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1.3简单的逻辑联结词(一)


1.3简单的逻辑联结词(一)

逻辑联结词
日常生活用语中如果说“哥哥 的年龄比我大或我的年龄比哥哥 大”、“萝卜长在土地里或长在树 上”肯定不妥,但数学语言3>4或 4>3却是正确的,这究竟是为什么 呢?

下列语句中哪些是命题,哪些不是命题?并说明理由:

(1) 12>6 (2) 3

是15的约数

是 是 是 不是 不是 不是

(3) 0.2是整数
(4) 3是12的约数吗? (5) x > 2 (6)这是一棵大树

下列语句是命题吗?如果是命题,则与前命题(1)(2)(3)的 区别是什么呢?

(7)10可以被2或5整除 (7)
(8)菱形的对角线互相垂直且平分 (8) (9)x > 3 或 x = 1 (10)x > 5 且 x ≥4 (11) (11)0.5非整数

逻辑联结词:或、且、非

简 单 命 题:不含逻辑联结词的命题
(常用小写字母p,q,r,s,……表示)

复 合 命 题:由简单命题和逻辑联结词 构成的命题
(表示形式:p或q 、 p且q、非p)

知新益能 1.用逻辑联结词构成新命题 (1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来 p∧q ,就得到一个新命题,记作__________,读 p且q 作“_________”. (2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来 p∨q ,就得到一个新命题,记作_________,读作 p或q “_________”. (3)对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题 非p 非p ,记作______,读作“________”或“ p的否定 ____________”.

(7)10可以被2或5整除
p: 10可以被2整除 q: 10可以被5整除 p或q:10可以被2整除或被5整除

(8)菱形的对角线互相垂直且平分
p: 菱形的对角线互相垂直 q: 菱形的对角线互相平分

p且q:菱形的对角线互相垂直且平分

(11)0.5非整数
p: 0.5是整数

非p: 0.5非整数

指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题:
(1)24 既是 8 的倍数也是 6 的倍数 p:24既是3的倍数 q:24是6的倍数 (2)小李是篮球运动员或跳高运动员 p:小李是篮球运动员 q:小李是跳高运动员 (3)平行线不相交 p:平行线相交 非p p且q

p或q

(4)小张是学生,小王也是学生 p:小张是学生 q:小王是学生

p且q

非p: 2不是10的约数 p: 2是10的约数 非p: 平行线不相交 p: 平行线相交
p 真 假 非p 假 真

( 假) ( 真) ( 真) ( 假)

P: 5是10的约数 q: 5是15的约数 P且q: 5是10的约数且是15的约数 p: 矩形的对角线相等 q: 矩形的对角线互相垂直 P且q: 矩形对角线相等且互相垂直 p:π是有理数 q:π是自然数 P且q:π是有理数且为自然数 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 P且q

假 假 假

( ( ( ( ( ( ( ( (

真 真 真 真 假 假 假 假

) ) ) ) ) ) ) ) 假 )

P:12是3的倍数 q:12是4的倍数 p或q:12是3的倍数或是4的倍数 P:12是3的倍数 q:12是8的倍数 p或q:12是3的倍数或是8的倍数 P:12是7的倍数 q:12是8的倍数 p或q:12是7的倍数或是8的倍数 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p或q
真 真 真 假

( ( ( ( ( ( ( ( (

真 真 真 真 假 真 假 假 假

) ) ) ) ) ) ) ) )

2.含有逻辑联结词的命题的真假判断(真值表 ) p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p∨q 真 真 真 假 p∧q 真 假 假 假

例1 分别指出由下列各组命题构成的“p或q” “p且q” “非p”形式的复合命题的真假 (1) p: 2+2=5 q: 3>2 (2) p: 9是质数 q: 8是12的约数 (3) p: 1∈{1,2} q: {1}是{1,2}子集 (4) p: φ是{0}的真子集 q: φ= {0} 解: (1) 因为p假q真 所以
“ p或q”为真 , “p且q”为假 ,“非p”为真 (2) 因为p假q假 所以 “p或q”为假 , “p且q”为假 ,“非p”为真 (3) 因为p真q真 所以 “p 或q”为真 , “p且q”为真 ,“非p”为 假

逻辑联结词的命题真假的判断 判断复合命题真假的步骤: (1)确定复合命题的构成形式,是“p∧q”、 “p∨q”还是“非p”形式; (2)判断其中简单命题p,q的真假; (3)根据真值表判断复合命题的真假.

例2 分 别 指 出 由 下 列 各 组 命 题 构 成 的

“p∧q”“p∨q”“非p”形式的命题的真假: (1)p:6<6,q:6=6; (2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平 分; (3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点, q:不等式x2+x+2<0无解. 【思路点拨】 先按要求写出三种形式的新命题, 再判断命题p和q的真假,对照真值表加以判断即可 .

【解】 (1)∵p为假命题,q为真命题, ∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,非p为真命 题. (2)∵p为假命题,q为假命题, ∴p∧q为假命题,p∨q为假命题,非p为真命 题. (3)∵p为真命题,q为真命题, ∴p∧q为真命题,p∨q为真命题,非p为假命 题.

例3 设有两个命题.命题p:不等式x2 -(a

+1)x+1≤0的解集是?;命题q:函数f(x)=(a
+1)x 在定义域内是增函数.如果p∧q为假命

题,p∨q为真命题,求a的取值范围.
【思路点拨】 解答本题可先求出p,q为真

命题时a的取值范围,再根据已知确定出p,q
一真一假,进而求出a的取值范围.

【解】 对于p:因为不等式x2 -(a+1)x+ 1≤0的解集是?, 所以Δ=[-(a+1)]2-4<0. 解这个不等式得: -3<a<1. 对于q:f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数, 则有a+1>1,所以a>0. 又p∧q为假命题,p∨q为真命题, 所以p、q必是一真一假.

当p真q假时有-3<a≤0,当p假q真时有a≥1.

综上所述,a的取值范围是(-3,0]∪[1,+∞).
【名师点评】 在解答中最后结论易错写成“当

p真q假时,-3<a≤0,当p假q真时,a≥1”,而 不合并,导致这个错误的原因是对题意理解不准

确.

2.“至多有三个人”的否定为( (A)至少有三人



(B)至少有四人

(C)恰有四人

(D)恰有三人

【解析】选B.“至多有三个人”的含义是有0人或1人或2人或3 人.

问题探究

命题“非p”与命题“p的否命题”有何不同? 提示:命题“非p”与“否命题”完全不同,前 者是对命题的结论否定,后者是既否定条件又 否定结论. 如:若命题p为“若s则t”, 则非p:若s则非t, 否命题:若非s则非t.

判断复合命题真假的步骤: (1)写出构成复合命题的简单命题p与q (2)判断p 、q的真假

(3)由真值表判断真假


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