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第四课时一元二次不等式解法讲义


一元二次不等式解法 知识回顾 1.一元一次不等式(最简) ax ? b 的解集如下表:

a?0

a?0 b?0 b?0

a?0

2.一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?的解集: 设相应的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0?

a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,

? ? b 2 ? 4ac ,则不等式的解的各种情况如下表:
??0
二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
(a ? 0) 的图象

一元二次方程

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

有两相异实根

有两相等实根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

例 1.解下列不等式: (1)4x -4x<15; (4)-3x +5x-4>0;
2 2

(2)-x -2x+3<0;

2

(3)4x -4x+1>0

2

(5)x(1-x)>x(2x-3)+10

2 例 2. (1).已知关于 x 的不等式 k ? kx ? x ? 2 的解为 x ? ?

1 ,求实数 k 的值. 2

2 (2)已知不等式 x ? ax ? b ? 0 的解是 2 ? x ? 3 ,求 a , b 的值.

练习:已知不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解是 x ? 2, 或 x ? 3 ,求不等式

bx 2 ? ax ? c ? 0 的解集.

例 3.解关于 x 的不等式 x 2 ? x ? a(a ? 1) ? 0

练习:若 0<a<1,则不等式(x-a)(x- A.a<x<

1 a

1 )<0 的解是 ( )? a 1 1 B. <x<a ? C.x> 或 x<a a a
2

D.x<

1 或 x>a a

例 4.已知对于任意实数 x , kx ? 2 x ? k >0 恒成立,求实数 k 的取值范围.

练习:已知关于 x 的不等式 mx ? x ? m ? 0 的解是一切实数,求 m 的取值范围.
2

《一元二次不等式及其解法》练习卷
1、不等式 6 x ? 5 x ? 4 的解集为(
2

) C.? ??, ?

A.? ??, ?

? ?

4? ?1 ? ? ? ? , ?? ? 3? ?2 ?

B.? ?

? 4 1? , ? ? 3 2?

? ?

1? ?4 ? ? ? ? , ?? ? 2? ?3 ?

D.? ?

? 1 4? , ? ? 2 3?

2、设集合 ? ? x 1 ? x ? 2 , ? ? x x ? a ? 0 ,若 ? ? ? ? ? ,那么实数 a 的取值范围 是( ) B. ?2,???
2

?

?

?

?

A. ?1, ?? ?

C. ? ??,2? )

D. ?1, ?? ?

3、若不等式 x ? mx ? 1 ? 0 的解集为 R ,则 m 的取值范围是( A. R B. ? ?2, 2 ? C. ? ??, ?2? ? ? 2, ???

D. ? ?2, 2?

? 1? 4、 设一元二次不等式 ax2 ? bx ? 1 ? 0 的解集为 ? x ?1 ? x ? ? , ab 的值是 则 ( 3? ?
A. ?6 B. ?5 C. 6
) C. ? ?3, 4? D. ? 2a,6a ?



D. 5

5、不等式 x2 ? ax ?12a2 ? 0 ? a ? 0? 的解集是( A. ? ?3a,4a ? B. ? 4a, ?3a ?

? 1 1? 6、不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ? x ? ? x ? ? ,则 a ? b ? ( 2 3? ?
A. ?14 B.14 ) C . C.?10 7、不等式 ? x ?1?? 2 ? x ? ? 0 的解集是( A .

) D.10

? x 1 ? x ? 2?

B .

? x x ? 1或x ? 2?

? x 1 ? x ? 2?

D. ? x x ? 1或x ? 2? 8、不等式 ax2 ? bx ? c ? ? a ? 0? 的解集为 ? ,那么( A. a ? 0 , ? ? 0 B. a ? 0 , ? ? 0 )
a ? D. ? 0 , ? 0

C. a ? 0 , ? ? 0

9、设 f ? x ? ? x2 ? bx ?1 ,且 f ? ?1? ? f ? 3? ,则 f ? x ? ? 0 的解集是( A. ? ??, ?1? ? ?3, ??? B. R ) C. ? x x ? 1?



D. ? x x ? 1?

10、不等式 x ?1 ? 3x ? ? 0 的解集是(

1? ? A. ? ??, ? 3? ?

? 1? B. ? ??, 0 ? ? ? 0, ? ? 3?

?1 ? C. ? , ?? ? ?3 ?

? 1? D. 0, ? ? ? 3?

11、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? x ? R ? 的部分对应值如下表:

x
y
2

?3

6

?2 0

?1
?4

0
?6

1 ?6

2
?4

3

0

4 6

则不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是____________________________.

12、 不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ? x 2 ? x ? 3? ,则不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集 是________________________.
13、不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是___________________________.
2

14、不等式 ? x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集是______________________________.
2

15、 ? k ?1? x2 ? 6x ? 8 ? 0 的解集是 ? x x ? ?2或x ?

? ?

4? ? ,则 k ? _________. 5?

16、已知不等式 x2 ? px ? q ? 0 的解集是 ? x ?3 ? x ? 2? ,则 p ? q ? ________.
17、求下列不等式的解集: ⑴

? x ? 4?? ?x ?1? ? 0 ;

⑵ ?3x ? x ? 2 ;
2

⑶ 4x ? 4x ? 1 ? 0 .
2

18、已知集合 ? ? x x ? 9 ? 0 , ? ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 ,求 ? ? ? , ? ? ? .
2 2

?

?

?

?

19、不等式 kx ? kx ? 1 ? 0 对一切实数 x 恒成立,求 k 的取值范围.
2


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