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高二12月份月考题


高二年级重点理科上学期模块考试

2013-12-4

数 学 试 题
注意事项: 1. 本试题共分三大题,全卷共 150 分。考试时间为 120 分钟。 2.第 I 卷必须使用 2B 铅笔填涂答题纸相应题目的答案标号,修改时,要用橡皮擦干净。 3. 第 II 卷必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置, 在草

稿纸和本卷 上答题无效。作图时,可用 2B 铅笔,要求字体工整、笔迹清晰。

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:(本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 4 个选项中, 只有一项符合题目要求.) 1.若 a ? b ? 0 ,则下面不等式中成立的是

a?b ? ab 2 a?b ? b ? ab (C) a ? 2
(A) a ? b ?

a?b ? ab ? b 2 a?b ?b (D) a ? ab ? 2
(B) a ? ( )

? x ? R,使 tan x ? 1,其中正确的是 2.已知命题 p: ? x ? R,使 tan x ? 1 (A) ?p: ? x ? R,使 tan x ? 1 (C) ?p:
3.设 x ? 1 ,则函数 y ? x ? (A) 8

? x ? R,使 tan x ? 1 (B) ?p: ? x ? R,使 tan x ? 1 (D) ?p:

1 ? 5 的最小值为 x ?1 (B) 7 (C) 6

(D) 5

4.设等比数列 ?an ? 的公比为 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则

S4 等于 a2
(D)

(A)2

(B)4

(C)

15 2

17 2

5.在△ABC 中, AB ? 3 , AC ? 1, B=30 ,则△ABC 的面积等于( )

(A)

3 2
3 或 3 2

(B)

3 4
3 3 或 2 4

(C)

(D)

1

6.数列{an}的通项公式是 a n = (A)12
2

10 1 (n∈N*),若前 n 项的和为 ,则项数为 11 n(n ? 1)
(C)10 (D)9

(B)11
2

7.若关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 1 ? 0 有一个正根和一个负根,则实数 a 的取值范围为

2 3 2 3 ≤a≤ 3 3 (C) ?1 ≤ a ≤ 1
(A) ? 8. 设 a ? R ,则 a ? 1 是 (A)充分但不必要条件 (C)充要条件

2 3 2 3 <a< 3 3 (D) ?1 < a < 1
(B) ?

1 ?1 的 a
(B)必要但不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (





9. 已知△ABC 的周长为 20, 且顶点 B (0, -4), C(0, 4), 则顶点 A 的轨迹方程是 2 2 y x x2 y2 ? ? 1 (x≠0) ? ? 1 (x≠0) (A) (B) 36 20 20 36 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) ? ? 1 (x≠0) (C) (D) 6 20 20 6 10.锐角 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 C ? 2 A ,则 范围是( )



c 的取值 a

(A)( 2, 3) (B) (C) (D) (1, 2) ( 1, 3) ( 2, 2) 11. 某 产 品 的 总 成 本 y( 万 元 ) 与 产 量 x( 台 ) 之 间 的 函 数 关 系 是 y = 3000 + 20x - 0.1x2 (0<x<240),若每台产品的售价为 25 万元, 则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的 最低产量是( (A)180 台 ) (B)150 台 (C)120 台 (D)100 台

x2 y2 12.已知点 F1、F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆 a b 交 于 A 、 B 两 点 , 若 △ ABF2 为 正 三 角 形 , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 e 为 ( ) 2 3 1 1 (A) (B) (C) (D) 2 3 2 3

2

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案填在答题纸上) 13.在 ?ABC 中, A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,已知 a ? b ? c ? 则角 C ? .
2 2 2

2ab ,
. .

14.不等式 ax ? ax ? 1 ? 0 对于任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是
2

15.经过两点 P(?2 3,1) 与 Q( 3, ? 2) 的椭圆的标准方程为 16.①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;

②在 ?ABC 中,“ ?B ? 60? ”是“ ?A, ?B, ?C 三个角成等差数列”的充要条件.

?x ? 1 ?x ? y ? 3 ? ? y ? 2 是 ? xy ? 2 的充要条件; ③?
④“am2<bm2 ”是“a<b”的充分必要条件. 以上说法中,判断错误的有___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分) 设

p :方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根, q :方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,

若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2, a5 ? 128 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 通项公式 a n ; (Ⅱ)若 bn ? log 2 an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 360 ,求 n 的值. 19.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, B ? 45?, AC ? 10 , cosC ? (Ⅰ)求 sin A 的值和边 AB 的长; (Ⅱ)设 AB 的中点为 D ,求中线 CD 的长. 20.(本小题满分 12 分) 某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成。已知 木工做一张甲、乙型桌子分别需要 1 小时和 2 小时, 漆工油漆一张甲、乙型桌子分别需要 3 小时和 1 小时, 又木工、 漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时, 而家具厂制造一张甲、 乙型桌子分别获利润 2 元和 3 元.试问家具厂每天生产甲、乙型桌子各多少张,才能获得最 大利润?

2 5 . 5

3

21.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C 的两焦点分别为 F1 -2 2 , 0 、F2 2 2, 0 ,长轴长为 6, ⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵已知过点(0,2)且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、B 两点,求线段 AB 的长度。 22. (本题满分 12 分) 如图所示,F1、F2 分别为椭圆 C:

?

?

?

?

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右两个焦点,A、B 为两个顶点, a2 b2

已知椭圆 C 上的点 (1, 3 ) 到 F1、F2 两点的距离之和为 4. 2 (1)求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P、Q 两点,求△F1PQ 的面积.

4

高二年级上学期重点理科试题答案 2013-12-4

数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:BCACD CDABA BD 二、填空题:(13) 45 ;(14)-4<a≤0;(15) 三、解答题: 17.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1. 15 5

(16) ③④

? ? ? m2 ? 4 ? 0 2 x ? mx ? 1 ? 0 解:若方程 有两个不等的负根,则 ? ,????2 分 ? x1 ? x2 ? ? m ? 0
所以 m ? 2 ,即 p : m ? 2 .
2

????????????????????3 分
2

若方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,则 ? ? 16(m ? 2) ?16 ? 0 , ????5 分 即1 ? m ? 3 , 所以 p :1 ? m ? 3 ??????????????????6 分

因为 p ? q 为真,则 p, q 至少一个为真,又 p ? q 为假,则 p, q 至少一个为假. 所以 p, q 一真一假,即“ p 真 q 假”或“ p 假 q 真” ???????????8 分 所以 ?

?m ? 2 ? m?2 或? ???????????????????10 分 ? m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3

所以 m ? 3 或 1 ? m ? 2 . 故实数 m 的取值范围为 (1, 2] [3, ??) . ????????????????12 分 18.(本小题满分 12 分)
? ?a2 ? a1q ? 2, 解:(1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,则 ? 4 ? ?a5 ? a1q ? 128.

?????2 分

1 ? ?a ? , 解之,得 ? 1 2 . ? ?q ? 4.

??????????????????????4 分

1 ∴ an ? a1qn?1 ? ? 4n?1 ? 22n?3 . ?????????????????????6 分 2

5

(2 ) bn ? log2 an ? log2 22n?3 ? 2n ? 3 .???????????????????8 分 ∵ bn?1 ? bn ? [2(n ? 1) ? 3] ? (2n ? 3) ? 2 , ∴ ?bn ? 是首项为 ?1 ,公差为 2 的等差数列.∴ Sn ?

n(?1 ? 2n ? 3) ? 360 . 2

?? 10 分

∴ n2 ? 2n ? 360 ? 0 ,∴ n ? 20 或 n ? ?18 (舍去). 因此,所求 n ? 20 . 19.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) 因为 cosC ? ?????????????????????12 分

2 5 , 所以 C 为锐角, 5

所以 sin C ? 1 ? cos C ?
2

5 , 5

????2 分



A ? B ? C ? 180? ,

所以 sin

A ? sin(135? ? C ) ? sin135? cos C ? cos135? sin C ?
AB AC ? , sin C sin B

3 10 10

, ??????4 分

在△ABC 中,由正弦定理,得

所以 AB ?

AC ? sin C ? sin B

10 ? 2 2

5 5 ? 2 ,???6 分
BC AC ? , sin A sin B

(Ⅱ)在△ABC 中,由正弦定理,得

所以 BC ?

AC ? sin A ? sin B

10 ?

3 10 10 ? 3 2. ??????????9 分 2 2

在△BCD 中,由余弦定理,得

CD 2 ? BD 2 ? BC 2 ? 2BD ? BC cos B ? 12 ? (3 2)2 ? 2 ?1? 3 2 ?
所以 CD ? 13. ????12 分

2 ? 13, 2

6

20.(本小题满分 12 分) 解:设家具厂每天生产甲型桌子 x 张,乙型桌子 y 张, 获得的利润为 z 元, 由题意,得 z ? 2 x ? 3 y ,
?x ? 2y ? 8 ? 其中 x , y 满足约束条件 ? 3 x ? y ? 9 且 x、y ? N ? ,?4 分 ? x ? 0, y ? 0 ? 画出可行域,如图所示, 2 作直线 l0 : 2 x ? 3 y ? 0 ,即 l0 : y ? ? x , 3 将直线 l0 向右上方平移,当平移至直线 x ? 2 y ? 8 与

直线 3 x ? y ? 9 的交点 M 时,目标函数 z ? 2 x ? 3 y 取得最大值,
? x ? 2 y ? 8, 解方程组 ? ?3 x ? y ? 9,

????7 分 ?????9 分

得 M 点的坐标为 M (2, 3) ,

所以,当 x ? 2, y ? 3 时, Z最大 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 13 .

??????????11 分

答:家具厂每天生产甲型桌子 2 张,乙型桌子 3 张,才能获得最大利润. ????12 分 21、解:⑴由 F1 -2 2 , 0 、F2 2 2, 0 ,长轴长为 6 得: c ? 2

?

?

?

?

2, a ? 3 所以 b ? 1
??????????????5 分

2 2 ∴椭圆方程为 x ? y ? 1 9 1

⑵设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由⑴可知椭圆方程为 ∵直线 AB 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ①, 9 1
?????????7 分

y ? x?2②

把②代入①得化简并整理得 10 x 2 ? 36 x ? 27 ? 0 ∴ x1 ? x2 ? ? 18 , x1 x2 ? 27
5 10
2 又 AB ? (1 ? 12 )(18 ? 4 ? 27 ) ? 6 3 52 10 5

?????????10 分 ?????????12 分

7

22、解:(1)由题设知:2a = 4,即 a = 2, 将点 (1, ) 代入椭圆方程得 解得 b2 = 3
2 2 ∴c2 = a2-b2 = 4-3 = 1 ,故椭圆方程为 x ? y ? 1 , 4 3

3 2

2 1 (3 2) ? ? 1, 22 b2

????5 分 ????6 分

焦点 F1、F2 的坐标分别为(-1,0)和(1,0) (2)由(Ⅰ)知 A(?2,0), B(0, 3) ,? k PQ ? k AB ? ∴PQ 所在直线方程为 y ? 3 ( x ? 1) , 2
? 3 y? ( x ? 1) ? 2 由? 得 8y 2 ? 4 3y ? 9 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ?1 ? 3 ?4

3 , 2

设 P (x1,y1),Q (x2,y2),则 y1 ? y 2 ? ?
? y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

3 9 , y1 ? y 2 ? ? , ????9 分 2 8

3 9 21 ? 4? ? 4 8 2

? S ?F1PQ ?

1 1 21 21 F1 F2 ? y1 ? y 2 ? ? 2 ? ? . 2 2 2 2

???12 分

8


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