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由数列递推公式求通项公式的求解策略


由数列递推公式求通项公式的求解策略
一般地,如果已知数列 {an } 的第1项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项 an ?1(或 前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.由递 推公式给出的数列,称之为递推数列.等差、等比数列实际上就是最简单的递推数列.求递 推数列的通项的方法较为灵活。 利用递推数列求通项公式, 在理论上和实

践中均有较高的价 值,这一直是高考的热点之一.

一、直接构成等差、等比数列
例 1.已知数列递推公式,求数列通项公式。

(1) a1 ? 5 , an?1 ? an ? 3,(2) a1 ? 3 , an?1 ? 2an

二、利用 Sn 和 n、 an 的关系求 an
1、利用 sn 和 n 的关系求 an 例 2、已知数列前项和 Sn =n +1,求{ an }的通项公式.
2

2、利用 Sn 和 an 的关系求 an 例 3、在数列{ an }中,已知 Sn =3+2 an ,求 an

三、迭加法(或迭乘法) :
当递推关系为 an?1 ? an ? f (n)(或an?1 ? an f (n)) 时,要求通项公式时,我们常通过

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? …? (a2 ? a1 ) ? a1 (或 an ?
求出,此方法叫迭加法(或迭乘法)

an an ?1 a2 ? ??? ? a1 )的变形来 an ?1 an ?2 a1

例4、已知数列?an ?中,a1 ? 1, an?1 ? an ? n ? 2 求an

例5、已知数列?an ?中, a1 ? 1, an?1 ? 2n ? an 求an

w.w.w.k.s.5.u.c.o 例 6、 在数列{ an }中, a1 ? 3 , a n ?1 ? a n ?

1 ,求通项公式 an . n(n ? 1)

例7、已知数列?an ?中a1 ? 2且

1 1 ? 求an n ? n ? 1? an?1 ? an

四、换元法
例 8、 已知数列{ an },其中 a1 ? 求通项公式 an

4 13 1 , a 2 ? ,且当 n≥3 时,a n ? a n ?1 ? (a n ?1 ? a n ? 2 ) , 3 9 3

例 9、已知数列{ an },其中 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且当 n≥3 时, an ? 2an?1 ? an?2 ? 1 ,求通项 公式 an 。

五、取倒数法
例 10、 已知数列{ an }中,其中 a1 ? 1, ,且当 n≥2 时, a n ?

a n ?1 ,求通项公式 an 。 2a n?1 ? 1

六、取对数法
例 11、 若数列{ an }中, a1 =3 且 an?1 ? an (n 是正整数) ,则它的通项公式是 an =▁▁▁
2

七、平方(开方)法
例 12、 若数列{ an }中, a1 =2 且 a n ?
2 3 ? an ,求它的通项公式是 an . ?1 (n ? 2 )

八、待定系数法
待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列, 可以少走弯 路.其变换的基本形式如下: 1、 an?1 ? Aan ? B (A、B 为常数)型,可化为 an?1 ? ? =A( an ? ? )的形式. 例 13、 若数列{ an }中,a1 =1,S n 是数列{ an }的前 n 项之和, 且 S n?1 ? 求数列{ an }的通项公式是 an .

Sn (n ? 1 ) , 3 ? 4S n

n 2、an?1 ? Aan ? B ? C (A、 B、 C 为常数, 下同) 型, 可化为 an?1 ? ? ? C n?1 = A(an ? ? ? C )
n

的形式. 例 14、 在数列{ an }中, a1 ? ?1, an?1 ? 2an ? 4 ? 3
n?1

, 求通项公式 an 。

3、 an?2 ? A ? an?1 ? B ? an 型,可化为 an?2 ? ?an?1 ? A(an?1 ? ?an ) 的形式。 例 15、 在数列{ an }中, 当 n ? N ,an?2 ? 5an?1 ? 6an , 求通项公式 an . a1 ? ?1, a2 ? 2 ,

4、 an?1 ? Aan ? Bn ? C 型,可化为 an?1 ? ?1n ? ?2 ? A[an ? ?1 (n ? 1) ? ?2 ] 的形式。 例 16、 在数列{ an }中, a1 ?

3 , 2an ? an?1 =6 n ? 3 ,求通项公式 an . 2

例 17、设正数列 a0 ,a1 ,an ?,an ,?满足 a n a n ? 2 ? a n ?1 a n ?2 = 2a n ?1

(n ? 2) 且

a0 ? a1 ? 1,求 {an } 的通项公式.

九、猜想法
运用猜想法解题的一般步骤是:首先利用所给的递推式求出 a1 , a2 , a3 , ??,然后猜 想出满足递推式的一个通项公式 an ,最后用数学归纳法证明猜想是正确的。

数列求和
数列求和可分为特殊数列与一般数列求和,所谓特殊数列就是指等差或等比数列,非 等差或非等比数列称之为一般数列。 对于特殊数列的求和,要恰当地选择、准确地应用求和公式,采用直接求和的方法。 对于一般数列的求和,可采用下面介绍的几种化归策略。

1、公式法:
⑴ 等差数列的求和公式 S n ? ⑵ 等比数列的求和公式

n(a1 ? a n ) , S n ? na1 ? n(n ? 1)d 2 2

a1 (1 ? q n ) Sn ? 1? q 当 q ? 1 时, ①
当 q=1 时

Sn ?


a1 ? a n q 1? q



Sn ? na1
?n? n(n ? 1) , 2


⑶ 1? 2 ?

1? 3 ? 5 ?

? (2n ?1) ? n2
? n2 ?

1? 3 ? 5 ?

? (2n ? 1) ? (n ? 1)2



1 n(n ? 1)(2n ? 1) 6 n(n ? 1) 2 13 ? 2 3 ? 33 ? ?? ? n 3 ? [ ] 2 2、倒序相加法: 12 ? 22 ? 32 ?
如果一个数列{a n } ,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则可用把正着 写和与倒着写和的两个和式相加,就得到了一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加 法。特征:an+a1=an-1+a2 例 1、 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

例 2、已知 f ( x) ?

4x 1 2 1000 , 求S ? f ( )? f( ) ??? f ( ) 的值。 x 1001 1001 1001 4 ?2

3、错项相减法:
如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成, 此时求和

可采用错位相减法。特征:所给数列{a n } ,其中 a n =cn·bn 而{cn}是一个等差数列,且 {bn}则是一个等比数列。 ( “等比数列”的求和) - 例 3、已知数列{an} ,a1=2,an=(n+1)xn 1(n≥2,n∈N*),求 Sn。

例 4、求数列 {n ?

1 } 前 n 项和 2n

4、裂项相消法: 把一个数列的各项拆成两项之差,即数列的每一项均可按此法拆成两项之差,在求和时 一些正负项相互抵消, 于是前 n 项之和变成首尾若干少数项之和, 这一求和方法称为裂项相 消法。常见的拆项公式:

(1)

1 1 1 1 ? ( ? ); n( n ? k ) k n n ? k

(2)

1 1? 1 1 ? ? ? ? ?; (2n ? 1) ? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
1 1 ? 1 1 ? ? ? ? ? (其中{an}是一个公差为 d 的等差数列 an an ? m md ? an an ? m ?

(3)

(4)

? 1 1? 1 1 ? ? ? ?. n(n ? 1) ? n ? 2 ? 2 ? n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ?
n 1 1 ? ? ? n ? 1?! n! ? n ? 1?!
1 n ? n ?1 ? n ?1 ? n

(5)

(6)

(7) an ? S n ? S n?1 (n ? 2)
例 5、 求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

例 6、 在数列{an}中, an ? n 项的和

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

例 7、求数列

1 1 1 , ,??, ,?? 前 n 项和 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? ?? ? (n ? 1)

5、并项转化法:
在数列求和过程中,如果将某些项分组合并后转化为特殊数列再求和的这种方法称为 并项转化法。 例 8、求和:-1,4,-7,10,?, (-1)n(3n+2)

6、分组求和法:
在直接运用公式求和有困难时,将数列的每一项拆成多项,然后重新分组,将一般数列 求和问题转化为特殊数列的求和问题, 我们将这种方法称之为分组求和法, 运用这种方法的 关键是通项变形。 例 9、求数列 1·2·3,2·3·4,3·4·5,4·5·6,?,n(n +1) (n +2) ,?前 n 项的 和。

例 10、求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

,103,1005 ,10007 ,? 的前 n 项和 S n. 例 11、求数列 11

例 12、已知等差数列 ?an ? 的首项为 1,前 10 项的和为 145,求 a2 ? a4 ? ? ? a2n .

例 13、已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,其中 a k1 , a k 2 ,?, a k n 恰为等比数列,若 k1=1,k2=5,k3=17,求 k1+k2+?+kn。

7、分类讨论法:
有些数列的求和需要经过分类讨论处理后才能进行求和,如等比数列的公比含参变数, 则需在 1 点展开讨论,又如每一项均取绝对值的数列,则需在 0 点展开讨论。 例 14、数列{| an|}的前 n 项和为 Sn=10n-n2,求数列{|an|}的前 n 项和

例 15、一个数列{an} ,当 n 为奇数时,an=5n+1,当 n 为偶数时, an ? 2 2 ,求这个数列的 前 n 项之和。

n

例 16、已知数列 {an } 的通项 an ? ?

?6n ? 5 (n为奇数) ?2
n

(n为偶数)

,求其前 n 项和 Sn .


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