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浙江省温州中学2011-2012学年高二下学期期末试题数学理


温州中学 2011 学年第二学期期末考试 高二数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求。 1.集合 M ? {4,5, ?3m} , N ? {?9,3} ,若 M ? N ? ? ,则实数 m 的值为( ) A. 3 或 ?1 2.函数 f ( x ) ? log 2 x ? A

. (0, ) B. 3 C. 3 或 ?3 ) D. ?1

1 的零点所在的区间为( x
B. ( ,1)

1 2

1 2

C. (1,2)

D. (2,3) )

1 3.若 f(x)=- x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( 2 A.[-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1) 4.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? | ?

?

) 的部分图象 2
1

y

如图示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移 m(m ? 0) 个单位后, 得到的图象关于原点对称,则 m 的最小值为( A. ) D.

11? 12

O

? 24

B.

? 12

C.

? 6

? 3

? 6

x

5.已知 y ? f (x) 是定义在 R 上的函数, a ? R ,那么“对任意的 x ? R , | f ( x) |? a 恒成 立”的充要条件是( )

A.对任意的 x ? R , f ( x) ? a 或 f ( x) ? ?a 恒成立 B.对任意的 x ? R , f ( x) ? a 恒成立 或 对任意的 x ? R , f ( x) ? ?a 恒成立 C.对任意的 x ? R , f ( x) ?| a | 或 f ( x) ? ? | a | 恒成立 D.对任意的 x ? R , f ( x) ? a 恒成立 且 对任意的 x ? R , f ( x) ? ?a 恒成立 6.若 ?PQR 的三个顶点坐标分别为 P(cos A, sin A) , Q(cosB, sin B) , R(cosC, sin C ) , 其中 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角且满足 A ? B ? C ,则 ?PQR 的形状是( A.锐角或直角三角形 C.锐角三角形 B.钝角或直角三角形 D.钝角三角形 )

7 . 设 {an } 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 , 首 项 a1 ?

1 , 2 2 ? q ? 4 , 对 于 n ? N? , 64 ) bn ? log 1 an ,若数列 ?bn ? 的前 k 项和取得最大值,则 k 的值为(
2

A.3

B.4

C.5

D.4 或 5

8. f 记

(1)

?, ( x) ? [ f ( x)]' ,f ( 2) ( x) ? [ f (1) ( x)]' , f ( n) ( x) ? [ f ( n?1) ( x)]' (n ? N ? , n ? 2) .
(1)

若 f ( x) ? x cos x ,则 f (0) ? f A. 1006 B. 2012

(0) ? f ( 2) (0) ? ? ? f ( 2012 ) (0) 的值为(
C. ? 2012 D. ? 1006



9. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 如果存在正整数 k 和 l (k ? l ) , 使得 S k ? kl 2 , l ? lk 2 , S 则( ) B. S k ?l 的最大值为 ? 6 D. S k ?l 的最大值为 6

A. S k ?l 的最小值为 ? 6 C. S k ?l 的最小值为 6

10 . 设 定 义 域 为 (0,??) 的 单 调 函 数 f (x) , 对 任 意 的 x ? (0,??) , 都 有

f [ f ( x) ? log2 x] ? 6 ,则 f (
A. 8 B. 4

1 ) 的值为( 16
C.



1 4

D. 0

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 11.已知 e1 , e2 是两个不共线的平面向量,向量 a ? 2e1 ? e2 , b ? e1 ? ? e2 (? ? R) ,若

? ? a / / b ,则 ? =



12.记 S n 为数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a5 ? 0 ,当 k ? 2,3,4,5 时有 (ak ? ak ?1 ) 2 ? 1成 立,则 S 5 的所有可能值组成的集合为
2



13.函数 f ( x) ? cos ( x ? ) ? sin x , x ? [0, ] 的值域为
2

π 6

π 2



14.若在函数 f ( x) ? a x ? x ? 2a (a ? 0 且 a ? 1) 的图象上存在不同两点 A, B ,且 A, B 关 于原点对称,则 a 的取值范围是 . 15. A, B, C 是圆 O 上的三点, ?AOB ? 120 , CO 的
?

延 长 线 与 线 段 . . .

AB

交 于 点 D

, 若

OC ? mOA ? nOB (m, n ? R) ,则 m? n 的取值范围
是 .

学号 班级 姓名 ????????????????密????????????????封???????????????线?????????????

温州中学 2011 学年高二第二学期期末考试 数学答题卷(理科)
一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 答案

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.)

11.



12.



13.



14.



15.



三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满足 12 分)已知数列 ?an ? 满足 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?an ? n ? 8 ? (?1) n 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

1 1 1 ? ??? ? n 2 ? 2n 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an

17. (本小题满足 14 分)在 ?ABC 中,∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别为 a 、 b 、 c , 已知 c ? 2 3 , a ? b ? 4 .

sin( A ? B) 的值; sin A ? sin B (2)求 ?ABC 的面积 S 的最大值;
(1)求 (3)若 AD ? 2DB ,求 | CD | 的最小值.

18. (本小题满足 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax3 (a ? 0) , g ( x) ? sin x . (1)若 a ? 3 ,求函数 y ? f (x) 的极值; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时 g ( x) ? f ( x) 恒成立,求 a 的取值范围;

(3)若 n ? N , n ? 2 ,求证:求证:sin 1 ? 2 sin

1 1 1 6n 2 ? 2n ? 1 ? 3 sin ? ? ? n sin ? . 2 3 n 6n

温州中学 2011 学年第二学期期末考试 高二数学答案(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 A 6 D 7 B 8 D 9 B 10 D

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.) 11. ?

1 2

12. {?4,?2,0,2,4}

13. [?

3 3 , ] 4 2

14. a ?

1 且 a ? 1 15. [?2,?1] 2

三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.解: (1) n ? 1 时有

2 1 ? 3 ,所以 a1 ? 3 1 ? a1

n ? 2 时,有

1 1 1 ? ??? ? (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an?1

从而

2n 1 ,此式对 n ? 1 也适用 ? 2n ? 1 ,得 a n ? 2n ? 1 1 ? an

综上, a n ?

2n ……………………………………………………………6 分 2n ? 1

(2)由

2n? (2n ? 1)[n ? 8 ? (?1) n ] ? n ? 8 ? (?1) n 得 ? ? 2n ? 1 2n

n 为奇数时, ? ?
当 n ? 1 时,

2n 2 ? 15n ? 8 1 8 ? (2n ? ? 15) 2n 2 n
1 8 21 21 (2n ? ? 15) 取得最小值 ? ,所以此时有 ? ? ? 2 n 2 2

n 为偶数时, ? ?
当 n ? 2 时,

2n 2 ? 17n ? 8 1 8 ? (2n ? ? 17) 2n 2 n

1 8 25 25 (2n ? ? 17 ) 取得最小值 ,所以此时有 ? ? 2 n 2 2 21 综上, ? 的取值范围是 ? ? ? ………………………………………………….12 分 2

17.解(1)

sin( A ? B) sin C c 3 …………….........4 分 ? ? ? sin A ? sin B sin A ? sin B a ? b 2

(2)由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abcosC ? (a ? b) 2 ? 2ab(1 ? cosC) ,代入 a ? b ? 4 及 c ? 2 3 得 ab ? 由 ab ?

2 1 ? cos C

1 2? ( a ? b) 2 ? 4 得 cos C ? ? ,所以 0 ? C ? 2 3 4

1 sin C 从而 S ? ab sin C ? ? 2 1 ? cosC
当C ?

2 sin

2? , a ? b ? 2 时取到等号. 3

C C cos 2 2 ? tan C ? tan ? ? 3 C 2 3 2 cos2 2

综上, S 的最大值为 3 ………………………………………………………….9 分 (3)易得 CD ? 所以 | CD | ?
2

1 2 CA ? CB 3 3

b 2 4a 2 4 a 2 ? b 2 ? c 2 2a 2 ? b 2 ? 8 4 8 8 ? ? ab ? ? ? (a ? ) 2 ? ? 9 9 9 2ab 3 3 9 9

即 | CD |?

4 8 2 2 当 a ? , b ? 时取到等号 3 3 3

综上, | CD | 的最小值为

2 2 …………………………………………………..14 分 3

18.解: (1)极大值为 f ( ) ?

1 3

2 1 2 ,极小值为 f (? ) ? ? …………………….4 分 9 3 9

(2)设 h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? sin x ? ax3 ? x

h' ( x) ? c o s ? 3ax2 ? 1 x
注意到 h(0) ? h' (0) ? h' ' (0) ? 0 若 0 ? 6a ? 1 即 0 ? a ?

h' ' ( x) ? ? sin x ? 6ax

h' ' ' ( x) ? ? c o s ? 6a x

1 ? , ?x 0 ? (0, ) ,使 h' ' ' ( x0 ) ? 6a ? cos x0 ? 0 6 2

x
h' ' ' ( x ) h' ' ( x)

(0, x0 )
h' ' ' ( x) ? h' ' ' ( x0 ) ? 0
递减, h' ' ( x) ? h' ' (0) ? 0 递减, h' ( x) ? h' (0) ? 0 递减, h( x) ? h(0) ? 0

( x0 , ) 2

?

h' ' ' ( x) ?? h' ' ' ( x0 ) ? 0

h' ( x ) h(x)
这与题目要求矛盾. 若 6a ? 1 即 a ?

1 ? ? , 当 x ? [0, ] 时 h' ' ' ( x) ? 0 ,进而 h' ' ( x) 在 [0, ] 上递增,从而 6 2 2

h' ' ( x) ? h' ' (0) ? 0 ,于是 h' ( x ) [0, ] 上递增,所以 h' ( x) ? h' (0) ? 0 ,故 h(x) 在 [0, ] 上 2 2
递增,所以 h( x) ? h(0) ? 0 恒成立,满足题目要求. 综上所述, a 的取值范围是 a ?

?

?

1 ………………………………………………..9 分 6

x 3 sin x x2 ? 1? (3)由(2)知当 x ? (0,1) 时有 sin x ? x ? 即 6 x 6

所以 n sin

1 ? n

sin

1 n ? 1? 1 1 6n 2 n

从而

1 1 1 1 1 1 s i n ? 2 s i n ? 3 s i n ? ? ? n s i n ? (1 ? ) ? (1 ? 1 ) ? ? ? (1 ? 2 ) 2 2 3 n 6 6? 2 6n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? n ? (1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? n ? (1 ? ? ??? ) 6 6 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 2 3 n 1 1 6n 2 ? 2n ? 1 ? n ? (2 ? ) ? 6 n 6n
证毕……………………………14 分


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