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09年中国奥数国家集训队训练题(二)


2009 年中国数学奥林匹克国家集训队协作体练习题(二)答案
1.自圆外一点 P 作圆的两条切线 PS、PT (S、T 为切点), 再过点 P 作割线 交圆于 A、B 两点, 直线 SA、SB 与切线 PT 分别交于 Q、R. 求证:
1 1 2 ? ? PQ PR PT

.

S O B A P Q T R

>
解答 1.自圆外一点 P 作圆的两条切线 PS、PT (S、T 为切点), 再过点 P 作 割线交圆于 A、B 两点, 直线 SA、SB 与切线 PT 分别交于 Q、R. 求证:
1 1 2 ? ? PQ PR PT

.

S O B' P A T

S'

B F R

E Q

证明: 如图所示, 作轴反射变换 S(OT), 设 S→S′, B→B′, 直线 SB′、 S′B 分别与直线 PT 交于 E、F, 则 T 为 EF 的中点, 且 SS′∥PQ∥B′B, 所以, ∠ESA =∠B′SA =∠B′BA =∠EPA, ∠RFB =∠SS′B =∠PSB, 因此, A、E、P、S 四点共圆, B、F、P、S 四点共圆. 于是, 由圆幂定理, 有 PQ ? EQ = SQ ? AQ = QT2, PR ? FR = SR ? BR = TR2. 另一方面, 我们有 PQ ? EQ = PQ (ET? QT) = PQ(ET + PT) ? PQ (QT + PT) = PQ(ET + PT) ? (PT? QT) (QT + PT) = PQ (ET + PT) ? PT2 + QT2. PR ? FR = PR (TR ? TF) = PR (PT ? TF) ? PR (PT? TR) = PR (PT ? TF) ? (PT + TR) (PT? TR) = PR (PT ? TF) ? PT2 + TR2. 所以, PQ(ET+PT) =PT2, PR (PT ? TF) = PT2 . 于是由 ET = TF 即得
1 1 ? PQ PR

=

ET ? PT PT ? TF 2PT 2 = 2= . ? 2 2 PT PT PT PT

2.一会议厅有 n 张椅子围绕着一张圆桌. n 位代表在开会.第一位代表任意选择 他(或她)的座位.此后第 ? k ? 1? 位代表坐在第 k 位代表的右边的(按逆时针方 向)第 k 个座位,这里 1 ? k ? n ? 1 . (特别地,第两位代表坐在第一位的下一个

座位. )每张椅子不能坐多于一位代表.求能得到如此安置代表座位的 n 值. 解: n ? 2m ,其中 m 是任一非负整数.

? ? 记这些座位的编号分别为 0,1, 2, , ? 1 ? n .第 k 位代表坐在座位 k k ? 1 ,其中 2
k ? 1, 2,? ,n .

? ? 于是如果这 n 个数 k k ? 1 对模 n 不同余,这里 k ? 1, 2,?, n ,那么这个安置座位 2
方案是可能的. 首先,假设 n ? 2m ,其中 m 是非负整数.特别地,当 m ? 0 时,显然安置座位方 案是可能的.

? ? ? ? ? ?? ? 当 m ? 0 时,我们有 h h ?1 ? k k ?1 ? h ? k h ? k ? 1 . 2 2 2
若 h 和 k 不相等,则 h ? k 和 h ? k ? 1 都是非零数,但它们具有相异奇偶性,并且 都小于 2n . 于是其中一个是奇数,另一个不能被比 2m 的指数更高的 2 的幂整除.

? ?? ? ? ? ? ? 这样 h ? k h ? k ? 1 不能被 2m 整除,即 h h ? 1 与 k k ? 1 对模 n 不同余. 2 2 2
因此安置座位方案在 n 是一个 2 的幂时可操作. 反之,假设 n ? 2m ? 2a ? 1? ,其中 a 是正整数, m 是非负整数. 若 a ? 2m ,取 h ? 2m ? a ? 1 , k ? 2m ? a . 则 h ? k ? 2a ? 1 , h ? k ? 1 ? 2m ?1 ,
h ? h ? 1? k ? k ? 1? ? ? 2m ? 2a ? 1? . 2 2

? ? ? ? 故 h h ? 1 和 k k ? 1 对模 n 同余. 2 2
若 a ? 2m ,取 h ? 2m ? a ? 1 , k ? a ? 2m ? 1 . 则 h ? k ? 2m?1 , h ? k ? 1 ? 2a ? 1,
h ? h ? 1? k ? k ? 1? ? ? 2m ? 2a ? 1? . 2 2

? ? ? ? 故也得到 h h ? 1 和 k k ? 1 对模 n 同余. 2 2
上述 h 、 k 的取值都是 1 ~ n 范围内的整数. 因此若 n 不是一个 2 的幂就没有可能的安置座位方案. 3 设 n 是一个正整数, S ? {( x, y) |? x ? n,1 ? y ? n, x, y ? Z} ,设 T 是所有顶

点均在 S 中的正方形组成的集合,对于 S 中的一个点对(两点组成) ,当此点对 恰是 k 个正方形的顶点时, 则称这个点对具有 k 重性,所有具有 k 重性的点对的 个数记为 a k . 试比较 a0与a2 ? 2a3 的大小。 解 首先证明: 一个点对至多属于 3 个正方形,由于以点对间所连线段为一

边的正方形最多有两个, 而以该线段为对角线的正方形最多只有 1 个,故以一个 点对为两个顶点的正方形不超过 3 个,从而对任一点对,其重性只可能为 0,1,
2 2,3,另一方面,点对总数为 C n 2 ,从而
2 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? Cn2

(1)

将任意一点对及以该点对为两顶点的正方形作为一个“顶点一正方形组” , 简称 VS 组,规定:当且仅当点对及正方形都相同时,VS 组相同,设 | T |? S ,一 方面,对于每一个正方形包括 6 个点对,故有 6S 个 VS 组;另一方面,从点对的 角度考虑 VS 组, 对于 k 重性的任一点对必属于 k 个正方形,从而 VS 组的总数为

1 ? a1 ? 2 ? a2 ? 3a3 ,综合可得 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 6S
最后计算 T 中正方形的个数 S。 记 T 中两边为水平与竖直方向的正方形组成的集合为 A,那么,T 中任一个 正方形 a,都对应着 A 中的一个正方形 b,使得 a 的顶点全在 b 的边界上,而对 于 A 中一个边长为 i 的正方形, T 中恰好有 i 个正方形,使得它们的顶点全在 在 这个正方形的边界上,又 A 中边长为 i 的正方形有 (n ? i) 2 个,
n ?1 1 2 故 S ? ? i (n ? i ) 2 ? C n 2 , 6 i ?1

(2)



2 Cn2 ? 6S

(3)

综合(1)(2)(3) , , ,可知

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 , ? a0 ? a2 ? 2a3 .
注 本题中,计算点对及 VS 组个数时,运用了算两次,计算|T|时,则运用

了映射法计数。

2009 年中国数学奥林匹克国家集训队协作体练习题(二)
1、自圆外一点 P 作圆的两条切线 PS、PT (S、T 为切点), 再过点 P 作割线交圆 于 A、B 两点, 直线 SA、SB 与切线 PT 分别交于 Q、R. 求证:
1 1 2 ? ? PQ PR PT

.

S O B A P Q T R

2、一会议厅有 n 张椅子围绕着一张圆桌. n 位代表在开会.第一位代表任意选 择他(或她)的座位.此后第 ? k ? 1? 位代表坐在第 k 位代表的右边的(按逆 时针方向)第 k 个座位,这里 1 ? k ? n ? 1 . (特别地,第两位代表坐在第一位 的下一个座位. 每张椅子不能坐多于一位代表.求能得到如此安置代表座位 ) 的 n 值. 3、设 n 是一个正整数, S ? {( x, y) |? x ? n,1 ? y ? n, x, y ? Z} ,设 T 是所有顶点均 在 S 中的正方形组成的集合,对于 S 中的一个点对(两点组成) ,当此点对恰 是 k 个正方形的顶点时,则称这个点对具有 k 重性,所有具有 k 重性的点对 的个数记为 a k . 试比较 a0与a2 ? 2a3 的大小。


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