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2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件 理


第5讲
考试要求

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
1.函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,图象的画法,

参数A,ω,φ对函数图象变化的影响,A级要求;2.利用三角
函数解决一些简单实际问题,A级要求.

知识梳理 1.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0

,ω>0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及 与x轴相交的三个点,作图时的一般步骤为: (1)定点:如下表所示.

x

φ -ω

π 2 -φ ω

π-φ ω

π-φ ω

2π-φ ω

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

0
0

π 2
A

π
0

3π 2
-A


0

(2) 作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑 的曲线顺次连接得到y=Asin(ωx+φ)在一个周期内

的图象.
(3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得y= Asin(ωx+φ)在R上的图象.

2.函数y=Asin(ωx+φ)中各量的物理意义 当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示 简谐振动时,几个相关的概念如下表:
简谐振动 y=Asin(ωx+φ)(A >0,ω>0), x∈[0,+∞) 振幅 A 周期 T= 频率 相位 初相

2π 1 ωx+φ ω f=T

φ

3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的两

种途径

|φ|
φ |ω |

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
? π? ? (1)作函数 y=sin?x- ? ?在一个周期内的图象时,确定的五点是 6 ? ? ?π ? ?3π ? ? ? ? ? (0,0),? ,1?,(π ,0),? ,- 1 ?,(2π ,0)这五个点.( × ) ?2 ? ? 2 ?

π (2)将函数 y=3sin 2x 的图象左移 4 个单位长度后所得图象的解 ? π? ? 析式是 y=3sin?2x+ ? ?.( × ) 4 ? ?

(3)函数

? 3π y=sin(-2x)的递减区间是? ?- 4 ?

? π ? -kπ ,- 4 -kπ ?, ?

k∈Z.( × ) (4)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图象的两 T 个相邻对称中心之间的距离为 .( √ 2 高点的值与最低点的值确定的.( √ )

(5)由图象求解析式时, 振幅 A 的大小是由一个周期内图象中最 )

2.( 苏教版必修 4P40T5 改编 ) 已知简谐运动

?π f(x) = 2sin ? ?3 ?

? ? x+φ? ?

π (|φ|< 2 )的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期 T 和 初相 φ 分别为__________.
π 1 解析 由题意知 1=2sin φ,得 sin φ= ,又|φ|< , 2 2 ?π? π ? 得 φ= ;而此函数的最小正周期为 T=2π÷? ? 3 ?=6. 6 ? ?

π 答案 6, 6

3.如图,某地一天,从6~14时的温度变化曲线近似 满足函数 y = Asin(ωx + φ) + b(A > 0 , ω > 0 , 0 < φ <π),则这段曲线的函数解析式为________.
解析 从图中可以看出,从 6~14 时的是函数 y=Asin(ωx+φ)

π 1 2π +b 的半个周期,又2× =14-6,所以 ω= 8 . ω 1 1 所以 A=2(30-10)=10,b=2(30+10)=20, π 3π 又 8 ×10+φ=2π,解得 φ= 4 , ?π 3π ? ? ? ∴y=10sin? x+ ?+20,x∈[6,14]. 8 4 ? ? ?π 3π ? ? ? 答案 y=10sin? x+ ?+20,x∈[6,14] 8 4 ? ?

4.(2016· 南通调研)将函数

? 5π ? y=sin?2x+ 6 ?

? ? ?的图象至少向左平移 ?

________个单位,可得一个偶函数的图象.
解析 设向左平移 φ(φ>0)个单位, 所得函数
? 5π? ? ? y=sin?2x+2φ+ 6 ? ? ?

? 5π? ? ? 为偶函数,即 sin?-2x+2φ+ 6 ? ? ? ? ? 5π? 5π? ? ? ? ? =sin?2x+2φ+ ,即 2sin2 x cos 2 φ + ? ? ?=0, 6 6 ? ? ? ? ? 5π π 5π? ? ? 则 cos?2 φ+ =0, 所以 2φ+ 6 =kπ+ 2 , k∈Z, 所以 6 ? ? ?

kπ φ= 2

π π - ,k∈Z,又 φ>0,故 φmin= . 6 3

π 答案 3

5.(2016· 苏北四市期末)将函数

? π ? y=2sin?ω x- 4 ?

? ? ?(ω>0)的图象分别 ?

π 向左、向右各平移 4 个单位长度后,所得的两个图象对称轴重 合,则 ω 的最小值为________.
解析 函数
? π? ? y=2sin?ωx- ? ?的对称轴为 4 ? ?

3π x= π+ (k∈Z).向 ω 4ω k

π π k1 左、向右平移 个单位长度后,对称轴分别变为 x= π+ + 4 4 ω π 3 k2 3 π和 x= π- + π(k1,k2∈Z).要使对称轴重合,即要 4 4ω 4ω ω 使 ω=2(k2-k1),又 k1,k2∈Z, ω>0,所以 ω 的最小值为 2.

答案 2

考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
【例 1】 设函数 f(x)=sin ω x+ 3cos ω x(ω>0)的周期为π .

(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象; (2)说明函数f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而

得到.
解 f(x)=sin ω x+ 3cos ω x
? ? π? 3 ? ? ω x+ 2 cos ω x?=2sin?ω x+ ?, 3? ? ? ?1 =2? sin ?2

? 2π π? ? 又∵T=π ,∴ =π ,即 ω=2,∴f(x)=2sin?2x+ ? . 3? ω ? ?

? π π? ? (1)令 z=2x+ ,则 y=2sin?2x+ ? ?=2sin z. 3 3 ? ? 列表,并描点画出图象:

x z y=sin z
? π ? y=2sin?2x+ 3 ? ? ? ? ?

π -6 0 0 0

π 12 π 2 1 2

π 3 π 0 0

7π 12 3π 2 -1 -2

5π 6 2π 0 0

π (2)法一 把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 3 个单位, 得到 y ? ? π? π? ? ? ? =sin?x+ ?的图象;再把 y=sin?x+ ? 的图象上的点的横坐标缩 3? 3? ? ? ? ? π? 1 ? 短到原来的 倍(纵坐标不变),得到 y=sin?2x+ ? ?的图象;最后把 2 3 ? ? ? π? ? y=sin?2x+ ? ?上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变), 3 ? ? ? π? ? 即可得到 y=2sin?2x+ ? 的图象. ? 3? ?

1 法二 将 y=sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin 2x 的图象;再将 y=sin 2x 的图 ? ? π π? π? ? ? ? 象向左平移 6 个单位,得到 y=sin 2?x+ ?=sin?2x+ ? 的图 ? 6? 3? ? ? ? π? ? 象;再将 y=sin?2x+ ? 的图象上每一点的纵坐标伸长到原来 3? ? ? ? π? ? 的 2 倍(横坐标保持不变),得到 y=2sin?2x+ ? 的图象. ? 3? ?

规律方法

作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象常用如

下两种方法: (1)五点法作图法, 用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ) π 的简图,主要是通过变量代换,设 z=ωx+φ,由 z 取 0, 2 , 3 π,2π,2π来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标, 描点后得出图象;(2)图象的变换法,由函数 y=sin x 的图象通 过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径: “先平移后伸缩” 与“先伸缩后平移”.

【训练 1】 设函数 正周期为π ,且

? π ? f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,- 2 ? ?π ? 3 ? ? f ? ?= . 2 ?4?

? ? <φ<0?的最小 ?

(1)求ω和φ的值;
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象.



?π ? ? ? 2π π 3 ? ? ? ? (1)∵T= =π ,ω =2,又 f ? ?=cos?2× +φ?= 2 , 4 ω ?4? ? ?

π π 3 ∴sin φ=- 2 ,又- 2 <φ<0,∴φ=- 3 . ? π? ? (2)由(1)得 f(x)=cos?2x- ? ?,列表: 3 ? ?

π 2x- 3 x f ( x)

π -3 0 1 2

0 π 6 1

π 2 5 12π 0

π 2 3π -1

3 2π 11 12π 0

5 3π π 1 2

描点画出图象(如图).

考点二 由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
【例 2 】 (1)(2015· 全国 Ⅰ 卷改编 ) 函数 f(x) = cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单 调递减区间为________. (2)(2015· 南通质检)如图是函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)+2(A>0, ω>0,|φ|<π)的图象的一部分,则函数f(x)的解析式为________.

解析 ∴ 2π

(1)由图象知,周期 =2,∴ω=π.

?5 1? T=2?4-4?=2, ? ?

ω

π π 1 由π×4+φ= 2 +2kπ,k∈Z,不妨取 φ= 4 , ? π? ? ∴f(x)=cos?πx+ ? . ? 4? ? π 1 3 由 2kπ<πx+ 4 <2kπ+π,k∈Z,得 2k-4<x<2k+4,k∈Z, ? 1 3? ∴f(x)的单调递减区间为?2k-4,2k+4?,k∈Z. ? ?

3-1 4π T 5π π 2π (2)由图象知,A= =1, = - = ,则 T= ,ω= 2 2 6 6 3 3 5π 3 π 3π 3 ,由 × +φ= +2kπ,k∈Z,得 φ=- +2kπ,k∈Z. 2 6 2 2 4 ?3 3π 3π? ? ? 又|φ|<π,所以 φ=- 4 .所以 f(x)=sin? x- +2. ? 4 ? ?2 ? 1 3? 答案 (1)?2k-4,2k+4?,k∈Z ? ? ?3 3π ? ? ? (2)f(x)=sin? x- +2 ? 4 ? ?2

规律方法

已知 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其

解析式时,A 比较容易看图得出,困难的是求待定系数 ω 和 φ, 2π 常用如下两种方法:(1)五点法,由 ω= T 即可求出 ω;确定 φ 时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横 坐标 x0,则令 ωx0+φ=0(或 ωx0+φ=π),即可求出 φ;(2)代入 法,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析 式,再结合图形解出 ω 和 φ,若对 A,ω的符号或对 φ 的范围有 要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.

【训练 2 】 (2016· 洛阳模拟 ) 已知函数 f(x) = ? π? ? Asin(ωx + φ) ?A>0,ω >0,|φ|< ? ? 的部分图 2 ? ? 象如图所示,则 f(x)的解析式是________.
?5π π? ? 解析 由题意可知 A=1,T=4? - ? 12 ?=π,ω=2, 6 ? ? ? ? π π ? 当 x= 6 时取得最大值 1,∴1=sin?2× +φ? , ? 6 ? ?

π π π ∴φ= +2kπ(k∈Z),又|φ|< ,∴φ= , 6 2 6 ? π? ? 函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin?2x+ ? . ? 6? ?

答案

? π ? f(x)=sin?2x+ 6 ?

? ? ? ?

考点三 y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合问题

【例 3】 已知函数 f(x)=2

?x π 3sin? ?2+ 4 ?

? ?x π ? ? · cos ? ?2+ 4 ? ?

? ? ?-sin(x+π ?

).

(1)求 f(x)的最小正周期;

π (2)若将 f(x)的图象向右平移 6 个单位长度, 得到函数 g(x)的图象, 求函数 g(x)在区间[0,π ]上的最大值和最小值.
解 (1)f(x)=2 = 3cos x+sin
?x π ? ?x π ? ? ? ? 3sin? + ?·cos? + ?2 ?-sin(x+π ) 2 4 4 ? ? ? ? ? 2π π? ? ? x=2sin?x+ ?,于是 T= 1 =2π . 3? ?

? ? π? π? ? ? ? (2)由已知得 g(x)=f ?x- ?=2sin?x+ ? ?, 6 6 ? ? ? ? π ? 7π ? ?π ? ∵x∈[0,π ],∴x+ ∈? , , 6 ?6 6 ? ? ? ? ? 1 π? π ? ? ? ? ? ? ∴sin?x+ ?∈ -2,1 ,∴g(x)=2sin?x+ 6? ? 6 ? ? ?

? ? ?∈[-1,2], ?

故函数 g(x)在区间[0,π ]上的最大值为 2,最小值为-1.

规律方法

函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间和对

称性的确定,基本思想是把 ωx+φ看做一个整体 . 在单调性应 用方面,比较大小是一类常见的题目,依据是同一区间内函 数的单调性.对称性是三角函数图象的一个重要性质,因此要

抓住其轴对称、中心对称的本质,同时还要会综合利用这些
性质解决问题,解题时可利用数形结合思想.

【训练 3】已知函数 f(x)=

? π ? 3sin(ωx+φ)?ω>0,- 2 ?

π? ? ≤φ< ?的 2?

π 图象关于直线 x= 对称,且图象上相邻最高点的距离为π . 3
(1)求 f
?π ? ?4 ? ? ? ?的值; ?

π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移12个单位后,得到 y=g(x)的 图象,求 g(x)的单调递减区间.

(1)因为 f(x)的图象上相邻最高点的距离为π , 所以 f(x)的最 2π 小正周期 T=π ,从而 ω= T =2. π π π 又 f(x)的图象关于直线 x= 3 对称,所以 2× 3 +φ=kπ + 2 π π (k∈Z),因为- 2 ≤φ < 2 ,所以 k=0, ? π 2π π π? ? 所以 φ= 2 - 3 =- 6 ,所以 f(x)= 3sin?2x- ? ?, 6 ? ? ?π ? ? π 3 π π? ? ? ? ? 则 f ? ?= 3sin?2× - ?= 3sin 3 =2. 4 6? ?4? ? 解

π (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位后,得到 12 ? ? ? ? ? π? π? π? ? ? ? ? ? ? ? π ? f ?x- ?的图象,所以 g(x)=f?x- ?= 3sin?2?x- ?- ? 12? 12? 12? 6 ? ? ? ? ? ? π? ? = 3sin?2x- ? . 3? ? ? π π 3π 当 2kπ + ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 3 2 5π 11π 即 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z)时,g(x)单调递减. 12 12 ? 5π 11π ? ? ? 因此 g(x)的单调递减区间为?kπ + (k∈Z). , k π + ? 12 12 ? ?

[思想方法] 1.五点法作图及图象变换问题 (1)五点法作简图要取好五个关键点,注意曲线凸凹方向; (2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言,而不是看

角ωx+φ的变化.
2.由图象确定函数解析式 由函数 y = Asin(ωx + φ) 的图象确定 A 、 ω 、 φ 的题型,常常以 “五点法”中的五个点作为突破口,要从图象的升降情况找准

第一个“零点”和第二个“零点”的位置 . 要善于抓住特殊量
和特殊点.

[易错防范] 1.由函数y=sin x的图象经过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,如 先伸缩再平移时,要把x前面的系数提取出来. 2. 复合形式的三角函数的单调区间的求法 . 函数 y = Asin(ωx +

φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把ωx+φ看做一个
整体.若ω<0,要先根据诱导公式进行转化. 3.求函数y=Asin(ωx+φ)在x∈[m,n]上的最值,可先求t=ωx+φ 的范围,再结合图象得出y=Asin t的值域.


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