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关于高考概率解答题的题型和方法


关于高考概率解答题的题型和方法
陈鹏
高考概率解答题是高考的六道大题之一,也是难点之一.由于其题型变化多端,故很多 学生经常容易混杂,甚至束手无策.本文旨在通过题型分析,形成一套完整的体系构架,从 而使学生胸有成竹,对概率题答题有个更全面的认识和掌握. 概率解答题表面上大致可以分为两种类型:给出任务概率,未给出任务概率.一般情况 下两类型对应两种不同的方法,但也有例外. 例一 某次考试有十道选择题,每道 5 分.A 同学确定能答对其中的四道,另外有三道题 都能排除一个选项,有两道题都能排除两个选项,有一道题无法排除任何选项.A 同学十道 题都答上了,问选择题中他能答对 25 分的概率为多少? 分析:此题未给出任务概率,但其方法却是对应给出任务概率的.问题在于“选”.未给 出任务概率的题型一般情况下都是涉及到排列组合问题,有总体和个体选择之分.但此题的 关键在于,十道题每道题都做了,没有选哪些个体的问题,故不属于排列组合问题.有三道 题每道题能答对的概率为 为

1 1 ,有两道题每道题能答对的概率为 ,有一道题能答对的概率 3 2

1 ,已知肯定能得到的成绩为 20 分,只要再对一道即可,故答对 25 分的概率为 4 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 ? ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ?2 ? ( )3 ? ? ? ? ( )3 ? ( ) 2 ? ? . 3 3 2 4 3 2 2 4 3 2 4 12

故我们分题型时不能只看有没有给出任务概率.不妨将题型分为“全选”与“部分选”. 1 全选 直接给出任务概率的题型必然属于这类型, 未给出任务概率的需要先判别一下是否 “全 选”. 1.1 直接给出任务概率 当主体是单个时,讨论相对简单.当主体为多个时,需要抓住问题的关键.而这个关键就 是独立重复试验.独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的 一种试验 . 判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件 A 的概率不变,并且每次 试验的结果同其他各次试验的结果无关,重复是指试验为一系列的试验,并非一次试 验,而是多次,但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响 . 1.1.1 单个主体 此类题型主要看有没有限定条件.

3 ,则 5 次投篮中命中 3 次的概率为多少? 4 135 3 3 3 1 2 分析:满足独立重复试验.命中 3 次的概率为 C5 ( ) ( ) ? . 4 4 512 3 例三 甲进行投篮练习,命中率为 ,则 5 次投篮中前 3 次命中的概率为多少? 4
例二 甲进行投篮练习,命中率为 分析:有限定条件,故不满足独立重复试验,应逐一写明任务概率.前 3 次命中的概率

3 3 1 2 27 为( ) ( ) ? . 4 4 1024
1.1.2 多个主体 此类题型主要看各个主体相应的任务概率是否统一.

例四 甲、乙进行投篮练习,命中率都为

3 ,若甲、乙各投篮两次,问两人共命中两次 4

的概率为多少? 分析:可看成只有一人投篮 4 次,满足独立重复试验,故两人共命中两次的概率为

27 2 3 2 1 2 C4 ( ) ( ) ? . 4 4 128
例五 甲、乙进行投篮练习,命中率分别为

3 2 和 ,若甲、乙各投篮两次,问两人共命 4 3

中两次的概率为多少? 分析:虽然不能看成一人投篮,但甲、乙内部还是分别满足独立重复试验,分布完成. 共命中的两次可能有: (1)甲两次; (2)乙两次; (3)甲一次乙一次.故两人共命中两次的 概率为 [C2 ? ( ) ? ( ) ] ? ( ) ?( ) ? [C2 ( ) ( ) ] ? (C2 ?
2 2 0 2 2 2 2 0 1

3 4

1 4

1 3

1 4

2 3

1 3

3 1 331 1 2 1 ? ) ? ( C2 ? ? )? . 4 4 3 3 1728

1.2 未给出任务概率但无选择问题 例一已经阐释. 2 部分选 此类题型的概率一般为

符合条件的情况 (若碰到“至多”或者“至少”问题时不妨考 总的情况

虑用“ 1-

不符合条件的情况 ”).而“情况”分为可数和不可数. 总的情况

2.1 可数 当情况比较有限,可以一一枚举时,认为是可数的. 例六 掷两次骰子,则两次点数之和为 7 的概率为多少? 分析:符合条件的有: (1,6) , (6,1) , (2,5) , (5,2) , (3,4) , (4,3).共 6 种可能.故两次 点数之和为 7 的概率为

6 1 = . 6?6 6

2.2 不可数 此时主要就是排列组合问题了. 例七 甲盒中有 1 个红球和 3 个黑球,乙盒中有 2 个红球和 4 个黑球,现从甲、乙两盒 中各任取两球,则共取出 2 个红球的概率为多少?
2 2 分析:总的情况为 C4 C6 .第一种符合条件的情况为甲、乙盒中各取 1 红 1 黑.第二种情
1 1 1 1 2 3 C1 C3C2C4 ? C32C2 = . 况为甲盒中取 2 黑,乙盒中取 2 红.故共取出 2 个红球的概率为 2 2 10 C4 C6


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