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第1章结构动力学概述


结构动力学

主讲:陈淮 王艳 Email:zzdxwang@126.com

主要内容
? 第1章 结构动力学概述
? ? ? ? ? ? ? 第I篇 单自由度体系 第2章 自由振动分析 第3章 简谐荷载反应 第4章 对周期性荷载的反应 第5章 对冲击荷载的反应 第6章 对一般动力荷载的反应——叠加法 第8章 广义单自由度体系

? ? ? ? ? ? ?

第II篇 多自由度体系 第9、14章 动力自由度选择、多自由度方程建立 第10章 结构特性矩阵的计算 第11章 无阻尼自由振动 第12章 动力反应分析-叠加法 第7、15章 动力反应数值分析方法 第16章 运动方程的变分形式

? 第III篇 分布参数体系 ? 第17章 运动的偏微分方程 ? 第18章 无阻尼自由振动分析 ? 第19章 动力反应分析

? 教材: 《结构动力学》 [美] R.克拉夫 ? 参考书目:

王光远 等译

? 《结构动力学》 徐赵东 马乐为 编著 科学出版社 ? 《结构动力学》 张子明 周星德等编著 中国电力出版社 ? 《结构动力学理论及其在地震工程中的应用》(第2版) Anil K.Chopra 著 谢礼立 吕大刚译 高等教育出版社

第1章 结构动力学概述
? §1-1 结构动力分析的主要目的
结构设计和结构分析,首先要面对静力问题,而且静力问 题也是结构设计和结构分析的主要内容。 动力荷载:大小、方向、作用点随时间变化的任意荷载。 同样动力荷载作用下的结构反应,也即所产生的应力和挠 度,也是随着时间变化或“动的”。 可以把静荷载看做动荷载的一种特殊形式。

但是动力荷载却是导致结构破坏的关键因素,动力问 题常对结构设计起控制作用(如高层结构抗震,大跨径 柔性悬索桥抗风等)。

在任意动荷载(如风载,地震,车辆运动,设备不 平衡力等)作用下都能使结构产生振动。在不利情况下, 振动使结构不能正常使用(如大风需封桥)、产生强烈 噪音,情况严重时甚至导致结构破坏。

? 振动:是指结构在平衡位置(或平均位置)附近来回往复 的运动。 ? 研究结构振动的迫切性:高耸、大跨、薄壳结构、离岸结 构等大型复杂结构的抗震、抗风、抗爆、抗波浪作用等; 精密仪器设备与结构动力相互作用等问题,目前还未很好 解决。
? 研究结构振动的目的:了解各种结构振动的机理和规律, 从中引出防止或限制振动危害的方法,同时尽量利用振动 积极因素。

? 在结构线性振动分析中,可把静荷载和动荷载区分开,分 别计算每种荷载对应的反应,然后把两种反应结果叠加, 即可得到总反应。本课程只讲述动力部分。

? 结构动力学是研究结构动力特性(频率、振型、阻尼特性 等),确定结构在动力荷载作用下动力反应(位移、内力 等)的分析原理和方法的一门专业基础课程,通过该课程 学习,可为同学们改善结构在动力环境下的安全性和可靠 性提供坚实的理论基础。

§1-2 结构动力学的主要内容 一般结构振动可用下式微分方程组描述:
??(t )?? ?C ??v ?(t )?? ?K ??v(t )? ? ?P(t )? ?M ??v
??(t )? ?v(t )??v ?(t )? ?v 式中,
(1)

?M ? ?C ? ?K ? 分别为结构质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵; ?P(t )? 为结构节点广义荷载列阵。

分别为结构节点振动位移、速度、加 速度列阵;

??(t )?? ?C ??v ?(t )?? ?K ??v(t )? ? ?P(t )? ?M ??v


?f (t )?? ?C??v?(t)? ?f (t )?? ?K ??v(t )? ??(t )? ?f (t )?? ?M ??v
I
D

S

分别为惯性力、阻尼力、弹性力列阵。

?1?

?

?f (t)?? ?f (t)?? ?f (t)?? ?P(t)?
I D S

(2)

式⑵表示惯性力、阻尼力、弹性力与作用于结构上的广义力 相平衡,称为结构动力平衡。
结构动力学的主要内容,就是针对具体结构,正确确定此 4种力,得出其运动方程,解之,得出所要求的结果。

1. 振动坐标的选择 结构振动由振动坐标描述,振动坐标的选择是结构动力 计算模型的抽象,牵涉到计算工作的繁简和计算结果的 精粗,是结构动力计算非常重要的第一步。 ?图1的i点:剪切型模型 弯剪型模型 考虑竖向抗震时

vi ;

vi ? i (v?i)

vi
?i

?i

wi
?i

存在偏心考虑水平、竖向和扭转时 图1

vi

wi

空间问题考虑两个水平轴振动时:

u xi v yi
图2

wzi ? xi ? yi ? zi

注: (1)1个质点在空间上最多有6个方向运动,包括3个平动 和绕3个轴的转动,如图2所示。 (2)坐标的选择,体现出建模者的经验,应多留心别人 是如何建立计算模型的。

2 激扰因素的分析
引起结构振动的各种因素称为激扰因素,包括荷载(激励) 和作用(扰动),一般都比较复杂。 讲述荷载(力)与作用的区别:荷载直接产生效应,作用 间接产生效应。 动力荷载是指其大小、或方向、或作用点位置(如车辆过 桥)随时间而变化的荷载。动力荷载可分为两大类: ⑴ 非确定性(随机性)动力荷载:荷载随时间的变化规律不完 全知道,但可以由统计理论说明。

⑵ 确定性动力荷载:荷载随时间的变化规律完全清楚。

3 阻尼分析
振动过程中作用于结构上的阻力是很复杂的,至今仍不太 清楚,一般分为两大类: 线性阻尼:导致线性振动方程; 非线性阻尼:导致非线性振动方程。 在结构动力反应分析中,一般采用高度理想化的方法来考 虑阻尼,常用粘滞阻尼理论: f ? cv ?
D

4 振动方程的建立
这是解决振动问题的关键,也是前述各步工作的结果。 建立振动方程的方法可分为: ⑴ 矢量法或称动力平衡法,如牛顿第二定律、达朗贝尔 原理。 ⑵ 标量法或称能量法,振动问题比静力问题多了1个时 间t的自变量,如果在任一时刻将t看为常数,则所有用 于静力分析的能量法都能用于动力分析,如虚位移原 理,Hamilton原理、Lagrange方程。

5 振动方程的求解
⑴ 常系数线性振动方程的解法 经典方法,如常微分方程解法,变分法 振型迭加法 逐步积分法 其它方法,如加权残数法 ⑵ 变系数振动方程的解法 变分法 逐步积分法 其它方法,如加权残数法

6 振动测试
检验理论分析的结果,测定理论分析中所需要的参数和资 料,都需要振动测试,它是振动分析的基础。 注:振动测试要求测试者经验性很强。

§1-3 振动分类
1. 不考虑结构本身的不确定性,按动力荷载是否随机,分为确 定性振动与随机振动。

2. 按激扰因素作用情况 ⑴ 自由振动:系统偏离静力平衡位置后,在不再受到外界激扰 情况下发生的振动。(P(t ) ? 0 ) ⑵ 强迫振动:系统在外界激扰作用下发生的振动。( P(t ) ? 0 ) ⑶ 自激振动:激扰受系统振动控制,由振动系统的反馈作用, 不断输入能量,而激起系统的常幅振动或幅度继续增大的振 动。(注:一旦振动被抑制,激扰也就随之消失,如火车过 桥引起车桥时变系统横向振动,钟表定幅振动) ⑷ 参数振动:系统的特性参数按一定规律随时间改变而激发的 振动。

⒊ 按振动方程是否线性
⑴ 线性振动:微幅、线性阻尼、线性弹性力 ⑵ 非线性振动:大幅度振动、非线性阻尼、非线性刚度 (滞回环)

§1-4 振动问题的几种提法
系统受外界激扰作用发生振动位移(反应或响应) 激扰-----I输入;反应 -----O输出;二者由系统的振动特性S: m、c、k联系着。

⒈ 已知激扰、系统振动特性,求系统反应——振动分析。 ⒉ 已知系统振动特性、反应,反求系统的输入——环境预 测或荷载识别。 ⒊ 已知激扰、反应,确定系统振动特性——系统识别或参 数识别。

两个主要内容: ⑴ 结构健康监测与损伤识别; ⑵ 振动设计(在一定激扰作用下,如何设计系统的振动特性, 使系统的反应满足指定条件)。 注:1 是结构动力学正分析问题;2、3 是结构动力学反分析问 题。 实际振动问题常常是错综复杂,它同时包含识别、分析与振 动设计等,将实际问题抽象为力学模型,实质是系统识别问 题;按力学模型列方程,建立数学模型并求解,实质是振动 分析问题;分析结果还必须用于改进结构设计,这就是振动 设计的问题。

§1-5 结构动力问题的基本特性
⒈ 结构动力反应不唯一,具有随时间变化的性质。 静力 动力

kv ? P ?

v?P

k

v

唯一

??(t ) ? cv ?(t ) ? kv(t ) ? P(t ) mv

v(t ) 是时程响应,非单一解

⒉ 动力问题必须考虑惯性力的影响,即外荷载要平衡弹性力、 阻尼力、惯性力

§1-6 结构离散化方法
自由度(或广义坐标):完全描述体系运动位形的相互独 立的坐标数目。 注:可以是平动、转角或其它广义量。 结构离散化:将无限自由度的结构处理为有限自由度体系 (目的:简化计算)。

⒈ 集中质量法 将实际结构的质量按一定规则集中在某些几何点上,除这 些点之外的结构杆件是无质量的。

水塔

工业厂房

框架结构

注: (1)集中质点与自由度是两个不同概念,1个质点最多可 有6个自由度。见图2 (2)按照2个系统动能相等方式确定等效质量比较准确。

⒉ 广义质量法 对于质量分布比较均匀的结构,结构的变形可用一系列规 定的位移曲线线性组合来表示:v( x, t ) ? ? zi ?i ( x) 式中,形函数 ?( x) 可以是满足结构几何边界条件而且保证 位移连续性要求的任何曲线;广义坐标 zi (t ) 是形函数的 幅值,待求量。 注:(1)结构边界条件分为几何边界条件与力边界条件。 (2)形函数不唯一,只要满足结构几何边界条件即可, 是已知曲线。

i?x ? 例如:简支梁, v( x, t ) ? ? bi (t ) sin l i ?1
?

注:(1)实用中,可取前N项,则无限自由度体系简化为有 限自由度体系。 (2)对于复杂结构,寻找合适的形函数比较困难。

⒊ 有限单元法FEM 与静力分析中的有限单元法一样(与结构力学中的矩阵位 移法相同),步骤: ⑴ 离散化:将结构划分为适当的单元,单元间以结点相连接, 这些结点的位移成为结构的广义坐标。

框架房屋

有限元模型

集中质量模型

⑵ 单元分析:将单元内任一点位移用结点位移来表示

v( x, t ) ? ?N ( x)??q(t )?
式中,?N ( x)? 为插值函数,称为形函数, ?q(t )? 称为结点位移。求出单元的质量、阻尼、刚 度矩阵,外荷载列阵。
⑶ 整体分析:按照直接刚度法组集单元特性,得到结构整 体运动方程,求解,得出结构动力反应。

联系与区别 ⒈ 与集中质量法相比,FEM也采用结点位移,但FEM可 以精细描述结构动力,集中质量法无法考虑局部构件,因 此适合简单结构。 ⒉ 与广义坐标法相比,FEM也采用形函数,但FEM的形 函数是针对单元而非整体结构,是分段插值,形函数表达 式相对简单。广义坐标法的插值函数是针对整个结构插值, 找适合的插值函数困难,因此也适用简单结构。 ⒊ 集中质量法较为简单实用;广义坐标法需要选择满足几 何边界条件的在整体结构插值的形函数,因此仅适用于简 单结构;以上两种方法适合于手工求解。有限单元法综合 了集中质量法和广义坐标法的特点,适用于各种复杂结构, 是求解工程结构动力问题最有效、最常用的方法,适合于 计算机求解。


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