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河南省豫东、豫北十所名校2014届高三阶段性测试(五) 数学(理)


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河南省豫东、 豫北十所名校 2014 届高三阶段性测试 (五) 数 学(理)
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数学(理科)
本试题卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考生作答时,将答案答在 答题卡上(答题注意事项见答题卡) ,在本试题卷上答题无效.考试结束后,将本试题卷和 答题卡一并交回.

第I卷

选择题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1)已知集合 A ? ? x | ax ? 1? ,B ? ?0,1? ,若 A ? B ,则由 a 的取值构成的集合为 (A)

?1?

(B){0}

(C){0,1}

( D) ?

(2)设 i 为虚数单位,复数 z 的共轭复数为 z ,且 ( z ? 1)(1 ? i ) ? 2i ,则复数 z 的模为 (A)5 (B)

5

(C)2 -i

(D)1

(3)执行如图所示的程序框图,当输入的 x=9 时,则输出的 k=

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(A)2 (4)已知椭圆 C :

(B)3

(C)4

(D)5

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,P 为椭圆 C 上一点,若 ?F1F2 P a 2 b2

为等腰直角三角形,则椭圆 C 的离心率为 (A)

2 2

(B)

2 ?1

(C)

2 ?1或

2 2

(D)

2 4

(5)如果一个几何体的三视图如图所示(长度单位:cm) ,则此几何体的体积是

(A)

8 cm3 3

(B)

4 cm3 3

(C)

2 cm3 3

(D)

1 cm3 3

(6)已知 (A)

? 2 ? 为锐角,且 sin(? ? ) ? ,则 tan 2? ?
4 10
4 3
8

(B)

3 4

(C) ?

24 7

(D)

24 7 b : a

(7)已知 (1 ? 2 x) 展开式的二项式系数的最大值为 a,系数的最大值为 b,则 (A)

128 5

(B)

256 7

(C

512 5

(D)

128 7

(8)已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ,若命题“ ?x1 , x2 ? ? a, b ? 且 x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ” 为真命题,则下列结论一定正确的是 (A) a ? 0 (B)a<0

(C) b≤0

(D)b>l

(9)已知 a, b ? ? ?1,1? ,则函数 f ( x) ? ax ? b 在区间(1,2)上存在一个零点的概率为 (A)

1 2

(B)

1 4

(C)

1 8

(D)

1 16

(10)已知正三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在球 O 上,且 PA =PB =PC = 2 5 ,AB= BC=CA =2 3 ,则球 O 的表面积为

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( A)

25?

(B)

125? 6

(C)

5? 2

(D)

20?

(11)函数 f ( x) ? ? 的取值范围为

?1 ? x 2, x ? 1 ,若方程 f ( x) ? mx 恰有四个不同的实数根,则实数 m ? f ( x ? 2), x ? 1
(B) (4 ? 2 3,8 ? 2 15,) (D) (8 ? 2 15, 4 ? 2 3)

(A) (8 ? 2 15, 4 ? 2 3) (C) (4 ? 2 3,8 ? 2 15)

(12)若曲线 C1 : y ? x 2 与曲线 C2 : y ? ae x (a ? 0) 存在公共切线,则 a 的取值范围为 (A) ? 2 , ?? ? ?e ?

?8

?

(B) ? 0,

? ?

8? e2 ? ?

(C) ? 2 , ?? ? ?e ?

?4

?

(D) ? 0,

? ?

4? e2 ? ?

第Ⅱ卷

非选择题

本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题一第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足 (a ? b) ? c ? 4 ,且 C ? 60 ,则
2 2

ab 的值为________.

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? (14)设变量 x,y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z=2x-y 的最大值为_________. ?x ? 3 ?
(15)已知 a ? b ? 2 ,若函数 f ( x) ? a ? xb ( x ? R ) 的最小值为 1,则 a ? b ? _______. (16)如图,B,C 两点在双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的右支上,线段 BC 的垂直平分线 DA 交 y 轴于 4

点 A(0, 4) ,若 cos ?BAC ? ?

7 ,则点 A 到直线 BC 的距离 d=________. 15

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
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(17)(本小题满分 12 分) 已知| S n 为数列 (I)求证:

?an ? 的前 n 项和,且

a2 ? S 2 ? 31, an ?1 ? 3an ? 2n(n ? N ? ) .

?a

n

? 2n ? 为等比数列;

(Ⅱ)求数列

?an ? 的前 n 项和

Sn

(18)(本小题满分 12 分) 为了解当前国内青少年网瘾的状况,探索青少年网瘾的成因,中国青少年网络协会 调查了 26 个省会城市的青少年上网情况,并在已调查的青少年中随机挑选了 100 名青少年 的上网时间作参考,得到如下的统计表格.平均每天上网时间超过 2 个小时可视为“网瘾” 患者,

(I)以该 100 名青少年来估计中国青少年的上网情况, 则在中国随机挑选 3 名青少年, 求至少 有一人是“网瘾”患者的概率;高 考 资 源 网 (Ⅱ)以该 100 名青少年来估计中国青少年的上网情况,则在中国随机挑选 4 名青少,记 X 为 “网瘾”患者的人数,求 X 的分布列和数学期望. (19)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面四边形 ABCD 为矩形,PA=PD,AD= 且平面 PAD ? 平面.4BCD. (I)求证:PC ? BD; (Ⅱ)若四棱锥 P - ABCD 的体积为

2 AB=2,

4 2 ,求二面角 A -PC -D 的余弦值. 3

(20)(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F,过点 F 的直线 Z 交抛物线 C 于 A,B 两
2

点,且抛物线 C 在 A,B 两点处的切线相交于点 M (I)若△MAB 面积的最小值为 4,求 p 的值; (Ⅱ)在(I)的条件下,若△MAB 的三边长成等差数列,求此时点 M 到直线 AB 的距离. (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ? x ? 1, g ( x ) ? x ? 2ln x ? 1 ,
2

本卷第 4 页(共 12 页)

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(I) h( x) ? 4 f ( x) ? g ( x) ,试求 h( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 x≥1 时,恒有 af ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围, 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作 答时请写清题号. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,E,P,B ,C 为圆 O 上的四点,直线 PB,PC,BC 分别交直线 EO 于 M,N 三 点,且 PM= PN. ( I)求证: ?POA ? ?BAO ? 90 ; (Ⅱ)若 BC∥PE,求

PE 的值. PO

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 : ?

? x ? 1 ? t cos a (t 为参数) ,以坐标原点为极点,以 x 轴正半轴为极轴, ? y ? 2 ? t sin a

建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2cos? ,且 C1 与 C2 相交于 A,B 两点. ( I)当 tan a ? ?2 时,求 AB ; (Ⅱ)当 a 变化时,求弦 AB 的中点 P 的参数方程,并说明它是什么曲线. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 3 x ? 1 ? ax ? 1 (a ? 0) . ( I)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4 的解集; (Ⅱ)若对任意的 x∈R,都有 f ( x) ? f ( ) ,求 a 的取值范围.

1 3

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(1)C (7)A (13)

(2)B (8)B

(3)B (9)C

(4)C (10)A (14)7

(5)B (11)A

(6)C (12)D

4 3

(15) ?2 3 (17)解: (Ⅰ)由 an +1

(16)

4 10 5

= 3an - 2n 可得 3(an - 2n ) ,

an+1 - 2n+1 = 3an - 2n - 2n+1 = 3an - 3? 2n
又 a2 得 a2

= 3a1 - 2 ,则 S 2 = a1 + a2 = 4a1 - 2 , + S 2 = 7 a1 - 4 = 31 ,得 a1 = 5 ,? a1 ? 21 ? 3 ? 0,

\

an+1 - 2n+1 = 3 ,故 {an - 2n } 为等比数列.?????????????????(6 分) n an - 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 an

- 2n = 3n - 1 (a1 - 21 ) = 3n ,故 an = 2n + 3n ,

? Sn ?

2(1 ? 2n ) 3(1 ? 3n ) 3n ?1 7 (12 分) ? ? 2n ?1 ? ? . ???????????????? 1? 2 1? 3 2 2

(18)解:由题意得,该 100 名青少年中有 25 个是“网瘾”患者. (Ⅰ)设 Ai (0≤i≤3) 表示“所挑选的 3 名青少年有 i 个青少年是网瘾患者” , “至少有一人 是网瘾患者”记为事件 A , 则 P ( A) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? P ( A3 ) ? 1 ? P ( A0 ) ? 1 ? ( 分) (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2,3, 4 ,

75 3 37 . ?????????( 4 ) ? 100 64

3 81 3 3 1 27 , P ( X ? 1) ? C1 , P( X ? 0) ? ( ) 4 ? 4( ) ( ) ? 4 256 4 4 64 3 2 1 2 27 3 1 3 3 , P ( X ? 3) ? C3 , P( X ? 2) ? C2 4( ) ( ) ? 4 ( )( ) ? 4 4 128 4 4 64 1 4 1 .???????????????????????(10 分) P( X ? 4) ? C4 4( ) ? 4 256 X 的分布列为
X

0

1

2

3

4

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P

81 27 27 3 1 256 64 128 64 256 81 27 27 3 1 则 E( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 1 . ??????????( 12 256 64 128 64 256

分) (19)解: (Ⅰ)取 O 为 AD 的中点,连接 CO, PO ,如下图.

则在矩形 ABCD 中,有

CD DO 2 △CDO∽R t △DAB , ,可得 R t ? ? AD AB 2

则 ?OCD ? ?BDA, 故 ?OCD ? ?CDB ? 90? , 故 BD ? OC ,???????????????????????????????(3 分) 由 PA ? PD , O 为 AD 中点,可得 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD . 则 PO ? 平面ABCD ,则 PO ? BD . 又 OC ? 平面 POC , PO ? 平面 POC ,则有 BD ? 平面 POC , 又 PC ? 平面 POC , 故 PC ? BD . ??????????????????????( 6 分) (Ⅱ)由 VP ? ABCD ?

1 1 4 2 ,可得 PO ? 2 ,???( 7 S矩形ABCD ? PO ? ? 2 ? 2 ? PO ? 3 3 3

分) 建立如图所示空间直角坐标系,则有

A(1, 0, 0), P(0, 0, 2), C( ?1,2, 0), D( ?1, 0, 0) ,
故 AP ? (?1, 0, 2), AC ? (?2,2, 0) , DP ? (1, 0, 2), DC ? (0,2, 0) . ????????( 8 分) 设平面 PAC 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则有 ?

? ?n1 ? AP ? 0 ? ?n1 ? AC ? 0

,即 ?

? ?? x1 ? 2 z1 ? 0 , ? 2 x ? 2 y ? 0 ? ? 1 1

令z1 ? 1, 得 n1 ? (2, 2 2,1) ,
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同理,设平面 PAD 的一个法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , 则有 ?

? ?n1 ? DP ? 0 ? ?n1 ? DC ? 0

,可得 n2 ? (2, 0, ?1) ,

cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 4 ?1 3 65 ? ? , ?????????????????( 10 n1 ? n2 65 13 ? 5

分) 由图可知二面角 A ? PC ? D 为锐二面角, 故二面角 A ? PC ? D 的余弦值为

3 65 .??????????????????(12 分) 65
p , 2
2

(20)解: (Ⅰ)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,直线 l : y ? kx ?
2

则将直线 l 的方程代入抛物线 C 的方程可得 x ? 2 pkx ? p ? 0 , 则 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ? p 2 , (*) 故 AB ? AF ? BF ? y1 ?

p p ? y2 ? ? kx1 ? p ? kx2 ? p ? 2 p (k 2 ? 1) . 2 2
1

因直线 MA 为抛物线在 A 点处的切线,则 k MA ? y? x ? x ?

x1 , p

故直线 MA 的方程为 y ?

x1 x2 x? 1 , p 2p
2 x2 x2 , x? p 2p

同理,直线 MB 的方程为 y ?

联立直线 MA, MB 的方程可得 M ( 则点 M 到直线 l : y ? kx ? 故 S ?MAB ?

x1 ? x2 x1 x2 p , ) ,又由(*)式可得 M ( pk , ? ) , 2 2 2p

p 2 的距离 d ? p k ? 1 , 2

3 1 AB d ? p 2 ? k 2 ? 1? 2 ≥p 2 , 2

由 △MAB 的面积的最小值为 4,可得 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 k MA ? k MB ? 故 | MA | ? | MB | ?| AB | , ①
2 2 2

p 2 = 4 ,故 p = 2 .???????????(6 分)

x1 x2 ? ?1 ,故 MA ? MB ,则△MAB 为直角三角形, p2

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由 △MAB 的三边长成等差数列,不妨设 MA ? MB ,可得 | MA | ? | AB |? 2 | MB |, ② 联立①,②可得 MA : MB : AB ? 3 : 4 : 5 , 由 S△MAB

=

d 12 1 1 = , MA MB = AB d ,可得 2 2 AB 25
2 2

又 AB ? 2 p (k ? 1) ? 4(k ? 1) , d ? p k 2 ? 1 ? 2 k 2 ? 1 , 则

d 1 12 25 ? ? ,故 k 2 ? 1 ? , 2 AB 2 k ? 1 25 24
25 .??????????????? (12 分) 12
2

得此时 M 到直线 AB 的距离 d ? 2 k 2 ? 1 ?

(21) (Ⅰ)解: h( x) ? 4 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ln x ? 2 ln x ? x ? 4 x ? 5 , 则 h?( x) ? 4 ln x ? 2 x ?

2 , x

2( x ? 1) 2 记 h??( x) 为 h?( x) 的导函数,则 h??( x) ? ? ≤0, , x2
故 h?( x) 在其定义域 (0, ??) 上单调递减,且有 h?(1) ? 0 , 则令 h?( x) ? 0 可得 x ? 1 ,令 h?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 , 故 h( x) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1, ??) .????????????(5 分) (Ⅱ)令 ? ( x) ? af ( x) ? g ( x) ,则有 x≥1 时 ? ( x)≤0 .

? ( x) ? ax ln x ? 2 ln x ? ax ? x 2 ? a ? 1 ,
? ?( x) ? a ln x ? 2 x ? ,
1 2 (a ? 2 x ? ) , x x 1 2 因为当 x≥1 时, x ? ≥2 ,故 a ? 2 x ? ≤a ? 4 . x x
记 ? ??( x) 为 ? ?( x) 的导函数,则 ? ??( x) ? ①若 a ? 4≤0 ,即 a≤4 ,此时 ? ??( x)≤0 ,故 ? ?( x) 在区间 [1, ??) 上单调递减,当 x≥1 时 有 ? ?( x)≤? ?(1) ? 0 ,故 ? ( x) 在区间 [1, ??) 上单调递减,当 x≥1 时有 ? ( x)≤? (1) ? 0 ,故

2 x

a≤4 时,原不等式恒成立;

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a ? a 2 ? 16 1 2 ②若 a ? 4 ? 0 , 即a ? 4, 令 ? ??( x) ? ( a ? 2 x ? ) ? 0 可得 1≤x ? , 故 ? ?( x) 4 x x
在区间 [1,

a ? a 2 ? 16 a ? a 2 ? 16 ) 上单调递增,故当 1 ? x ? 时, ? ?( x) ? ? ?(1) ? 0 ,故 4 4 a ? a 2 ? 16 a ? a 2 ? 16 ) 上单调递增, 故当 1 ? x ? 时, ? ( x) ? ? (1) ? 0 , 4 4

? ( x) 在区间 [1,

故 a ? 4 时,原不等式不恒成立.???????????????????????(11 分)

4? .????????????????? 综上可知 a≤4 , 即 a 的取值范围为 ? ??, (12 分)
( 22 ) 解 : ( Ⅰ ) 过 点 P 作 圆 O 的 切 线 交 直 线 EO 于 F 点 , 由 弦 切 角 性 质 可 知 ?NPF ? ?PBA , PM ? PN ,??PNO ? ?PMA , 则 ?PNO ? ?NPF ? ?PMA ? ?PBA , 即 ?PFN ? ?BAO .

又 PF 为圆 O 的切线,故 ?POA ? ?PFN ? 90? , 故 ?POA ? ?BAO ? 90 .??????????????????????????( 5 分) (Ⅱ)若 BC∥PE ,则 ?PEO ? ?BAO ,又 ?POA ? 2?PEO , 故 ?POA ? 2?BAO , 由(Ⅰ)可知 90 ? ?POA ? ?BAO ? 3?BAO ,故 ?BAO ? 30? ,

PE 3 PE 则 ?PEO ? ?BAO ? 30 , cos ?PEO ? 2 ,即 , ? EO 2 2 EO PE PE 故 ? ? 3 .????????????????????????????( 10 PO EO
分) (23)解: (Ⅰ)当 tan ? ? ?2 时,将直线 C1 的参数方程化成直角坐标方程为 y ? ?2 x ? 4 , 曲线 C2 的极坐标方程化成直角坐标方程为 ( x ? 1) ? y ? 1 ,
2 2

则圆 C2 的圆心为 C2 (1, 0) , 半径 r ? 1, ???????????????????? (3 分)

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则圆心 C2 到直线 C1 : y ? ?2 x ? 4 的距离 d ?

2 , 5

则 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 1 ? 分)

4 2 5 . ????????????????????( 5 ? 5 5

(Ⅱ) 由直线 C1 的方程可知, 直线 C1 恒经过定点 (1, 2) ,记该定点为 Q ,弦 AB 的中点 P 满足

C2 P ^ QP ,故点 P 到 C2Q 的中点 D(1,1) 的距离为定值 1,当直线 C1 与圆 C2 相切时,切
点分别记为 E , F .????????????????????????????? (7 分)

由 图 , 可 知

?EDC2 ? ?FDC2 ? 60

, 则 点

P 的 参 数 方 程 为

ì 11π ? x = 1 + cos j 7 π ( <j < ), í 6 ? ? y = 1 + sin j 6
表示的是一段圆弧.???????????????????????????? (10 分)

1 ? ?5 x ? 2, x≥ 2 ? 1 ? 1 (24)解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 3 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? ? x, ? x ? ,?????(2 3 2 ? 1 ? ??5 x ? 2, x≤ 3 ?
分) 当 x≥ 时, f ( x) ? 5 x ? 2≥4 ,得 x≥ ;

1 2

6 5

1 1 ? x ? 时, f ( x) ? x≥4 ,无解; 3 2 1 2 当 x≤ 时, f ( x) ? ?5 x ? 2≥4 ,解得 x≤ ? ; 3 5
当 综上可知, f ( x)≥4 的解集为 ? x x≥ 或x≤ ? ? .?????????????? (5 分)

? ?

6 5

2? 5?

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1 ? ??(a ? 3) x ? 2, x≤ a ? 1 1 ? (Ⅱ)当 a ? 3 时, f ( x) ? 3 x ? 1 ? ax ? 1 ? ?( a ? 3) x, ? x ? , a 3 ? 1 ? ?(a ? 3) x ? 2, x≥ 3 ?
故 f ( x) 在区间 (??, ] 上单调递减,在区间 [ , ??) 上单调递增; 故 f ( x)≥f ( ) ,与题意不符;????????????????????????( 7 分)

1 a

1 a

1 a

1 ? ??(a ? 3) x ? 2, x≤ 3 ? 1 1 ? 当 0 ? a≤3 时, f ( x) ? 3 x ? 1 ? ax ? 1 ? ?(3 ? a ) x, ? x ? , 3 a ? 1 ? ?(a ? 3) x ? 2, x≥ a ?
故 f ( x) 在区间 ( ??, ] 上单调递减,在区间 [ , ??) 单调递增; 故 f ( x)≥f ( ) , 综上可知,a 的取值范围为 (0,3].????????????????????? (10 分)

1 3

1 3

1 3

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