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【步步高】高考数学一轮复习


§2.7
考试如何考

函数的图象

1.考查基本初等函数的图象;2.考查图象的性质及变换;3.考查图象的应用. 1.会画一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的图象; 2.掌握常

复习备考要这样做

见的平移、伸缩、对称三种图象变换;3.利用图象解决一些方程解的个数,不等式解

集等问题,巩固数形 结合思想.

1. 描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、 单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象. 2. 图象变换 (1)平移变换

(2)对称变换 关于x轴对称 ①y=f(x) ― ― → y=-f(x); 关于y轴对称 ②y=f(x) ― ― → y=f(-x); 关于原点对称 ③y=f(x) ― ― → y=-f(-x); 关于y=x对称 x ④y=a (a>0 且 a≠1) ― ― → y=logax(a>0 且 a≠1). (3)翻折变换 保留x轴上方图象 保留y轴右边图象,并作其 ①y=f(x)将x轴下方图象翻折上去 ― ― → y=|f(x)|. ②y=f(x) 关于y轴对称的图象 ― ― → y=f(|x|). (4)伸缩变换

①y=f(x)

y=f(ax).

a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变 ②y=f(x)0<a<1,纵坐标缩短为原来的 ― ― → a倍,横坐标不变y=af(x).
1

[重难点] 1. 数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,也是高考考查的热点.作函数图象首先要明确函数 图象的形状和位置. 1 2. 图象的每次变换都针对自变量而言, 如从 f(-2x)的图象到 f(-2x+1)的图象是向右平移 个单位. 其 2 1 中的 x 变成 x- . 2 3. 要理解一个函数和图象自身的对称性和两个不同函数图象对称关系的不同.

1. 函数 y=1-

1 的图象是 x-1

(

)

1 答案 B 解析 将 y=- 的图象向右平移 1 个单位,再向上平移一个单位,即可得到函数 y=1

x



1

x-1

的图象. ( )

2. 已知图①中的图象对应的函数为 y=f(x),则图②的图象对应的函数为

A.y=f(|x|)

B.y=|f(x)|

C.y=f(-|x|) .

D.y=-f(|x|)

答案 C 解析 y=f(-|x|)=? 3. 函数 y=2 -x 的图象大致是
x
2

?f?-x?,x≥0 ? ? ?f?x?,x<0

(

)

答案 A 解析 由于 2 -x =0 在 x<0 时有一解;在 x>0 时有两解,分别为 x=2 和 x=4.因此函数 y =2 -x 有三个零点,故应排除 B、C.又当 x→-∞时,2 →0,而 x →+∞,故 y=2 -x →-∞,因此排
2
x
2

x

2

x

2

x

2

除 D.故选 A. 4 . 已 知 定 义 在 区 间 [0,2] 上 的 函 数 y = f(x) 的 图 象 如 图 所 示 , 则 y = - f(2 - x) 的 图 象 为 ( )

答案 B 解析 当 x=1 时,y=-f(1)=-1,排除 A、C. 当 x=2 时,y=-f(0)=0,故选 B. 5. 若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x 有公共点,则 b 的取值范围是 A.[-1,1+2 2] B.[1-2 2,1+2 2]
2 2 2

(

)

C.[1-2 2,3]
2

D.[1- 2,3]
2

答案 C 解析 由 y=3- 4x-x , 得(x-2) +(y-3) =4(1≤y≤3). ∴曲线 y=3- 4x-x 是 |2-3+b| 半圆,如图中实线所示.当直线 y=x+b 与圆相切时, =2.∴b=1±2 2. 2 由图可知 b=1-2 2.∴b 的取值范围是[1-2 2,3].

题型一 例1

作函数图象 分别画出下列函数的图象:

(1)y=|lg x|;

(2)y=2

x+2

; (3)y=x -2|x|-1; (4)y=

2

x+2 . x-1

思维启迪:根据一些常见函数的图象,通过平移、对称等变换可以作出函数图象. 解
? ?x≥1?, ?lg x (1)y=? ?-lg x ?0<x<1? ?
x

图象如图①.

(2)将 y=2 的图象向左平移 2 个单位.图象如图②.

(3)y=?

?x -2x-1 ? ? ?x +2x-1
2

2

?x≥0? ?x<0?

.图象如图③.

3

(4)因 y=1+ =

3 3 ,先作出 y= 的图象,将其图象向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,即得 y x-1 x

x+2 的图象,如图④. x-1

探究提高

(1)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂

1 函数、形如 y=x+ 的函数;(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用

x

的方法技巧,来帮助我们简化作图过程.

作出下列函数的图象: (1)y=|x-2|(x+1);(2)y=10 解
|lg x|

.

? 1?2 9 2 (1)当 x≥2,即 x-2≥0 时,y=(x-2)(x+1)=x -x-2=?x- ? - ; ? 2? 4

? 1?2 9 2 当 x<2,即 x-2<0 时,y=-(x-2)(x+1)=-x +x+2=-?x- ? + . ? 2? 4 ?x-1? -9,x≥2, ? ? ?? ? 2? 4 ∴y=? ? 1? 9 -?x- ? + ,x<2. ? ? ? 2? 4
2 2

这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图). (2)当 x≥1 时,lg x≥0,y=10
|lg x|

=10

lg x

=x;当 0<x<1 时,lg x<0,y=10

|lg x|

=10

-lg x

x,x≥1, ? ? 1 1 =10lg = .∴y=?1 x x ? ,0<x<1.

?x

这是分段函数,每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图). 题型二 例2 识图、辨图 函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2
1-x

在同一直角坐标系下的图象大致是

(

)

思维启迪:在同一坐标系中判断两个函数的图象,可利用两个函数的单调性、对称性或 特征点来判断.
4

答案 C 解析 f(x)=1+log2x 的图象由函数 f(x)=log2x 的图象向上平移一个单位而得到,所以函数图象经 过(1,1)点,且为单调增函数,显然,A 项中单调递增的函数经过点(1,0),而不是(1,1),故不满足; 函数 g(x)=2
1-x

?1?x =2×? ? ,其图象经过(0,2)点,且为单调减函数,B 项中单调递减的函 ?2?

数与 y 轴的交点坐标为(0,1),故不满足;D 项中两个函数都是单调递增的,故也不满足.综 上所述,排除 A,B,D.故选 C.

探究提高 函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复; (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.

(1)函数 y=x+cos x 的大致图象是

(

)

(2)

定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与 f(x)的单调性不同的 是 A.y=x +1 答案 (1)B (2)C 解析 (1)∵y′=1-sin x≥0,∴函数 y=x+cos x 为增函数,排除 C. π π 又当 x=0 时,y=1,排除 A,当 x= 时,y= ,排除 D.∴选 B. 2 2 (2)f(x)在(-2,0)上为减函数,可逐个验证. 题型三 例3 函数图象的应用 已知函数 f(x)=|x -4x+3|.
5
2 2

( B.y=|x|+1
?2x+1,x≥0 ? C.y=? 3 ?x +1,x<0 ?

)
x

?e ,x≥0 ? D.y=? -x ?e ,x<0 ?

(1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}. 思维启迪:利用函数的图象可直观得到函数的单调性,方程解的问题可转化为函数图象交点的问题. 解
? ??x-2? -1, x∈?-∞,1]∪[3,+∞? f(x)=? 2 ?-?x-2? +1, x∈?1,3? ?
2

作出函数图象如图. (1)函数的增区间为[1,2],[3,+∞);函数的减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)在同一坐标系中作出 y=f(x)和 y=m 的图象,使两函数图象有四个不同的交点(如图). 由图知 0<m<1,∴M={m|0<m<1}.

探究提高

(1)利用图象,可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质.

(2)利用函数图象可以解决一些形如 f(x)=g(x)的方程解的个数问题.

(1)已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f(x)=x ,那么函数 y=f(x)的图象与 函数 y=|lg x|的图象的交点共有 A.10 个 B.9 个
2

2

( C.8 个 D.1 个

)

(2)直线 y=1 与曲线 y=x -|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围是________. 5 答案 (1)A (2)1<a< 4 解析 (1)观察图象可知,共有 10 个交点.

(2)y=?

?x -x+a,x≥0, ? ? ?x +x+a,x<0,
2

2

作出图象,如图所示.

1 1 5 此曲线与 y 轴交于(0,a)点,最小值为 a- ,要使 y=1 与其有四个交点,只需 a- <1<a,∴1<a< . 4 4 4 1.高考中的函数图象及应用问题 高考中和函数图象有关的题目主要有三种形式: 一、已知函数解析式确定函数图象 1 典例:已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的图象大致为 ln?x+1?-x ( )

6

考点分析 本题考查识图能力,考查对函数性质的灵活应用. 求解策略 策略一 (函数性质法)

函数 f(x)满足 x+1>0, ln(x+1)-x≠0, 即 x>-1 且 ln(x+1)-x≠0, 设 g(x)=ln(x+1)-x, 则 g′(x) = 1 -x -1= .由于 x+1>0,显然当-1<x<0 时,g′(x)>0,当 x>0 时,g′(x)<0,故函数 g(x)在 x= x+1 x+1

0 处取得极大值, 也是最大值, 故 g(x)≤g(0)=0, 当且仅当 x=0 时, g(x)=0, 故函数 f(x)的定义域是(- 1,0)∪(0,+∞),且函数 g(x)在(-1,0)∪(0,+∞)上的值域为(-∞,0),故函数 f(x)的值域也是(- ∞,0),且在 x=0 附近函数值无限小,观察各个选项中的函数图象,只有选项 B 中的图象符合要求. 策略二 (特殊值检验法) 当 x=0 时,函数无意义,排除选项 D 中的图象, 1 1 ?1 ? 当 x= -1 时,f? -1?= =-e<0,排除选项 A、C 中的图象,故只能是选项 B 中的 e 1 ?e ? ? ? ?1 ? ln? -1+1?-? -1? ?e ? ?e ? 图象.

?1 ? (注:这里选取特殊值 x=? -1?∈(-1,0),这个值可以直接排除选项 A、C,这种取特值的技巧在解题中 ?e ?
很有用处) 解后反思 (1)确定函数的图象,要从函数的性质出发,利用数形结合的思想. (2)对于给出图象的选择题,可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除. 二、函数图象的变换问题 典例:若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=-f(x+1)的图象大致为 ( )

考点分析 本题考查图象的变换问题,函数图象的变换有平移变换、伸缩变换、对称变换,要理解函数图 象变换的实质,每一次变换都针对自变量“x”而言. 求解策略 要想由 y=f(x)的图象得到 y=-f(x+1)的图象,需要先将 y=f(x)的图象关于 x 轴对称得到

y=-f(x)的图象,然后再向左平移一个单位得到 y=-f(x+1)的图象,根据上述步骤可知 C 正确.
解后反思 对图象的变换问题,从 f(x)到 f(ax+b),可以先进行平移变换,也可以先进行伸缩变换,要 注意变换过程中两者的区别.
7

三、图象应用 典例:讨论方程|1-x|=kx 的实数根的个数. 考点分析 本题考查绝对值的意义,考查分类讨论思想和数形结合思想. 求解策略 可以利用函数图象确定方程实数根的个数.

设 y=|1-x|, y=kx, 则方程的实根的个数就是函数 y=|1-x|的图象与 y=kx 的图象交点的个数. 由 右边图象可知: 当-1≤k<0 时, 方程没有实数根; 当 k=0 或 k<-1 或 k≥1 时, 方程只有一个实数根; 当 0<k<1 时,方程有两个不相等的实数根. 解后反思 利用函数图象确定方程或不等式的解,形象直观,体现了数形结合思想;解 题中要注意对方程适当变形,选择适当的函数作图.

(时间:60 分钟) A组 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 把函数 y=(x-2) +2 的图象向左平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象对应的函数的解析 式是 A.y=(x-3) +3
2 2

专项基础训练

( B.y=(x-3) +1
2 2

)
2

C.y=(x-1) +3

D.y=(x-1) +1

2

答案 C 解析 函数 y=(x-2) +2 的图象向左平移 1 个单位,将其中的 x 换为 x+1,得到函数 y= (x-1) +2 的图象;再向上平移 1 个单位,变成 y=(x-1) +3 的图象. 2. 若函数 f(x)=loga(x+b)的大致图象如图,其中 a,b (a>0 且 a≠1)为常数,则函数 g(x)=a +b 的 大致图象是 ( )
x
2 2

答案 B
x

解析 由 f(x)=loga(x+b)的图象知 0<a<1,0<b<1,则 g(x)=a +b 为减函数且 g(x)的图

x

象是在 y=a 图象的基础上上移 b 个单位,只有 B 适合.
8

3. 设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则 y=f(x)的图象可能是(

)

答案 B 解析 由于 f(-x)=f(x),所以函数 y=f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称,所以 A、C 错 误;由于 f(x+2)=f(x),所以 T=2 是函数 y=f(x)的一个周期,D 错误.所以选 B. 1 ?1?x 4.函数 f(x)=x -? ? 的零点的个数为 2 ?2? A.0 B.1 C.2 ( ) D.3

答案 B 解析 将函数零点转化为函数图象的交点问题来求解.在同一平 1 ?1?x 面直角坐标系内作出 y1=x 与 y2=? ? 的图象如图所示, 易知, 两函数图象只有 2 ?2? 1 ?1?x 一个交点.因此函数 f(x)=x -? ? 只有 1 个零点. 2 ?2? 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 已知下列曲线:

以及编号为①②③④的四个方程: ① x- y=0;②|x|-|y|=0;③x-|y|=0;④|x|-y=0. 请按曲线 A、B、C、D 的顺序,依次写出与之对应的方程的编号________. 答案 ④②①③ 解析 按图象逐个分析,注意 x、y 的取值范围. 6. 如图所示,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1,M,N 分 别在 AD1,BC 上移动,始终保持 MN∥平面 DCC1D1,设 BN=x,MN =y,则函数 y=f(x)的图象大致是________.

答案 ③ 解析 过 M 作 ME⊥AD 于 E,连接 EN. 则 BN=AE=x,ME=2x,MN =ME +EN , 即 y =4x +1,y -4x =1 (0≤x≤1,y≥1),图象应是焦点在 y 轴上的双曲线的一部分. 2 ? ? , x≥2, 7.已知函数 f(x)=?x ? ??x-1?3, x<2.
2 2 2 2

2

2

2

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取

9

值范围是________. 答案 (0,1) 解析 画出分段函数 f(x)的图象如图所示,结合图象可以看出,若 f(x)=k 有两 个不同的实根,也即函数 y=f(x)的图象与 y=k 有两个不同的交点,k 的取值范 围为(0,1). 三、解答题(共 25 分) 8. (12 分)已知函数 f(x)= . 1+x (1)画出 f(x)的草图;(2)指出 f(x)的单调区间. 解

x

x 1 1 (1)f(x)= =1- ,函数 f(x)的图象是由反比例函数 y=- 的图象向左平移 1 个单位后,再 1+x x+1 x
向上平移 1 个单位得到,图象如图所示. (2)由图象可以看出,函数 f(x)有两个单调递增区间:(-∞,-1),(-1,+∞). 1 9. (13 分)已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 的图象关于点 A(0,1)对称.

x

(1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=f(x)+ ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. 解 (1)设 f(x)图象上任一点 P(x,y),则点 P 关于(0,1)点的对称点 P′(-x,2-y)在 h(x)

a x

1 1 的图象上,即 2-y=-x- +2,∴y=f(x)=x+ (x≠0).

x

x

(2)g(x)=f(x)+ =x+ ∴1-

a x

a+1 a+1 ,g′(x)=1- 2 .∵g(x)在(0,2]上为减函数, x x

a+1 2 ≤0 在(0,2]上恒成立,即 a+1≥x 在(0,2]上恒成立,∴a+1≥4,即 a≥3,故 x2

a 的取值范围是[3,+∞).
B组 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 3 ,x≤1, ? ? 1.函数 f(x)=? 1 log x,x>1, ? ? 3
x

专项能力提升

则 y=f(x+1)的图象大致是

(

)

10

答案 B 解析 将 f(x)的图象向左平移一个单位即得到 y=f(x+1)的图象. 2. 函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象如图

则函数 y=f(x)·g(x)的图象可能是

(

)

答案 A 解析 从 f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数,故 f(x)·g(x)是奇函数,排除 B 项.又 g(x)在 x=0 处无意义,故 f(x)·g(x)在 x=0 处无意义,排除 C、D 两项. 1 3.函数 y= 的图象与函数 y=2sin π x (-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 ( 1-x A.2 B.4 C.6 D.8 )

答案 D 解析 令 1-x=t,则 x=1-t. 由-2≤x≤4,知-2≤1-t≤4,所以-3≤t≤3. 1 又 y=2sin π x=2sin π (1-t)=2sin π t. 在同一坐标系下作出 y= 和 y=2sin π t 的图象.

t

由图可知两函数图象在[-3,3]上共有 8 个交点,且这 8 个交点两两关于原点对称. 因此这 8 个交点的横坐标的和为 0,即 t1+t2+?+t8=0. 也就是 1-x1+1-x2+?+1-x8=0,因此 x1+x2+?+x8=8. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 1 x 4.当 0<x≤ 时,4 <logax,则 a 的取值范围是________. 2 答案 ? 解得 a> 1 ? 2 ? x ,1? 解析 易知 0<a<1,则由函数 y=4 与 y=logax 的大致图象知,只需满足 loga >2, 2 ?2 ?

2 2 ,∴ <a<1. 2 2
11

5. 用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2 ,x+2,10-x}(x≥0), 则 f(x)的最大值为________. 答案 6

x

解析 f(x)=min{2 ,x+2,10-x}(x≥0)的图象如图.令 x+2=10-x,得 x=4.当 x=4 时,f(x) 取最大值,f(4)=6. 6. 设 b>0,二次函数 y=ax +bx+a -1 的图象为下列之一,则 a 的值为________.
2 2

x

答案 -1 解析 本题考查二次函数的图象与性质,先根据条件对图象进行判断是解题的关键.因为 b>0, 所以对称轴不与 y 轴重合,排除图象①②;对第三个图象,开口向下,则 a<0,对称轴 x=- >0,符合 2a 条件,图象④显然不符合.根据图象可知,函数过原点,故 f(0)=0,即 a -1=0,又 a<0,故 a=-1. 三、解答题(13 分) 7. 已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都满足 f(2+x)=f(2-x). (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称; (2)若 f(x)是偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式. (1)证明 设 P(x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点,则 y0=f(x0),点 P 关于直线 x=2 的对称点为 P′(4 -x0,y0).因为 f(4-x0)=f[2+(2-x0)]=f[2-(2-x0)]=f(x0)=y0,所以 P′也在 y=f(x)的图象上, 所以函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称. (2)解 当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],所以 f(-x)=-2x-1.又因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(-
2

b

x)=-2x-1,x∈[-2,0].当 x∈[-4,-2]时,4+x∈[0,2],所以 f(4+x)=2(4+x)-1=2x+7,
?2x+7,x∈[-4,-2], ? 而 f(4+x)=f(-x)=f(x), 所以 f(x)=2x+7, x∈[-4, -2]. 所以 f(x)=? ? ?-2x-1,x∈[-2,0].

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