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【高中数学必修4学习课件】——人教A版3-1-2-1角和与差的正弦、余弦公式


第三章

三角恒等变换

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.2

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

第1课时

两角和与差的正弦、余弦公式 提高篇

预习篇

课堂篇

巩固篇

课时作业

学习目标
1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正 弦、余弦公式并能利用公式进行化简求值. 2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式的特征. 3.能逆用公式进行化简求值.

重点难点
重点:熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式; 难点:灵活运用公式化简三角函数式和求值

预习篇01
新知导学

两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式

1.两角和与差的正弦公式与余弦公式有什么区别? 答:余弦公式右边函数名的排列顺序为:余· 余± 正· 正,左右两边加减运算符号相反. 正弦公式右边函数名的排列顺序为:正· 余± 余· 正,左 右两边加减运算符号相同.

2.利用cos(α-β)推导cos(α+β)的过程中,利用了什么 方法?该方法中常见的形式有哪些? 答:推导过程中,利用了角的代换的方法,常见的形 式有: α=(α+β)-β;α=β-(β-α); 1 1 α=2[(α+β)+(α-β)];α=2[(β+α)-(β-α)]; α+β β α 2 =(α-2)-(2-β).

1.两角和与差公式的理解、记忆 (1)公式间的逻辑关系

(2)公式的结构特征和符号规律 对于公式C(α-β),C(α+β)可记为“同名相乘,符号反”; 对于公式S(α-β),S(α+β)可记为“异名相乘,符号同”.

2.两角和与差的正、余弦公式应用 (1)要注意公式的正用、逆用,尤其是公式的逆用,要 求能正确地找出所给式子与公式右边的异同,并积极创造 条件逆用公式. (2)注意拆角、拼角的技巧,将未知角用已知角表示出 来,使之能直接运用公式.

(3)注意常值代换:用某些三角函数值代替某些常数, 使之代换后能运用相关公式,其中特别要注意的是“1”的代 1 2 换,如1=sin α+cos α,1=sin90° 等,再如:0, , , 2 2
2 2

3 2 等均可视为某个特殊角的三角函数值,从而将常数换为 三角函数使用. 1 3 π π 例如: cosα- sinα=sin cosα-cos sinα 2 2 6 6 π =sin(6-α).

课堂篇02
合作探究

公式的简单应用

【例1】

化简求值:

(1)cos44° sin14° -sin44° cos14° ; (2)sin14° cos16° +sin76° cos74° ; (3)sin(54° -x)cos(36° +x)+cos(54° -x)sin(36° + x).

【分析】

本题考查了两角和与差的正弦公式的逆

用.(1)可直接运用公式;(2)可通过诱导公式变形后再运用 公式;(3)注意将(54° -x)、(36° +x)看作整体,不要展开.

【解】 1 =-2.

(1)原式=sin(14° -44° )=sin(-30° )=-sin30°

(2)原式=sin14° cos16° +cos14° sin16° =sin(14° +16° )= 1 sin30° =2. (3)原式=sin[(54° -x)+(36° +x)]=sin90° =1.

通法提炼 观察所给角之间的关系,从形式上凑出公式,再利用 已知的特殊角的三角函数值来求值.

(1)sin7° cos37° -sin83° sin37° 的值为( 3 A.- 2 1 C. 2 1 B.-2 3 D. 2

)

(2)sin165° 等于( 1 A.2 6+ 2 C. 4

) 3 B. 2 6- 2 D. 4

解析:(1)sin7° cos37° -sin83° sin37° =sin7° cos37° - 1 cos7° sin37° =sin(7° -37° )=sin(-30° )=-sin30° =- 2 ,故 选B. (2)sin165° =sin15° =sin(45° -30° ) =sin45° cos30° -cos45° sin30° 6- 2 2 3 2 1 = × - × = .故选D. 2 2 2 2 4
答案:(1)B (2)D

给值求值问题

【例2】

π 3 12 已知 2 <β<α< 4 π,cos(α-β)= 13 ,sin(α+

3 β)=- ,求cos2α的值. 5 【分析】 cos2α=cos[?α-β?+?α+β?] →

求出cos?α+β?,sin?α-β? → 代入公式,求值

【解】

π 3 ∵2<β<α<4π,

3 π ∴-4π<-β<-2. π 3 ∴0<α-β<4,π<α+β<2π. ∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β? = 12 2 5 1 -? ? = , 13 13

cos(α+β)=- 1-sin2?α+β? =- 32 4 1-?-5? =-5.

∴cos2α=cos[(α-β)+(α+β)] =cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β) 12 4 5 3 33 =13×(-5)-13×(-5)=-65, 33 即cos2α=-65.

通法提炼 三角变换是三角运算的灵魂与核心,它包括角的变 换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变 换是最基本的变换.常见的有:

1 1 tanα 已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 的值. 2 3 tanβ

1 1 解:∵sin(α+β)=2,∴sinαcosβ+cosαsinβ=2.① 1 1 ∵sin(α-β)=3,∴sinαcosβ-cosαsinβ=3.② 5 1 由①,②解得sinαcosβ=12,cosαsinβ=12, 5 tanα sinαcosβ 12 ∴tanβ=cosαsinβ= 1 =5. 12

辅助角公式的应用

【例3】 【分析】

π 求函数y=cosx+cos(x+3)的最大值. 将函数化成y=Asin(x+φ)或y=Acos(x-

φ)的形式,再利用三角函数的性质求最大值.

【解】

π y=cosx+cos(x+3)

π π =cosx+cosxcos3-sinxsin3 3 3 = cosx- sinx 2 2 3 1 π = 3( 2 cosx-2sinx)= 3cos(x+6). π 当cos(x+6)=1时,y有最大值 3.

通法提炼

5π 5π (1) 3sin -cos 的值是( 12 12 A. 2 C.- 2 2 B. 2 7π D.sin 12

)

(2)函数y=sinx+cosx+2的最小值是( A.2- 2 C.0 B.2+ 2 D.1

)

5 5 解析:(1) 3sin12π-cos12π 5 π 5 π =2(sin12πcos6-cos12πsin6) 5 π π =2sin(12π-6)=2sin4= 2,故选A. (2)y=sinx+cosx+2 2 2 = 2( sinx+ cosx)+2 2 2 π π = 2(sinxcos +cosxsin )+2 4 4

π = 2sin(x+4)+2 ≥2- 2,故其最小值为2- 2.

答案:(1)A

(2)A

提高篇03
自我超越

——易错警示系列—— 已知三角函数值求角时, 因函数选择不当而致误 在求三角函数值时,由于所选择的函数在定义域(角的 范围)内不单调,从而导致错误. 【例】 已知π<α<α+β<2π,且满足cosα=- 12 13 ,

17 2 cos(α+β)= 26 ,求β.

【错解】

12 17 2 ∵cosα=-13,cos(α+β)= 26 ,

且π<α<α+β<2π, ∴sinα=- 5 7 2 ,sin(α+β)=- , 13 26

∴sinβ=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα 2 = . 2 π 3 ∵π<α<α+β<2π,∴0<β<π,∴β=4或4π.

【错因分析】

以上错解是由于求β的三角函数值时,

2 函数选择不当所致.由于sinβ= 2 ,且y=sinβ在[0,π]上不 单调,所以β在(0,π)上有两个值,这两个值的取舍就是个 2 3 问题,但若由cosβ=- 2 ,则得β= 4 π,即在(0,π)上只有 一个值,故所选择的函数应在角的范围内单调,这样就可 避免以上错误的发生.

【正解】

12 17 2 ∵cosα=-13,cos(α+β)= 26 ,

且π<α<α+β<2π, 5 7 2 ∴sinα=-13,sin(α+β)=- 26 , ∴cosβ=cos[(α+β)-α] 2 =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=- 2 . 3π ∵π<α<α+β<2π,∴0<β<π,∴β= . 4

设cosα=- 的值.

5 1 3π π ,tanβ= ,π<α< ,0<β< ,求α-β 5 3 2 2

5 3π 2 5 解:由cosα=- ,π<α< ,得sinα=- . 5 2 5 1 π 1 3 由tanβ= ,0<β< ,得sinβ= ,cosβ= , 3 2 10 10 3π π π π 3π 由π<α< 2 ,0<β<2可得-2<-β<0,2<α-β< 2 ,

所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 2 5 3 5 1 2 =(- 5 )× -(- 5 )× =- 2 . 10 10 5π 因此,α-β= 4 .

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