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浙江省温州市十校联合体2012-2013学年高二上学期期末联考数学(理)试题 Word版含答案


2012 学年第一学期温州市十校联合体期末考试 高二数学试卷(理科)
说明:本试卷满分 120 分,考试时间 100 分钟。学生答题时不可使用计算器。

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) . 1. 抛物线 x 2 ? 8 y 的准线方程为( ▲ )

/>A. y ? ?2

B. x ? ?2

C. y ? ?4

D. x ? ?4

2. 若命题 " p ? q " 和 " ?p " 都为假命题,则( ▲ )

A. p ? q 为假命题

B. q 为假命题

C. q 为真命题

D. 不能判断 q 的真假

3. 已知 a、b、c 是直线, ? 是平面,给出下列命题: ① a ? b, b ? c, 则a // c ; 若 ③若 a / / ? , b ? ? , 则a / /b ; 其中真命题的个数是( ▲ ) ② a // b, b ? c, 则a ? c ; 若 ④ a 与 b 异面,且 a // ? , 则b与? 相交; 若

B. 2 C. 3 D. 4 4. 在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,异面直线 BA1 与 CB1 所成的角为 ( ▲ ) 1

A. 1

A. 30 0

B. 450

C. 60 0

D. 90 0

5. 已知 a ? (? ? 1,0,2?),b ? (6,2? ? 1,2),若a // b, 则?与?的值分别为( ▲ )

A.

1 1 , 5 2

B. 5 , 2

1 1 C. ? ,? 5 2

D. ?5, ?2

x2 ? y 2 ? 1 有相同渐近线的双曲线的方程是( ▲ ) 6. 过点(2,-2)且与双曲线 2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 C. D. ? ?1 ? ?1 ? ?1 4 2 2 4 2 4 2 2 7. 若过点(3,1)总可以作两条直线和圆 ( x ? 2k ) ? ( y ? k ) ? k (k ? 0) 相切,则 k 的取值
A. B.
范围是( ▲ )

x2 y2 ? ?1 4 2

A. (0,2)
8. 已知双曲线

B. (1,2)

C. (2,+∞)

D. (0,1)∪(2,+∞)

? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,若过 F 且倾斜角为 的直线 2 4 a b
B. [2, ??) C. (1, 2) D. [ 2, ??)

与双曲线的右支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围( ▲ )

A. (1, 2)

x2 ? y 2 ? 1 交于不同的两点 P 、 P2 ,线段 P P2 的中点为 P ,设直线 l 1 1 2 的斜率为 k1 (k1 ? 0) ,直线 OP 的斜率为 k 2 ( O 点为坐标原点) ,则 k1 ? k 2 的值为( ▲ )
9. 直线 l 与椭圆

A. ?

1 2

B. ? 1

C. ? 2

D. 不能确定

10. 正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA ? 2, AB ? 1 , M , N 分别在 AD1 , BC 上移动,且 1

始终保持 MN ∥ DCC1D1 ,设 BN ? x, MN ? y ,则函数 y ? f ?x ? 的图象大致是( ▲ ) 面

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 经过原点且与直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 平行的直线方程为 ▲ .

12. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,若 AB=a, AD ? b, AA ? c , 1 1 则 a?b?c ?

??? ? ???? ?

? ???? ?

? ? ?





13. 已知某个几何体的三视图如下图所示, 则这个几何体的体积是 ▲ .

14. 已知动点 P 在曲线 2x2 ? y ? 0 上移动,则点 A(0, ?1) 与点 P 连线的中点 M 的轨迹方程是 ▲ .

15. 若直线 2ax ? by ? 2 ? 0 (a ? 0, b ? 0) 始终平分圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的圆周,

1 1 ? 的最小值为 ▲ . a b x2 y 2 x2 y 2 16. 椭圆 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 有相同的焦点 F1 ,F2 , P 是两条曲线的 25 9 9 7
则 一个交点,则 cos ?F PF2 ? 1 ▲ .

17. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,E 为 DC 边的中点,沿 AE 将 ?ADE 折起, 使二面角 D-AE-B 为 60 ,则直线 AD 与面 ABCE 所成角的正弦值为
?





三、 (本大题共 5 小题,共 52 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) . 18. (本题 8 分) 已知命题 p : ? 4 x ? 3? ? 1, 命题 q : ( x ? a)( x ? a ? 1) ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,
2

求实数 a 的取值范围.

19. (本题 8 分) 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切. (1)求圆的方程; (2)设直线 ax ? y ? 5 ? 0(a ? 0) 与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围;

20.(本题 12 分) 如图,已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 1 ,

AB ? 2 , F 是 PD 的中点, E 是线段 AB 上的点.
(1) 当 E 是 AB 的中点时,求证: AF // 平面 PEC ; (2) 要使二面角 P ? EC ? D 的大小为 45 ,试确定 E 点的位置.
?

P F D C

A

E

B

2 21.(本题 12 分)已知抛物线 E : x ? 2 py( p ? 0) 的准线方程是 y ? ?

1 2

(1) 求抛物线 E 的方程; (2) 过点 F (0, ) 的直线 l 与抛物线 E 交于 P、Q 两点,设 N (0, a) (a ? 0) ,

1 2 ??? ???? ? 且 NP ? NQ ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

22.(本题 12 分)已知椭圆 C: (1) 求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且经过点 M (?2,0) . 2 a b 2

(2) 设斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,连接 MA,MB 并延长交直线 x ? 4 于 P,Q 两点,设 yP , yQ 分别为点 P,Q 的纵坐标,且

1 1 1 1 ? ? ? .求△ABM 的面积. y1 y2 yP yQ

2012 学年第一学期十校联合体高二期末联考 数学(理科)答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) . 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 C 5 A 6 D 7 D 8 C 9 A 10 C

二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 3x ? 4 y ? 0 15. 12. 3 16. 13.

4

1 8

8000 3 cm 3 39 17. 13

14. y ? 4 x ?
2

1 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) . 18. 解: ? 4 x ? 3 ? ? 1 ?
2

1 ? x ? 1 , ( x ? a)( x ? a ? 1) ? 0 ? a ? x ? a ? 1, ········ 4? ········ ········ 2

? p 是 q 的充分不必要条件, 1 ? { x | ? x ? 1 } ? { x | a ? x ? a ? 1 }, ? 2 1 ? 1 ?a ? ?? 2 ?0?a? 。 2 ?1 ? a ? 1 ?

············ 8? ··········· · ·········· ··

(m 19.解: (1)设圆心为 M(m,0) ? Z ) 。由于圆与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切,且半径为 5,
| 4m ? 29 | ? 5,即 | 4m ? 29 |? 25。 因为 m 为整数,故 m=1。 5 2 2 故所求圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 25。 ···························· ··························· 4? ·········· ··········· ······
所以 (2)把直线 ax ? y ? 5 ? 0即y ? ax ? 5 代入圆的方程, 消去 y 整理,得 (a ? 1) x ? 2(5a ? 1) x ? 1 ? 0 。
2 2 2 2 由于直线 ax ? y ? 5 ? 0 交圆于 A,B 两点,故 ? ? 4(5a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0 。
2 即 12a ? 5a ? 0 ,由于 a ? 0 ,解得 a ?

5 5 。所以实数 a 的取值范围是 ( ,?? ) 。 ····8? ···· ··· 12 12

P

20.解: 【法一】 (1)证明:如图,取 PC 的中点 O ,连接 OF , OE .

1 由已知得 OF / / DC 且 OF ? DC , 2
又? E 是 AB 的中点,则 OF / / AE 且 OF ? AE ,

F

D

C

? AEOF 是平行四边形,
∴ AF / / OE

·······················B· 4? ················E ········ ··········A ············ · · · ·

又? OE ? 平面 PEC , AF ? 平面 PEC

? AF / / 平面 PEC ····································· 6? ··········· ·········· ··········· ····· ·········· ··········· ··········· ·····
(2)如图,作 AM ? CE 交 CE 的延长线于 M . 连接 PM ,由三垂线定理得 PM ? CE ,

? ?PMA 是二面角 P ? EC ? D 的平面角.即? ?PMA ? 45o ················9? ··········· ····· ·········· ·····

? PA ? 1 ? AM ? 1 ,设 AE ? x ,
由 ?AME ? ?CBE 可得 x ?

(2 ? x) 2 ? 1 ? x ?
o

5 4

故,要使要使二面角 P ? EC ? D 的大小为 45 ,只需 AE ?

5 ················12? ··········· ····· ·········· ····· 4

【法二】 (1)由已知, AB, AD, AP 两两垂直,分别以它们所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标 系 A ? xyz . 则 A(0, 0, 0) , F (0,

??? ? 1 1 1 1 , ) ,则 AF ? (0, , ) ·························2? ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· 2 2 2 2
z P F D x

? E (1, 0, 0) , C (2,1, 0) , P(0, 0,1) , ?? 设平面 PEC 的法向量为 m ? ( x, y, z) ?? ??? ? ?m?EC ? 0 ? x ? y ? 0 ? ?? 则 ? ?? ??? , ? ?m?EP ? 0 ?? x ? z ? 0 ? ?? 令 x ? 1 得 m ? (1, ?1,1) ……………………………………… 4?
??? ?? ? ??? ?? ? 1 1 (1, 由 AF ?m ? (0, , )? ?1,1) ? 0 ,得 AF ? m 2 2

y C

A

E

B

又 AF ? 平面 PEC ,故 AF / / 平面 PEC ··························· 6? ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ······ (2)由已知可得平面 DEC 的一个法向量为 AP ? (0,0,1) , 设 E ? (t ,0,0) ,设平面 PEC 的法向量为 m ? ( x, y, z)

??? ?

??

?? ??? ? ?? ?m?EC ? 0 ?(2 ? t ) x ? y ? 0 ? ?? 则 ? ?? ??? ,令 x ? 1 得 m ? (1, t ? 2, t ) ··············· 10? ··········· ···· ·········· ····· ? ?m?EP ? 0 ??tx ? z ? 0 ? ??? ? ? AP?n 5 ? ? |? t ? , 由 cos 45o ?| ??? 4 | AP | ? | n |
故,要使要使二面角 P ? EC ? D 的大小为 45 ,只需 AE ?
o

5 ················12? ··········· ····· ·········· ····· 4

21.解: (1)? 抛物线的准线方程是 y ? ?

1 p 1 ? ? ? ? , 解得 p ? 1 , 2 2 2
---------------------------------------------------- 3?

抛物线 E 的方程是 x 2 ? 2 y . (2) 设直线 l 方程是 y ? kx ?

1 与 x 2 ? 2 y 联立,消去 y 得, 2

x 2 ? 2kx ? 1 ? 0 , 设 p( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2k , x1 x2 ? ?1 ,-------------------------- 6? ??? ???? ? ? NP ? NQ ? 0 , ? x1 x2 ? ( y1 ? a)( y2 ? a) ? 0 ,- ---------------------- 8?

x1 x2 x x , y1 ? y2 ? 1 ? 2 , 4 2 2 3 2 得 2k ? 1 ? a ? 对 k ? R 恒成立, - ------------------------------------------------------- 10? 4a 3 1 2 ? 1(a ? 0) 解得 a ? ? 而 2k ? 1 ? 1 ? a ? -------------------------------- 12? 2 4a c 2 22. 解: (1)依题意 a ? 2 , ? ,所以 c ? 2 . a 2 y1 y2 ?
因为 a ? b ? c ,
2 2 2

2

2

2

2

所以 b ?

2.
……………………3?

椭圆方程为

(2)因为直线 l 的斜率为 1,可设 l: y ? x ? m , 则?

x y ? ? 1. 4 2

2

2

? x2 ? 2 y2 ? 4 ?y ? x ? m

,消 y 得

3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 4 ? 0 ,

? ? 0 ,得 m2 ? 6 . 因为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

4m 2m 2 ? 4 , x1 x2 ? . ……………………6? 3 3 y1 6 y1 6 y2 设直线 MA: y ? ;同理 yQ ? . ( x ? 2) ,则 yP ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 1 1 1 1 因为 , ? ? ? y1 y2 yP yQ
所以 x1 ? x2 ? ?

x ? 2 x2 ? 2 x ? 4 x2 ? 4 6 6 , 即 1 ? ? 1 ? ? ?0. 6 y1 6 y2 6 y1 6 y2 6 y1 6 y2 所以 ( x1 ? 4) y2 ? ( x2 ? 4) y1 ? 0 ,
所以 所以 ( x1 ? 4)( x2 ? m) ? ( x2 ? 4)( x1 ? m) ? 0 ,

2x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ? 8m ? 0 ,
2m 2 ? 4 4m 4m ? m(? ) ? 4(? ) ? 8m ? 0 , 3 3 3 ?8 ? 8 m ? 0 , 所以 m ? ?1? (- 6, 6) . 所以 3 2?

……………………10?

所以 x1 ? x2 ?

4 2 , x1 x2 ? ? . 3 3

设△ABM 的面积为 S,直线 l 与 x 轴交点记为 N,

1 3 3 ? | MN | ? | y1 ? y2 |? ? | x1 ? x2 |? ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 10 . 2 2 2 所以 △ABM 的面积为 10 . ……… …………12?
所以 S ? 出卷人: 柳市中学 审卷人: 柳市中学 王 鲜 钱燕双


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