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10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数


§10.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理

1. 分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案,在第一类方案中有 m1 种不 同的方法,在第二类方案中有 m2 种不同的方法,……,在 第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,则完成这件事情,共有 N= 种不同的方法.

2. 分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤,完成第一步有 m1 种不同的方法,完成第二步有 m2 种不同的方法,……,完 成第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事情共有 N= 种不同的方法.

3. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一 件事情的不同方法的种数.它们的区别在于:分类加法计数 原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法 都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步 骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.

1. 5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中 的一个小组,则不同的报名方法共有________种. 2. 有不同颜色的 4 件上衣与不同颜色的 3 件长裤,如果一条 长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数是________.

3. 8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各 4 人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一 名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败者 角逐第 3、4 名,则大师赛共有________场比赛.

4. 有 A、B 两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工 人,其中甲、乙都会操作两种车床,丙只会操作 A 种车床,现 在要从三名工人中选 2 名分别去操作以上车床,不同的选派方 法有 A.6 种 B.5 种 C.4 种 D.3 种

5.

如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F

六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的 两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有 A.288 种 C.240 种 B.264 种 D.168 种

题型一

分类加法计数原理的应用

例1

高三一班有学生 50 人,男生 30 人,女生 20 人;高三

二班有学生 60 人,男生 30 人,女生 30 人;高三三班有学生 55 人,男生 35 人,女生 20 人. (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有 多少种不同的选法? (2)从高三一班、二班男生中,或从高三三班女生中选一名学 生任学生会体育部长,有多少种不同的选法?

x2 y2 方程m + n =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,其中 m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},那么这样的椭圆有多少个?

题型二

分步乘法计数原理的应用

例2

有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况

下各有多少种不同的报名方法?(不一定六名同学都能参加) (1)每人恰好参加一项,每项人数不限; (2)每项限报一人,且每人至多参加一项; (3)每项限报一人,但每人参加的项目不限.

已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2}, 若 a,b,c∈M,则: (1)y=ax2+bx+c 可以表示多少个不同的二次函数; (2)y=ax2+bx+c 可以表示多少个图象开口向上的二次函数.

题型三

两个原理的综合应用

例3

如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,

并使同一条棱上的两端异色,如果只有 5 种颜色可供使用,求 不同的染色方法总数.

有一项活动,需在 3 名老师、8 名男生和 5 名女 生中选人参加. (1)若只需 1 人参加,有多少种不同选法? (2)若需老师、男生、女生各一人参加,有多少种不同的选法? (3)若需一名老师、一名学生参加,有多少种不同的选法?


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