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2.1.3异面直线所成的角


备课组 课 题

2019 届 数学学科 2.1.3 异面直线所成的角

二次备课教师 上课时间 集体备课内容

课时

二次备课

授课类型

新授课
1、知识与技能:理解并掌握异面直线所成的角的定义,熟记异面直 线所成角的范围,会用平移转换法求异面

直线所成的角。 2、过程与方法:借助正方体、长方体这一主要载体,以师为主导, 引导学生主动参与,探究异面直线所成角的概念形成过程,以及角的求解 及其所蕴含的转化思想与化归方法。

教学目标
3、情感态度与价值观: (1)通过本节学习,培养学生不断探索发现新知识的精神,渗透事 物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。 (2)培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力以及逻 辑推理能力,使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想。

教学重难点

教学重点:异面直线所成的角的定义、范围与计算。 难点:空间平移点的选取及解题规范。
(一)创设情景,引入新课 复习:1、异面直线的概念:不同在任何一个平面内的两条直线,既 不相交,也不平行,没有公共点。

教 学 环 节 及 主 要

2、空间两条直线的位置关系:相交、平行、异面。 3、平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行(平行线的传 递性) 。 4、等角定理:空间中如果两个角的两边 分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 问题 1:正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,判断直线 A1C1、B1C1、C1E、C1C 与直线 AB 的位置关系。

D1 A1 D A B E B11

C11

C

说明:从位置关系一看,同为异面直线,但它们的相对位置却是不同

内 容

的,说明仅用“异面”与考虑异面直线间的相对位置是不够的。 问题 2:用什么来刻画两条异面直线的相对位置呢? 提示:在平面几何中,用“距离”来刻画两平行直线间的相对位置, 用“角”来刻画两相交直线间的相对位置。 问题 3:一张纸中画有两条能相交的直线、 (但交点在纸外) ,现给你 一副三角板和量角器, 限定不许拼 接纸片,不许延长纸上的线段。问 如何量出、 所成角的大小?其理论 依据是什么? 学生动手操作。 问题 4:能否将上述结论推广到空间两直线? (二)新授课

a

b

教 学 环 节 及 主 要 内 容

1、异面直线所成角的定义 (学生类比问题 3 给出定义) : 已知异面直线 a、b,经过 空间中任一点 O 作直线 a'∥a、 b'∥b, 把 a'与 b'所成的锐角 (或 直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角) 。 范围: ? ? (0,

?
2

]。

思考: 两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点 O 位置的不同而 改变? 点 O 可任选,一般取特殊位置,如线段的中点或端点。 2、探究: (1)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么,另一条直线是 否也与这条直线垂直?即 a∥b,若 a⊥c,则 b⊥c? (成立,因为 b、c 所成的角与 a、c 所成的角相等,都是 90°。 )

(2) 垂直于同一条直线的两条直线 是否平行?(否,两条直线可能相交、 平行或异面。 ) 2、例、习题剖析: 例 1、 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 求: (1)A1B1 与 CC1 所成的角; (2)A1B 与 CC1 所成的角; (3)A1C1 与 BC 所成的角;

D1 A1

C1 B1

D

C B

A

教 学 环 节 及 主 要 内 容

(4)A1C1 与 D1C 所成的角; 分析: (1)∵A1B// CC1 ∴ ?A1 BB1 为 A1B 与 CC1 所成的角 在△A1BB1 中, ?A1 BB1 ? 45? ; ∴ A1B 与 CC1 所成的角为 45o --------找 --------证 --------算 --------答

(2)?A1 BB1 ? 45? ; (3)?A1C1 B1 ? 45? ; (4)?BA 1C1 ? 60? 。 这种求法就是利用平移将两条异面直线转化到同一个三角形中,通过 解三角形来求解。把这种方法叫做——平移法,其基本解题思路是“异面 化共面,认定再计算” ,简记为“找——证——算——答” 。 变式一: (07 福建卷)如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、 H 分别为 AA1、AB、BB1、BC1 的中点,则异面直 线 EF 与 GH 所成的角等于( (A)45° (B)60° ) ( C ) 90 °

(D)120° 解 : 连 接 ---------------------作 ∵ A1B// EF,BC1 // GH ∴ ∠A1B C1 为 EF1 与 GH 所成的角(或其补角) 在三角形 A1BC1 中,A1B = BC1 = A1C1 -----------证 A1B , BC1 , A1C1

∴ ∠A1B C1=60° ∴ 异面直线 EF 与 GH 所成的角等于 60° 小结:求异面直线所成的角一般要有四个步骤:

-----------算 ---------答

(1)作图:作出所求的角及题中涉及的有关图形等; (2)证明:证明所给图形是符合题设要求的; (3)计算:一般是利用解三角形计算得出结果。 (4)结论。 简记为“作(或找)——证——算——答” 。 例 2、长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AA1 = AB = 2,AD = 1,求异面直线 A1C1 与 BD1 所成角的余弦值。 解:设 A1C1 与 B1D1 交于 O,取 B1B 中点 E,连接 OE,

教 学 环 节 及

因为 OE//D1B,所以∠C1OE 或其补角,就是 异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角或其补角。 在△C1OE 中, OC1 ?

1 5 , A1C1 ? 2 2

OE ?

1 1 2 3 BD1 ? 2 ? 22 ? 1 ? , 2 2 2

C1 E ? B1C12 ? B1 E 2 ? 12 ? 12 ? 2
, 所 以

主 要 内 容

cos ?C1OE ?


OC ? OE ? C1 E ? 2OC1 ? OE
2 1 2 2

(

5 2 3 2 ) ? ( ) ? ( 2) 2 5 2 2 ? 5 5 3 2? ? 2 2

D1

C1 B1 G C

所以异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角的余弦

A1

5 值为 。 5
变式 2: (05 福建卷)如图,长方体 ABCD -A1B1C1D1 中,AA1= AB = 2,AD = 1,E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是__________。 A

E D
S

A

F

B
E C

F B

变式 3:在正四面体 S—ABC 中,SA⊥BC,E、F 分别为 SC、AB 的中点,那

教 学 环 节 及 主 要 内 容

么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于(



(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

(三)课堂小结 1、异面直线所成角的定义、范围及其求解。 2、求角的大小,常用“平移法” : “作(或找)——证——算——答” 。 3、数学思想——化异面为共面,化空间为平面。这是我们学习空间 几何最常用到的数学思想——转化化归思想。 D (四)课后作业: 1、空间四边形 ABCD 中,P、R 分别是 AB、 CD 的中点,且 PR = 3 ,AC = BD = 2,求 AC 与 A BD 所成的角。 2、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AB 的中点,N 为 BB1 的中点,求 A1M 与 C1N 所 A 1 成角的余弦值。 3、课本 P48 第 2 题。 P B R C

D

1

C1 B1 N D C M B

A

教学反思


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