为(a-b)的长方形,剪下宽为 b 的长方形条, 拼成有空缺的正方形,并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系 .

【设计意图】通过学生小组合作,完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系, 进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想,让学生体会到代 数与几何的内在联系.引导学生学会从多角度、多方面来思考问题.对于任意的 a、b,由 学生运用多项式乘法计算: 的正确性. (四)总结归纳,发现新知 问题 4:你能用文字语言表示所发现的规律吗? 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
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,验证了其公式

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【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述,从而提高学生的语言组织与表达能力. (五)剖析公式,发现本质 在平方差公式 中,其结构特征为:

①左边是两个二项式相乘,其中“a 与 a”是相同项,“b 与-b”是相反项;右边是二 项式,相同项与相反项的平方差,即 ;

②让学生说明以上四个算式中,哪些式子相当于公式中的 a 和 b,明确公式中 a 和 b 的广泛含义,归纳得出:a 和 b 可能代表数或式. 【设计意图】通过观察平方差公式,体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌 握公式.在认清公式的结构特征的基础上,进一步剖析 a、b 的广泛含义,抓住了概念的 核心,使学生在公式的运用中能得心应手,起到事半功倍的效果. (六)巩固运用,内化新知 问题 5:判断下列算式能否运用平方差公式计算: (1)(2x+3a)(2x–3b); (3)(-m+n)(m-n); (2) (4) ; ;

(5)



(6)



【设计意图】学生经过思考、讨论、交流,进一步熟悉平方差公式的本质特征,掌握 运用平方差公式必须具备的条件.巩固平方差公式,进一步体会字母 a、b 可以是数,也 可以是式,加深对字母含义广泛性的理解. 问题 6:判断下列计算是否正确: (1)(2a–3b)(2a–3b)=4a2-9b2 (2)(x+2)(x – 2)=x2-2 (3)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4 ( ( ) ( ) )

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【设计意图】对学生常出现的错误,作具体的分析,以加深学生对公式的理解,进一 步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件. 问题 7:计算:

(1)(2x +3)(3x-3);(2)(b+2a)(2a-b);(3) 解:(1)(2x + 3)(2x –3)=(2x) -3
2 2



= 4x -9

2

(2)(b+2a)(2a-b) =(2a) -b =4a -b
2 2 2 2

(3)

= = 【设计意图】解决操作层面问题.可提议用不同方法计算,以体现学生的创造性. (七)拓展深化,发展思维 问题 8:计算: (1)98×(-102); (2) .

【设计意图】把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式,此题体现了转化的思想 和数式通性;另一题是平方差公式与一般多项式乘法的综合,注意不能用公式的仍按多项 式乘法法则进行.
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问题 9:小明家有一块“L”形的自留地,现在要分成两块形状、面积相同的部分,种 上两种不同的蔬菜,请你来帮小明设计,并算出这块自留地的面积.

【设计意图】运用平方差公式解决实际问题,体现了数学来源于生活,服务于生活, 学生感受到学习了有用的数学,设计此题与平方差公式的几何意义相吻合,加深学生对平 方差公式的理解. (八)小试牛刀,挑战自我 1.计算:

2.在下列括号中填上合适的多项式:

3.看谁算得快: 【设计意图】设计此组题旨在从正反两方面灵活运用平方差公式,由结果追溯算式中 的相同项和相反项,关键在于理解公式结构特征,同时锻炼了学生逆向思维能力,也为后 续的学习做了铺垫.第 2 个填空题有两种填法,属开放设计.目的是加强学生对公式结构 特征的理解,同时也锻炼学生的发散思维. (九)总结概括,自我评价 问题 10:这节课你有哪些收获?还有什么困惑?

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【设计意图】从知识和情感态度两个方面加以小结,使学生对本节课的知识有一个系 统全面的认识. (十)课后作业 必做题:P156 习题 15.2 1 选做题:1. 2.计算:(1) (2) (3) (4) ; ; ; . ,则 A 的末位数是_______.

【设计意图】作业分层处理有较大的弹性,体现作业的巩固性和发展性原则,尊重学 生的个体差异,满足多样化的学习需要,让不同的人在数学上得到不同的发展. 六.目标检测设计 一、选择题: 1.下列多项式乘法中,可以用平方差公式计算的是( A. C. 2.下列计算中,结果正确的是( A. B. D. ) B. =25 -4 )

C. 二、填空题: 3.计算: 4.计算: 5.(_____-4b)(_____+4b)=9a -16b .
2 2

D.

; ;

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三、计算:

6.



7.



8. 四、解答题



9.53×47.

10.已知:两个正方形的周长之和等于 32cm,它们的面积之差为 48cm2,求这两个正 方形的边长. 【设计意图】对本节重点内容进行现场检测,及时了解教学目标的达成情况.

“用频率估计概率(第 1 课时)”教学设计
荆州市教育科学研究院 熊 乾 荆州市实验中学 李宜红 王用华 一、内容和内容解析 内容:人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册“25. 3 用频率估计 概率”(第一课时). 内容解析: 不确定现象大量存在于自然界和人类社会中,概率正是研究这种现象、揭示其统计规 律并帮助我们形成决策的数学工具. 且随着生产的发展和科学技术水平的提高,概率在现 实生活和科学预测中的作用愈加广泛和重要,掌握概率的基本知识和思想方法已成为现代 社会公民必备的素养. “用频率估计概率”是 “概率初步”这一章的第三节,是在学生初步了解概率的意 义及会用概率的古典定义求一些简单等可能事件的概率之后对概率的进一步研究. 教材这 样编排其主要意图有三:1、遵从概率的产生及发展规律. 历史上概率(指客观概率)的定 义经历了三个阶段:①概率的古典定义;②概率的统计定义;③概率的公理化定义. 2、符 合学生的认知规律. 概率的古典定义相对简单,所涉事件的概率有确定的结果,学生易于 接受,而概率的统计定义其内涵更为深刻. 3、相对于概率的古典定义,用频率估计概率的 方法更具一般性与普遍性,它不受列举法求概率两个条件的限制,适用范围更广. 所谓频率,是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试验总次数的比值,其 本身是随机的,在试验前不能够确定,且随着试验的不同而发生改变. 而一个随机事件发 生的概率是确定的常数,是客观存在的,与试验次数无关. 从以上角度上讲,频率与概率 是有区别的,但在大量的重复试验中,随机事件发生的频率会呈现出明显的规律性:随着 样本量的增加,频率将会越来越集中在一个常数附近,具有稳定性,即试验频率稳定于其
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理论概率. 1713 年,瑞士大数学家雅各布·伯努利对这一客观规律性从理论上给予了证明, 并提出了大数定律中的伯努利定律. 基于此,我们可以用这个稳定的频率作为事件发生的

概率──“一般地,在大量重复试验中,如果事件 A 发生的频率

会稳定在某个常数 P

附近,那么事件 A 发生的概率 P(A)=P. ”这也就是概率的统计定义. 它突破了对随机事 件发生结果的等可能性与有限性的限制,揭示了偶然性中蕴含的必然规律. “频率稳定性” 是概率统计定义的核心,相比古典定义“用频率估计概率”更具普适性,它是求概率最基 本的方法. 教学重点:了解用频率估计概率的必要性和合理性. 二、目标和目标解析: 目标:了解用频率估计概率的必要性和合理性,初步理解概率的统计定义;能通过对 事件发生频率的分析,估计事件发生的概率;培养学生的动手能力和处理数据的能力,培 养学生的理性精神. 目标解析:1、能够通过试验获得事件发生的频率,并通过大量重复试验,让学生体 会到随机事件内部所蕴涵的客观规律——频率的稳定性. 知道大量重复试验时频率可作为 事件发生概率的估计值. 2、结合生活实例,能进一步明晰频率与概率的区别与联系,了解用频率估计概率的 方法与列举法求概率的区别,并能够通过对事件发生频率的分析,估计事件发生的概率. 3、在经历用试验的方法探究概率的过程中,培养学生的动手能力、处理数据的能力, 进一步增强统计意识、发展概率观念,同时培养学生实事求是的态度、勇于探索的精神及 交流与协作精神. 三、教学问题诊断分析 1、由于学生初学概率,且在此之前面对求概率的随机事件都是等可能事件,对于一 些结果不是等可能的随机事件(如:认为姚明一次罚篮的结果进与不进是等可能的)会依 然采取列举法,这类现象产生的原因是对用列举法求概率的两个条件把握不够,对事件发 生的可能性大小分析不透彻所致. 2、频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性大小,但频率本身是随机的, 在试验前不能确定,无法从根本上刻画事件发生可能性的大小,只有在大量重复试验的条 件下,可以近似地作为这个事件的概率. 概率是巨大数据统计后得出的结论,是一种大的 整体趋势,是频率在理论上的期望值,它是一个确定的常数,是客观存在的,与试验次数 无关. 频率与概率是从量变到质变,是对立统一的. 对于初学者,对两者关系的理解,还 需要一个循序渐进的过程. 3、容易忽略“大量重复试验”这个用频率估计概率前提条件. 这一问题的出现也是对 概率思想的内涵把握不够所致. 概率是针对大量重复试验而言的,如果试验次数太少,试 验频率可能会与理论概率值产生较大的偏差,进而不能合理的估计概率. 教学难点:大量重复试验得到频率稳定值的分析,对频率与概率之间关系的理解.

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四、教学过程: (一)情景引入: 问题 1:姚明罚篮一次命中概率有多大? 播放“NBA”(美国男子篮球职业联赛)08—09 赛季火箭队 VS 奇才队的比赛片段, 在姚明罚篮球出手后,画面停滞,屏幕显示:问题:姚明罚进的概率有多大? 学生先思考、讨论、发言后媒体出示甲、乙、丙的说法: 甲:100% 姚明是世界明星嘛! 乙:50% 因为只有进和不进两种结果,所以概率为 50%. 丙:80% 姚明很准的,大概估计有 80%的可能性. 同学们,你们同意谁的观点? 学生充分交流后,老师对不同说法进行适当的评价,并借机复习用列举法求概率的条 件,引导学生分析进与不进的可能性不相等,不能用列举法来求概率. 师:那它究竟有没有规律,或者说还有没有其它的办法探求概率呢? 屏幕上闪烁显示 08—09 赛季姚明罚篮命中率 86. 6%. 师:姚明的命中率从何而来?(统计结果) 怎么统计的?(罚中个数与罚球总数的比值) 这个比值叫什么?(这实际上就是频率,这种方法实际上就是用频率估计概率) 在此基础上,导出课题. 设计意图:从学生熟悉、感兴趣的事物和最喜欢的球星引入,激发学习兴趣的同时, 得出姚明罚篮命中的可能性不相等,由此引发认知冲突,导入新课. (二)试验探究 问题 2:怎样用频率估计概率? 1、抛掷一枚硬币正面(有数字的一面)向上的概率是二分之一,这个概率能否利用 刚才计算命中率方法──通过统计很多掷硬币的结果来得到呢? 设计意图:已知概率的情况下引入试验,基于以下原因:(1)抛掷硬币试验所需条 件容易实现,可操作性强; (2)硬币试验历史上积累了大量数据,更有利于问题的说明; (3)用频率估计概率可以和前两节学习的概率的古典定义统一,两种不同的方法求得的 是同一个概率,且概率的统计定义比古典定义更具一般性. 2、试验一(掷硬币试验)(配合亲切童声播放) 全班共分 8 个小组,每小组 5 人,共抛 50 次,推荐组长一名,组长不参与抛掷. (1)抛掷要求:①抛掷时请将书本文具收入课桌内;②两人一组合,完成 25 次抛 掷,一人抛一人画“正”记数,抛掷一次划记一次,“正面向上”一次划记一次;③抛 的高度要达到自己坐姿的头顶高度,若硬币掉在地上,本次不作记录. (2)组长职责:①检查组员抛掷是否符合要求;②收集本组数据,把数据录入教师 机中的抛掷情况表. 全班共同填写硬币抛掷统计表(表 3),将第 1 组数据填在第一列, 第 1、2 组的数据之和填在第二列,??8 个组的数据之和填在第 8 列. 设计意图:①“在相同条件下”使数据更真实有效;②合理分组,可以减少劳动强度, 加快试验速度,同时在培养动手能力与探索精神中,培养团队协作精神.
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表 1(个人抛掷情况统计表)

表 2(小组抛掷情况统计表)

表 3(硬币抛掷统计表)

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设计意图:这几个图表的给出可以正确有效地引导学生在有限的课堂时间内高效率 地得到相关的试验数据及整理描述数据,为分析数据作准备. 同时,试验整个操作过程 均由学生参与完成,教师只是作为组织者参与其中,关注学生的投入程度──能否积极、 主动地从事各项活动,向同伴解释自己的想法,听取别人的建议与意见;关注学生在活 动中表现出的实践能力、思维水平、团队意识. 问题 3:分析试验结果及史上数学家大量重复试验数据,大家有何发现? 3、分析数据 全班填写表 3 得到硬币正面向上频率的同时,教师在黑板上绘制折线图,完成后教师 提问: ①随着抛掷次数的增加,“正面向上”的频率在哪个数字的左右摆动? ②随着抛掷次数的增加,“正面向上”的频率在 0. 5 的左右摆动幅度有何规律?(学 生从折线图 1 中难以发现) 师:接下来,我们增加试验次数,看看有什么新的发现,历史上有许多数学家为了弄 清其中的规律,曾坚持不懈的做了成千上万次的掷硬币试验.

引导学生关注数学家的严谨,师:还有一位数学家,做了八万多次的试验. 观察频率在 0. 5 附近摆动幅度有何规律? 观察折线图 2:

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③请大家分析,两个折线图反映的规律有何区别?什么原因造成了不同?学生得出: 图一,试验次数少一些,“正面向上”的频率在 0. 5 左右摆动的幅度大一些. ④你们认为出现的规律与试验次数有何关系?(试验次数越多频率越接近 0. 5,即频 率稳定于概率.) ⑤数学家为什么要做那么多试验? ⑥当“正面向上”的频率逐渐稳定到 0. 5 时,“反面向上”的频率呈现什么规律?概 率与频率稳定值的关系是什么呢? 师生共同小结:至此,我们就验证了可以用计算罚篮命中率的方法来得到硬币“正面 向上”的概率. 设计意图:这六个问题的设置,循序渐进,促使学生更深入的分析数据,学生发现 大量重复试验时频率稳定于概率,在头脑中再现了知识的形成过程,避免单纯地记忆, 使学习成为一种再创造的过程. 问题 4:从一定高度落下的图钉,落地后可能图钉尖着地,也可能图钉尖不着地,估 计一下哪种事件的概率更大. 试验二(抛掷图钉试验) 试验规则:1、全班分成 8 个小组,每小组 5 人,每组共完成 50 次试验,两人一组合 完成 25 次试验,统一从数学课本高度处落下,做好记录;2、每个小组的组长汇总 50 次 试验的结果,并报给教师,教师利用电子表格自动得出各组频率及累加后频率,绘制折线 图. 表 4(小组抛掷图钉统计表)

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表 5(图钉抛掷统计表)

从表中可以发现,“图钉尖着地”的频率在 左右摆动,并且随着统计数据的增加, 这种规律愈加明显,所以估计从一定高度落下的图钉,图钉尖着地的概率是 . 设计意图:学生通过抛掷硬币试验,初步得出大量重复试验时硬币正面向上的频率具 有稳定性,可以用试验方法获得概率,但对于试验结果不具有等可能性的随机事件(如姚 明罚篮一次进与不进可能性不等)是否具有稳定性尚不清楚,意在进一步说明频率的“稳 定性”. (三)揭示新知 问题 5:为什么可以用频率估计概率? 师:其实,不仅仅是掷硬币、掷图钉事件有规律,人们在大量的生产生活中发现:对 于一般的随机事件,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率也 总在一个固定数附近摆动,显示出一定的稳定性. 引出瑞士数学家雅各布·伯努利最早阐明频率具有稳定性,介绍其家族前后三代共出 13 位大数学家和大物理学家,进行数学史的教育.

师:由于大量重复试验的频率具有稳定性,由此可根据这个稳定的频率来估计概率. 归纳:一般地,在大量重复试验中,如果事件 A 发生的概率 m/n 会稳定在某个常数 p 附近,那么事件 A 发生的概率 P(A)=P.
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教师指出这是从统计的角度给出了概率的定义,也是探求概率的一种新方法,列举法 仅限于试验结果有限个和每种结果出现的可能性相等的事件求概率,而用频率估计概率的 方法不仅适用于列举法求概率的随机事件,而且对于试验的所有可能结果不是有限个,或 各种结果发生的可能性不相等的随机事件,我们也可以用频率来估计概率. 设计意图:引入瑞士数学家雅各布·伯努利的故事,增加学生学习数学的兴趣,同时, 增加学习自信心,通过比较概率的统计定义与古典定义,引导学生发现用频率估计概率思 想方法的重要作用. 问题 6:随机事件的概率 P(A)有什么范围?对一个随机事件 A,用频率估计的概率 P(A)可能小于 0 吗?可能大于 1 吗? 设计意图: 通过探求取值范围, 促进学生对用频率估计概率的内涵有更深一层的认识. (四)巩固练习 问题 7:“抢” 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:

①计算表中相应的“射中 9 环以上”的频率(精确到 0. 01); ②这些频率稳定在哪一个常数附近? ③根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中 9 环以上”的概率(精确到 0. 1). 设计意图:巩固新知,知能升级. 问题 8:“辩” (1)天气预报说下星期一降水概率为 90%,下星期三降水概率为 10%,于是有位同 学说:下星期一肯定下雨,下星期三肯定不下雨,你认为他说的对吗? (2) 抛掷硬币 100 次, 一定有 50 次正面向上吗?抛掷 2n 次一定有 n 次正面向上吗? (3)小明投篮 5 次,命中 4 次,他说一次投中的概率为 5 分之 4 对吗? (4)小明的爸爸这几天迷上了体育彩票,该体育彩票每注是一个 7 位的数码,如能 与开奖结果一致,则获特等奖;如果有相连的 6 位数码正确,则获一等奖;??;依次类 推,小明的爸爸昨天一次买了 10 注这种彩票,结果中了一注一等奖,他高兴地说:“这 种彩票好,中奖率高,中一等奖的概率是 10%!小明爸爸的说法正确吗?” 设计意图:通过对生活中实例的辨析,进一步揭示概率的内涵──概率是针对大量重 复试验而言的,大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中反映出来. 反过来,试验次 数太少时,有时不能合理估计概率. 问题 9:“议” 频率与概率有什么区别与联系?
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学生思考、讨论后全班交流. 此处重点强调学生理解,若不能概括、归纳,则直接出 示答案. 设计意图:明晰频率与概率的联系与区别,渗透辩证思想,同时,深化新知,突破难 点. (五)总结反思 问题 10:通过本节课的学习,你有哪些收获? 学生谈本节课的学习感受,教师梳理、概括本节课学习的主要内容,并揭示蕴涵的数 学思想方法. 设计意图:通过小结与反思,使学生对本节课的内容有一个整体的认识和理解,对核 心思想方法有了更深的体会. 同时,培养学生归纳概括能力和语言表达能力. (六)课后作业(投针试验) (1)在一个平面上画一组间距为 d=4cm 的平行线,将一根长度为 l=3cm 的针任意投 掷在这个平面上,针可能与某一直线相交,也可能与任一直线都不相交. 根据记录在下表 中的投针试验数据,估计针与任一直线相交的概率.

(2)在投针试验中,如果间距 d=4cm、针长 l =3cm 时针与任一直线相交的概率为 p, 则当 d 不变 l 减小时概率 p 会如何变化?当 l 不变 d 减小时概率 p 会如何变化? (在试验 中始终保持 l <d) (3)查阅资料,了解布丰投针实验及概率公式 p=,知道可用概率的方法得到圆周率 π 的近似值,了解蒙特卡罗方法. 设计意图:复习巩固新知,培养动手能力,体验数学文化.

《平行四边形》教学设计
授课教师:张淑媛 指导教师:刘金英 刘士勇 一、内容和内容解析 平行四边形是“空间与图形”领域中最基本的几何图形,它在生活中有着十分广泛的 应用,这不仅表现在日常生活中有许多平行四边形的图案,还包含其性质在生产、生活各 领域的实际应用

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平行四边形,是建立在前面学习了四边形的概念和性质的基础之上,将要学习的特殊 的四边形. 本节课是平行四边形的第一课时, 主要研究平行四边形的概念和边、 角的性质. 关于平行四边形的概念,在小学,学生已经学过,并不会感到生疏,但对于这个概念 的本质属性,理解的并不是十分深刻,所以,本节课的学习,并不是简单的重复.本节课, 平行四边形的定义采用的是内涵定义法,即“种概念+属差=被定义的概念”.在平行四边 形的定义中,大前提是“四边形(种概念)”,条件是“两组对边分别平行(属差)”. “两 组对边分别平行”是平行四边形独有的、用以区别于一般四边形的本质属性,这也是平行 四边形概念的核心之所在.平行四边形的概念,揭示了平行四边形与四边形的隶属关系、 区别与联系,反映了平行四边形的本质属性.同时,它既是平行四边形的判定,又可以作 为平行四边形的一个性质. 关于平行四边形边、角的性质,“平行四边形的对边相等”相对于定义中的“两组对 边分别平行”,是由位置关系向数量关系的一种延伸;“平行四边形的对角相等”相对于 “两组对边分别平行”,是由“相邻的角互补”产生的思维的一种深化.同时,两条性质 的探究,经历的是“感知、猜想、验证、概括、证明”的认知过程;两条性质的研究,先 从边分析,再从角分析,再到下一节课的从对角线分析,提供的是研究几何图形性质的一 般思路;两条性质的证明,渗透的是将四边形问题转化为三角形问题的一种转化思想,而 添加对角线,介绍的是将四边形问题转化为三角形问题的一种常用的转化手段. 在本章的后续学习中,对于几种特殊的四边形,其定义均采用的是内涵定义法,并且 矩形和菱形的定义, 均以平行四边形作为种概念, 所以平行四边形的概念作为 “核心概念” 当之无愧.关于平行四边形的性质,也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的基础,这 些特殊平行四边形的性质,都是在平行四边形性质基础上扩充的,它们的探索方法,也都 与平行四边形性质的探索方法一脉相承,因此,平行四边形的性质,在后续的学习中,也 是处于核心地位. 教学重点:平行四边形的概念和性质. 二、目标和目标解析 (1)教学目标: ①掌握平行四边形的概念及性质. ②学会用分析法、综合法解决问题. ③体会特殊与一般的辩证关系. ④逐步养成良好的个性思维品质.
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(2)目标解析: ①使学生掌握平行四边形的概念,掌握平行四边形的对边相等,对角相等的性质, 会根据概念或性质进行有关的计算和证明. ②通过有关的证明及应用,教给学生一些基本的数学思想方法.使学生逐步学会分 别从题设或结论出发,寻求论证思路,学会用综合法证明问题,从而提高学生分析问题解 决问题的能力. ③通过四边形与平行四边形的概念之间和性质之间的联系与区别,使学生认识特殊 与一般的辩证关系,个性与共性之间的关系等.使学生体会到事物之间总是互相联系又相 互区别的,进一步培养辩证唯物主义观点. ④通过对平行四边形性质的探究,使学生经历观察、分析、猜想、验证、归纳、概 括的认知过程,培养学生良好的个性思维品质. 三、教学问题诊断分析 学生对平行四边形概念的理解,需要建立在对概念的内涵定义法的理解之上,而学生 在小学学习平行四边形时,只停留在对图形的识别上,缺乏这方面的训练.因此,学生极 易把平行四边形的概念当作已知,而忽视平行四边形与四边形概念的内涵包容、共性与个 性以及它们的从属关系, 容易造成只知道平行四边形的特性, 而不知它是四边形的现象. 所 以,我们应在平行四边形概念的教学时,有针对性地设计揭示概念内涵的说明过程. 平行四边形性质的证明过程,一般学生都能理解,但对为什么要添加辅助线,又怎么 想到作对角线,理解起来会有些困难.这属于思想方法方面的问题,学生往往只停留在能 听懂,但不能内化的层面,需要我们进行精心的设计,充分展示“将平行四边形转化为三 角形”问题的过程,讲清楚添加辅助线的目的、作用和意义. 教学难点:平行四边形的概念;平行四边形性质证明过程中蕴涵的基本思想方法. 四、教学支持条件分析 根据本节课的教材内容特点,为了更直观、形象地突出重点,突破难点,提高课堂效 率,采用以观察发现为主,多媒体演示为辅的教学组织方式.在教学过程中,通过设置带 有启发性和思考性的问题串, 创设问题情景, 启发学生思维. 利用计算机和几何画板软件, 并结合学生亲自动手操作测量,让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程. 五、教学过程设计 (一)创设情境,引入概念 问题 1:请同学们欣赏一组日常生活中的图片,你能发现它们都有什么共同特点?
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教师用电脑展示,学生观察,寻找共性. 【设计意图】从学生熟悉的实际问题出发,创设情境,提出问题,可以激发学生强烈 的好奇心和求知欲,使学生在观察、思考的活动中,对平行四边形先有初步的感性认识. 教师通过电脑,演示从实物中抽象出平行四边形图形的过程. 【设计意图】从实际问题中抽出几何图形——平行四边形,让学生经历将实际问题抽 象为数学问题的过程,进一步强化学生对平行四边形图形的认识. 问题 2:你还能举出一些例子吗? 【设计意图】通过举例,可以让学生认识到平行四边形在生活、生产中的广泛应用, 知道本节课的研究具有实际意义,从而激发学生的学习兴趣,引出本节课主题. 问题 3:一个四边形具备了什么特征才是平行四边形呢? 教师引导学生观察、总结共同特点:两组对边平行. 【设计意图】让学生能够描述出平行四边形的特征,弄清四边形与平行四边形的从属 关系,明确四边形与平行四边形的异同点,为概念的形成做好铺垫. (二)观察感知,形成概念 问题 4:通过比较四边形和平行四边形的不同,如果从“对边”的位置关系入手,你 认为什么样的四边形是平行四边形呢? 教师引导学生明确平行四边形的定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边 形. 【设计意图】问题中带有提示,降低了难度. 问题 5:怎样表示平行四边形? 教师介绍平行四边形的表示方法. 【设计意图】加深对平行四边形概念的理解. 问题 6:如果已知一个四边形是平行四边形,可以得到哪些结论?

教师出示问题: (1)∵四边形 是平行四边形,

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∴ (2)在□



; 中,已知



. ,求其余三个角的度数.

【设计意图】平行四边形的定义不仅是平行四边形的一个判定方法,还是平行四边形 的一个性质. (三)引导实验,探索新知 问题 7:我们已经知道平行四边形是特殊的四边形,由定义可知平行四边形的对边平 行.除此之外,你还能发现平行四边形的边、角之间存在什么结论吗? 教师提出问题,学生观察猜想. 【设计意图】加强学生对平行四边形的感性认识,培养敢于猜想的意识. 教师引导学生以小组合作的方式,先利用定义画一个平行四边形,再测量其四条边的 长度、四个内角的度数,填写表格,之后,让学生汇报研究的结果. 教师利用几何画板的度量工具进行演示验证结果. 得出平行四边形的性质:平行四边形的两组对边分别相等;平行四边形的两组对角分 别相等. 【设计意图】使学生不仅感受到亲自动手测量的乐趣,而且通过观察几何画板动态演 示的过程, 进一步强化对平行四边形的直观感知, 在解决问题过程中体会合情推理的作用, 从而学会观察、猜想、验证等解决问题的方法. 问题 8:所有的平行四边形是否都具有上述的结论,你能利用学过的知识证明这个结 论吗? 教师提出问题,进行适当引导,让学生自己发现:证明线段相等、角相等通常是利用 全等的方法,而图形中没有三角形,只有四边形,可见需添加辅助线,构造三角形,将四 边形转化为三角形来解决,使难点得以突破. 【设计意图】使学生体会几何论证是探究性活动的自然延续和必然发展,感受到数学 结论的确定性和证明的必要性. (四)巩固概念,应用拓展 问题 9:基础训练: (1)在□ (2)在□ 中,已知 中,已知 ,求其余三个角的度数. = 6 cm, = 4 cm,求□ 的周长.

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(3)在□ = .

中,已知



= 3 cm,则

=



=



(4)在平行四边形中,有如下结论:①对角相等;②对角互补;③邻角互补;④内 角和为 360°.则正确结论的序号是 (5)如图,□ 大小. 中, , .(把你认为正确结论的序号都填上 , 于点 ,求 的

问题 10:解决实际问题: 小明用一根 36 米长的绳子围成了一个平行四边形的场地,其中一条边 其他三条边各长多少? 问题 11:灵活运用: 如图,在四边形 , 平分 , 中,BD 为对角线,点 在边 上,且 ∥ , ∥ 长 8 米,

(1)你发现图中有哪些线段是相等的? (2)求证: .

【设计意图】通过一系列的练习,可以实现知识向能力的转化.学生在尝试运用平行 四边形的概念和性质解决上述问题的过程中,进一步加深了对平行四边形概念的理解.同
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时训练了学生在表达问题的解决方案时,应清晰、有条理地表达自己的思考过程,做到言 之有理、落笔有据. (五)归纳小结,反思提高 问题 12:通过本节课的学习,你有哪些收获? 学生谈本节课的学习感受,教师梳理、概括本节课主要的学习内容,并揭示蕴涵的数 学思想方法. 【设计意图】教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法,使学生对平行四边形的 概念有一个整体全面认识的同时,也使学生养成良好的学习习惯. 布置作业. 六、目标检测设计 1.在□ (A)130° 中,若 =70°,则 (C)70° 的度数是( (D)35° ).

(B)110°

【设计意图】考查平行四边形的对角相等的知识. 2.在□ 是( ). (A)45° (B)60° (C)90° (D)120° 中,若两个内角的度数比为 1∶2,则□ 中较小的内角的大小

【设计意图】考查平行四边形对边平行的知识,以及利用设未知数列方程的方法,解 决几何中的计算问题. 3.已知□ 的周长为 40 cm,若 =2 cm,则 的长为 cm.

【设计意图】 考查平行四边形的周长与边长的关系, 以及根据已知条件寻找等量关系, 建立方程组解决几何中的计算问题. 4.如图,分别过△ 有 个平行四边形. 【设计意图】考查利用平行四边形的定义判定一个四边形是否为平行四边形. 的顶点作它的对边的平行线,围成△ ,则图中共

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5.如图,已知 (1)求证: (2)判断四边形



是□

对角线

上的两点,若



是否为平行四边形,并证明你的结论.

【设计意图】主要考查三角形全等的判定和性质、平行四边形的定义和性质以及转化 的思想方法. 6.如图,□ 正好落在边 上的点 中,点 在边 上,以 为折痕,将△ 向上翻折,点 的长.

处,若△

的周长为 8,△

的周长为 22,求

【设计意图】主要结合全等三角形的性质,考查了平行四边形的性质以及利用整体思 想解决问题的方法.

关于《平行四边形的性质》的教学设计
湖北省荆州市实验中学 王用华 一、内容和内容解析 内容: 本课是人教版新课标实验教科书八上第十九章的第一课时,其主要内容是平行四边形 的概念及平行四边形的边、角的相关性质. 内容解析: 四边形是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域研究的主要对象之一.平行四 边形是特殊的四边形,较一般四边形而言,它与我们的关系更为密切,这不仅表现在日常
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生活中有众多的平行四边形图案,更重要的是,它的性质在日常生活及生产实践等各个领 域中均有广泛的应用.此外,平行四边形的相关知识在建筑学、物理学、测绘学中也有较 为重要的应用. 平行四边形是一个四边形,但与一般四边形相比,它的对边分别平行.由这一本质特 征,教材给出了定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.这一定义既给出了平 行四边形的一种判断方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.也给出了平行四边 形的一条性质:平行四边形的对边平行.这为判定一个四边形是平行四边形提供了重要的 理论依据,也为证明两直线平行提供了新的方法. 平行四边形从属于四边形,所以一般四边形所具有的性质它都具有,如:内角 和是 360°、外角和为 360°、四边形的不稳定性等.同时,它还具有自己特有的性质:对 边平行且相等、对角相等、邻角互补等.这些性质为学生证明或解决线段相等、角相等等 问题提供了全新的思路,拓展了学生的视野.另外,平行四边形的这些性质还是所有特殊 平行四边形的基本性质.本节课既是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化,也 是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础. 在教材的编写上,本课还注意了使学生经历充分地观察、猜想、验证、推理、交流、 应用等数学活动后获得结论,这对于培养学生的观察能力、推理能力、图形处理能力、探 索及解决问题的能力等方面,都起着较为重要的作用. 教学重点:平行四边形的性质的探究与应用 二、目标和目标解析 目标:理解并掌握平行四边形的概念和性质,能运用平行四边形的概念及性质解决相 关问题. 目标解析: 1、经历从现实情景中抽象出平行四边形的过程,发展学生的形象思维与抽象 思维. 2、经历观察、实验、猜想、验证、推理、应用等数学活动,培养学生的观察 能力、概括能力和演绎推理能力,渗透转化思想. 3、通过性质的应用,培养学生独立思考的习惯,发展合作交流与应用意识, 感悟数学与实际生活的密切联系. 4、通过一系列探究活动的开展,使学生从中体验数学活动的探索性和创造性, 感受探究成功的乐趣,从而激发学习兴趣.
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三、教学问题诊断分析 平行四边形的定义, 学生在小学已经学过, 但受当时学生文化基础与认知水平的限制, 他们对平行四边形的认识还比较肤浅,对概念本质属性的理解与把握还不够深刻与透彻. 作为本节课的核心概念, 教学中切忌把平行四边形概念当学生已学知识, 简单复习巩固后, 一带而过.而应精心设计教学活动,使学生在原有知识的基础上,加深理解、全方位把握. 尤其对于定义的双重性,应引导学生细致剖析,使他们理解、让他们会用. 另外,考虑到学生以前对一般四边形与特殊四边形的认识是割裂开来的,他们对两者 从属关系的认识较为淡漠,学习定义之前,教师应先让学生明晰一般四边形与特殊四边形 的联系与区别,这样既可突出概念本质,也可为性质的学习作好铺垫. 对于性质,从教材的呈现方式看,编者力图以问题为线索,通过观察──猜想──验 证──推理证明等一系列数学活动,以自主探索、小组合作探究的方式让学生主动获得. 如何真实的反应教材本意,突出性质的探索过程?如何彻底将学生的被动接受转为主动发 现?这是执教者必须深思的问题.八年级的学生,已具备了一定的观察、分析、动手操作、 语言表达及逻辑推理能力,若直接让学生观察图形──提出猜想──简单度量──推理论 证──给出结论,这样难免有穿新鞋走老路之嫌,同时,也很难提高学生的学习积极性. 尤其是对于性质的证明,在仅有平行四边形的前提下,如何解决线段相等、角相等这一推 证难点也将因教学方式的生硬而变得更加难以逾越,教学效果可想而知. 要切实解决这个问题,教师应通过充分的活动让学生真正“动”起来.我思考了这样 的处理:将整个性质的探究分两步走,第一步先引导学生通过观察大胆“猜一猜”,再“画 一画”,进一步感受图形特征,接着“量一量”,初步验证猜想.第二步激发学生“剪一 剪”,引导他们以小组合作的方式进一步探究.将所画的平行四边形沿其中一条对角线剪 开,学生将不难发现所得到的两三角形全等,而全等三角形的对应边相等、对应角相等, 这样很自然地进一步验证了猜想,与此同时,通过引导,学生还将发现,连接一条对角线, 平行四边形的问题便转化成了全等三角形的问题.这样,一石二鸟,既让学生品尝了探究 成功之乐,也为性质的推理论证扫清了障碍,轻松突破难点. 若学生基础较好,还可考虑直接提供学具袋(里面提供可采用度量、平移、旋转、折 叠、拼图等方法的相应学具),然后完全放手让学生去自主探索.鼓励学生探究方式、结 果、表示方式及学习方式的多样化.相信在老师的精心组织、合作与参与下,学生将会从 多个方面完善对平行四边形性质的认识. 教学难点:平行四边形性质的探究与证明.
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四、教学支持条件分析 ⑴借助一般四边形、平行四边形、梯形等模型,明晰一般四边形与特殊四边形的区别 与联系,深化对概念本质的认识,也可为性质的探究服务. ⑵借助多媒体课件, 使实例背景更形象、 更逼真, 以此激发学生的学习兴趣.借助 Flash 动画,从激励学生探究入手,改进问题的呈现方式,使教学更富有趣味性、生动性 和互动性,从而激发学生的主动参与热情,为更好的实现教学目标服务. 五、教学过程设计 (一)情景激趣: 1、出示一般四边形模型,随后出示平行四边形模型,感受“特殊四边形”与“一 般四边形”的区别与联系. 设计意图:谈话式开场,清新自然.让学生明晰平行四边形与一般四边形从属关系 的同时,轻松切入主题. 2、你能举出生活中平行四边形的实例吗? 3、媒体展示:原野鸟瞰、中银大厦外景、篱笆、电动门、艺术装饰物等图片,引 导学生从图片中找出平行四边形. ──生活中的平行四边形随处可见,它装点着我们的生活,服务着我们的生 活.由此导出课题. 设计意图:先由学生举实例,再选取生活中平行四边形的一组精美图片由媒体集中 展示,让学生感悟数学与生活紧密联系的同时,也让他们更真切地感受 到学习平行四边形的必要.另外,通过对图形的捕捉与提炼,培养学生的 形象思维与抽象思维能力. (二)探究在线: 1.定义探究: ①结合平行四边形的模型提问:平行四边形的“平行”体现在哪里? ②师生共议,归纳定义. 定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 结合媒体动画演示,学习平行四边形的表示法、读法及对边、对角、邻边、邻角等概 念. 设计意图:突出概念本质,深化对定义的理解.将对边、对角等概念由媒体形象生动 的展示,可使枯燥的概念更加灵动,让学生自觉地进入到对定义的深入探究中来.
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③出示梯形模型,巩固定义(两组对边分别平行).

④图形及符号语言:

设计意图:多角度的表述,使学生能全面、透彻的理解定义.同时,规范了推理格式、 提升了概括能力. 2.性质探究: ①平行四边形除了两组对边分别平行外,还有没有其它性质呢? 探究:(媒体播放,分步出示) 猜一猜:边之间??? 角之间???

画一画:在格点纸上画一个平行四边形. 量一量:度量一下,与你的猜想一致吗? 剪一剪:将所画的平行四边形沿其中一条对角线剪开,现在,你有新的办法进一步验 证猜想吗? ②结论:边:对边平行、对边相等;角:对角相等、邻角互补 设计意图:以学生原有知识为出发点,引导学生通过观察、猜想、动手实践、合作交 流等方式主动获取知识,获得解决问题的方法.同时,在学生亲历知识的发 生、发展与形成过程中使学生获得富有成效的学习体验,发展探究与合作 意识,培养逻辑思维能力.另外,通过“剪一剪”,学生进一步验证猜想的 同时还找到了将四边形问题转化为三角形问题的有效途径,为性质的证明 扫清了障碍.这样既渗透了转化思想,又巧妙的突破了难点. ③你能证明 “平行四边形的对边相等,平行四边形的对角相等”吗? 师生共议,写出已知、求证及证明过程. 已知:如图,四边形 ABCD 为平行四边形.

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“初中数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计

求证:AB=CD,AD=BC;∠A=∠C,∠B=∠D. 分析:连结对角线将平行四边形的问题通过转化为全等三角形的问题进行解决. 设计意图:注重直观操作与逻辑推理的有机结合,把几何论证作为探究活动的自然延 续和必然发展. 同时,通过证明,验证了猜想的正确性,让学生感受到数学结论的确定性 和证明的必要性. ④总结:性质 1:平行四边形的对边相等. 符号语言: ∵四边形 ABCD 为平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC. 性质 2:平行四边形的对角相等. 符号语言: ∵四边形 ABCD 为平行四边形 ∴∠A=∠C,∠B=∠D 师生共议:以上性质为证明(解决)线段相等,角相等,提供了新的理论依据 设计意图:对平行四边形性质的归纳,是学生对平行四边形特征的更深入认识,也是 知识的一次升华,突出了教学重点. (三)厉兵秣马: 小试身手:(媒体播放)如图,在□ABCD 中,根据已知你能得到哪些结论?为什么?

设计意图:尝试对性质的应用,实现从知识到能力的顺利过渡.同时,开放式的问题, 利于学生多角度的思考并解决问题. 例题探究:如图,小明用一根 36m 长的绳子围成了一个平行四边形的场地,其中 AB 边长为 8m,其他三条边的长各是多少?(媒体播放)

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“初中数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计

随机应变: (1)在□ABCD 中,已知 AC=12,Δ ABC 的周长=30,则□ABCD 的周长=

(2)若∠DCE=38°,则□ABCD 的四个内角的度数分别为: (3)若最大的两个角之和为 220°,则平行四边形的四个角的度数分别为: 设计意图: 通过对例题的学习, 加深对平行四边形性质的理解, 培养学生的应用意识. 通过一题多变,使学生能多角度、多层次、灵活的运用所学知识解决问题,培养学生思维 的深刻性与灵活性. 智启百宝箱: 辨一辨:谁的测量肯定有误? 贝贝、晶晶、妮妮、号号四位同学正在测量 ABCD.

贝贝测量的结果:AB=CD=5 ,

BC=AD=8;

晶晶测量的结果:∠A=∠C=40°,∠B=∠D=130°; 妮妮测量的结果:AB//CD,BC//AD; 号号测量的结果:∠A﹕∠B﹕∠C﹕∠D=2﹕6﹕2﹕7. 想一想:如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,转动其中一张,重合 的部分构成了一个四边形,线段 AD 和 BC 的长度有什么关系?

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证一证:如图,在□ABCD 中,E、F 分别为边 AB、CD 上的点,连接 DE、BF. (1)如果 E、F 分别为 AB、CD 边上的中点,求证:∠ADE=∠CBF (2)如果 DE//BF,上述结论还成立吗?

设计意图:练习是学生心智技能和动作技能形成的基本途径,精心设计的练习将会使 这一功用得到更充分的体现.以上这组练习层层递进、由浅入深,有效地促进学生对本节 课所学习的概念与性质进行更加深刻的理解与掌握.另外,以游戏为载体,使问题的呈现 方式更加生动活泼与富有挑战性,促使学生能更加主动的投入到知识的巩固与能力的提升 中来. (四)整理反思: 师生共议:通过这节课的学习,你对平行四边形有哪些新的认识? 我的收获(媒体播放): ①平行四边形的定义、性质. ②方法:证明平行、线段相等、角相等的新方法. ③转化思想:

设计意图:这是一次知识与情感的交流,浓缩知识要点、突出内容本质、渗透思想方 法.培养学生自我反馈、自主评价的意识,促进学生可持续地、和谐地发展.

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“初中数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计

(五)快乐套餐: 必做:P90T1、2.P91 T6、7 选做: 文物保护部门需复原一如图形状的等腰三角形木格子,里面每一同方向木条相互平行 且将腰分成相等的六段,已知等腰三角形的腰是 30cm,底边长 50cm,你能算出拼这个木 格子所需木条的总长度吗?(接头不计) 呢?) (聪明的同学们,你们能想出几种方法

(1)如果里面的每一同方向木条都不均匀排列,但互相平行,你还能算出所需木条 的总长度吗?(接头不计)

(2)如果这个木格子底边上有 n 个不规则排列的点,你还能算出所需木条的总 长度吗?(接头不计) 设计意图:“套餐”分两类,必做题面向全体、巩固所学,力图让“人人都获得必需 的数学”.选做题力图“让不同的人在数学上得到不同的发展”,本题既可直接运用今天 所学的定义与性质求解;亦可通过构造与此模型全等的图形,将两个全等的图形拼合成一 个平行四边形, 进而简捷求解; 还可以借助 “过等腰三角形底边上任一点向两腰作平行线, 所得的平行四边形两邻边之和等于一腰长.”这一模型轻松求解等等.这是本课内容的一次 拓展与升华.

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