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安徽师大附中、安庆一中2013届高三上学期元月联考数学理试题


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安徽师大附中、安庆一中 2013 届高三联考 数 学 试 题(理工类)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 1.复数 A. 0 2. ( A. 若 双 曲 线 )
2 5 5

2 ? ai 1? i

( a ? R

) 是纯虚数,则 a ?

( C. 2 D. 3

)

B. 1
x a
2 2

? y

2

? 1

的 一 个 焦 点 为 (2,0), 则 它 的 离 心 率 为

B.

2 3

3

C.

3 2

D. 2 ( B. ? x ? R , 2 ? x
x 2

3. 下列命题中,是真命题的是 A. ? x 0 ? R , e
x0

)

? 0

C. a ? b ? 0 的充要条件是 4. 已知△ ABC 中, a ? A. 135 或 45
0 0

a b

? ?1
3 , B ? 60
0
0

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件 ,则角 A 等于 C. 90
0

2,b ?
0

( D. 45
?
4
0

)

B. 150 或 30

5. 若 f ( x ) ? 2 cos( ? x ? ? ) ? m ,对任意实数 t 都有 f ( t ?

) ? f ( ? t ), f (

?
8

) ? ? 1 ,则实

m 数 的 值 为 ( ) A. ? 1 B. ? 3 C. ? 3 或 1 D. ? 1 或 3 6. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则该 几何体的外接球的表面积是 ( )

A. 12

3?

B. 12 ?

C. 4 3 ?

D. 3?

(第 6 题图) (第题 7 图)

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7. 如图,函数 y ? f ( x ) 的图像是中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的两段弧,则不等式
f ( x ) ? f ( ? x ) ? x 的解集为

( B. [ ? 2 , ? 2 ) ? ( 2 , 2 ]

)

A. ( ? 2 , 0 ) ? ( 2 , 2 ]
2 2 2 2

C. [ ? 2 , ?

)? (

,2 ]

D. ( ? 2 , 0 ) ? ( 0 , 2 )

8.

已 知 集 合 M ? ?1 , 2 , 3 ?, N ? ?1 , 2 , 3 , 4 ? . 定 义 函 数

f : M ? N

, 若 点

A (1 , f (1 )), B ( 2 , f ( 2 )) , C ( 3 , f ( 3 )) ,△ ABC 的外接圆圆心为 D ,且 DA ? DC ? ? DB ( ? ? R ) ,则满足条件的函数 f ( x ) 的个数有

( B. 10 个 C. 12 个 D.16 个

)

A. 6 个

9. 设 两 圆 C 1 , C 2 都 和 两 坐 标 轴 相 切 , 且 都 过 点 (4,1), 则 两 圆 心 的 距 离 C 1 C 2 ? ( A. ) 4 B. 4 2 C. 8 D. 8 2

10. 设 函 数 y ? f ( x ) 在 R 上 有 定 义 . 对 于 给 定 的 正 数 K , 定 义 函 数
? f ( x ), f ( x ) ? K 2 , 取 函 数 f (x) ? 2 ? x ? x . 若 对 于 任 意 的 x ? R 恒 有 fK (x) ? ? ? K , f (x) ? K
f K ( x ) ? f ( x ) ,则

(
9 4

)
9 4

A. K 的最小值为

B. K 的最大值为

C. K 的最小值为 2

D. K 的最大值为 2

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 设函数 f ( x ) ? ax
2

? 1 ,若 ? f ( x ) dx ? 2 ,
0

1

则a ? . 12. 如图所示的程序框图,输出 b 的结果是

.
(第 12 题图)

13.设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a 4 ? 8 , a 5 ? 10 , 则 S 6 的最小值为 .

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14.如图,半径为 1 的⊙ O 上有一定点 P 和两个动点 A , B ,且 AB ? 1 ,则 PA ? PB 的最大值 是 .
(第 14 题图)

15.设 M ( x 1 , y 1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) 为不同的两点,直线 l : ax ? by ? c ? 0 , ? ? 以下命题中正确的序号为 . ①不论 ? 为何值,点 N 都不在直线 l 上; ②若 ? ? 1 ,则过 M , N 的直线与直线 l 平行;

ax 1 ? by 1 ? c
2

ax 2 ? by

? c

,

③若 ? ? ? 1 ,则直线 l 经过 MN 的中点; ④若 ? ? 1 ,则点 M 、 N 在直线 l 的同侧且直线 l 与线段 MN 相交; ⑤若 ? ? ? 1 ,则点 M 、 N 在直线 l 的异侧且直线 l 与线段 MN 的延长线相交. 三、解答题(共 75 分) 16.(12 分) 若函数 f ( x ) ? sin
2

ax ? sin ax cos ax ( a ? 0 ) 的图像与直线 y ? m ( m 为实常数)

相切,并且从左到右切点的横坐标依次成公差为 (Ⅰ)求函数 y ? f ( x ) 的解析式;

?
2

的等差数列.

(Ⅱ)若点 A ( x 0 , y 0 ) 是 y ? f ( x ) 的图像的对称中心,且 x 0 ? [ 0 ,

?
2

] ,求点 A 的坐标.

17. (12 分)某地发生特大地震和海啸,使当地的自来水受到了污染,某部门对水质检测后, 决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为 m 的药剂后, 经过 x 天该药剂在水
?x ? 2 ?4 ? 中释放的浓度 y (毫克/升) 满足 y ? mf ? x ? ,其中 f ? x ? ? ? ? 6 ?x ? 2 ?

?0

? x ? 4?

,当药剂在

?x

? 4?

水中释放的浓度不低于 4 (毫克/升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于 4 (毫克/升) 且不高于 10(毫克/升)时称为最佳净化. (Ⅰ)如果投放的药剂质量为 m ? 4 ,试问自来水达到有效净化一共可持续几天? (Ⅱ)如果投放的药剂质量为 m ,为了使在 7 天之内(从投放药剂算起包括 7 天)的自来 水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量 m 的值. 18. (12 分)如图,已知多面体 ABCDEF 中, AB ⊥平面 ACDF , DE ⊥平面 ACDF ,
3 .

△ ACD 是正三角形,且 AD ? DE ? 2 , AB ? AF ? 1 , DF ? (Ⅰ)求证: DF ? 平面 CDE ; (Ⅱ)求多面体 ABCDEF 的体积.

(第 18 题图)

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19. (12)已知函数 f ( x ) ? ln( e ? a )( a 为常数, e ? 2 . 71828 ? ? ? )是 R 上的奇函数.
x

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)讨论关于 x 的方程
ln x f (x) ? x
2

? 2 ex ? m 的根的个.

20.(13 分) 点 A , B , C , D 在抛物线 x ? 4 y 上, A , D 关于抛物线对称轴对称.过点 D 到
2

AB , AC 距离分别为 d 1 , d 2 ,且 d 1 ? d 2 ?

2 AD .

(Ⅰ)试判断△ ABC 的形状(锐角三角形,直角三角形,钝角三角形),并说明理由; (Ⅱ)若△ ABC 的面积为 240,求点 A 的坐标和 BC 的方程.

21. (14 分)对于数列 { x n } ,如果存在一个正整数 m ,使得对任意的 n ( n ? N )都有
x n ? m ? x n 成立,那么就把这样一类数列 { x n } 称作周期为 m 的周期数列, m 的最小值称作数

?

列 { x n } 的最小正周期,以下简称周期.例如当 x n ? 2 时 { x n } 是周期为 1 的周期数列,当
y n ? sin(

?
2

n ) 时 { y n } 是周期为 4 的周期数列.

? (Ⅰ)设数列 { a n } 满足 a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ( n ? N ), a 1 ? a , a 2 ? b ( a , b 不同时为 0),求

证:数列 { a n } 是周期为 6 的周期数列,并求数列 { a n } 的前 2013 项的和 S 2013 ;
2 (Ⅱ)设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 4 S n ? ( a n ? 1 ) .

①若 a n ? 0 ,试判断数列 { a n } 是否为周期数列,并说明理由; ②若 a n a n ? 1 ? 0 ,试判断数列 { a n } 是否为周期数列,并说明理由;
? (Ⅲ)设数列 { a n } 满足 a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ? 1( n ? N ) a 1 ? 2 , a 2 ? 3 ,数列 { a n } 的前 n 项和 ,

为 S n ,试问是否存在 p , q ,使对任意的 n ? N 都有 p ? ( ? 1 )
p , q 的取值范围;不存在,说明理由.

?

n

Sn n

? q 成立,若存在,求出

参考答案
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一、选择题
1 C 2 B 3 D 4 D

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5 C 6 D 7 A 8 C 9 C 10 A

二、填空题 11. 3 12. 16 13. 42 14. 3 ?
3 2

15. ①②③

三、解答题 16. 解:(Ⅰ) f ( x ) ?
1 2 ? 2 2 sin( 2 ax ?

?
4

) ,……………..…….…..2 分

由 y ? m 与 y ? f ( x ) 的图像相切,则 m ? 因为切点的横坐标依次成公差为 所以 T ?
?
2

1? 2

2

或m ?

1? 2

2

,…………..4 分

?
2

的等差数列,
? 2 2 sin( 4 x ?

,即 a ? 2 ,故 f ( x ) ?
?
4

1 2

?
4

) ……………..6 分

(Ⅱ)由(1)知,令 sin( 4 x 0 ? 由0 ?
k? 4 ?

) ? 0 ,? x 0 ?

k? 4

?

?
16

, k ? Z .…………..8 分

?
16

?

?
2

, k ? Z , ? k ? 1 , k ? 2 ,………………………...11 分 3? 16 1 2 7? 16 1 2 ) ………………………..………12 分

所以点 A 的坐标为 (

,

), (

,

?x ? 8 ? 17. 解: (Ⅰ)因为 m ? 4 ,所以 y ? ? 24 ? ?x ? 2

?0

? x ? 4? ? 4?

?x

,

当 0 ? x ? 4 时 x ? 8 ? 4 显然符合题意. ………………………..……..3 分 当x ? 4时
24 x ? 2 ? 4 ? 4 ? x ?8,

综上 0 ? x ? 8 . 所以自来水达到有效净化一共可持续 8 天. ………………..……..…..6 分
? mx ? 2 m ?0 ? x ? 4 ? ? 4 ? (Ⅱ)由 y ? m ? f ? x ? = ? , 知在区间 ? 0 , 4 ? 上单调递增, ? 6m ?x ? 4 ? ?x ? 2 ?

即 2 m ? y ? 3m , 在区间 ? 4 , 7 ? 上单调递减,即 综上
6m 5 6m 5 ? y ? 3 m ,…………………………………………….…..9 分 ? y ? 3m ,

为使 4 ? y ? 10 恒成立,只要

6m 5

? 4 且 3 m ? 10 即可,即 m ?

10 3

.
10 3

所以为了使在 7 天之内的自来水达到最佳净化,投放的药剂质量 m 应该为

.…12 分

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3 , AG ? CD , DG ? AF ? 1 ,可证 DF ? CD ,又

18. (Ⅰ)证明:由计算可 AG ? DF ?

DE ⊥平面 ACDF ,∴ DE ? DF ? DF ? 平面 CDE .…………………..…..6 分 ( Ⅱ ) 解 : 可 证 该 几 何 体 是 直 三 棱 柱 的 一 部 分 , 其 体 积 为
V ? VC ? 1 2 ? 3 3 2
D ? NE F

? VC?A M 3 ? 1 3

B

? V E?M N 1 2

F

B

? 2? 2?

?

?1?1?

3 ?

1 3

?

1 2

?

2 ?

2 ?

3
M N

…………………….…………………………….…..12 分

P G

19. 解:(Ⅰ)由 f ( x ) ? ln( e ? a ) 是 R 的奇函数,则 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,
x

从而可求得 a ? 0 .……………………………………………………..…..4 分 (Ⅱ)由
ln x f (x) ? ln x x ? x
2

? 2 ex ? m ,
2

令 f1 ( x ) ?

ln x x

, f2 (x) ? x


? 2 ex ? m ,则 f 1 ( x ) ?



1 ? ln x x
2

,

当 x ? ( 0 , e ) 时, f 1 ( x ) ? 0 , ? f 1 ( x ) 在 ( 0 , e ] 上为增函数; 当 x ? [ e , ?? ) 时, f 1 ( x ) ? 0 , ? f 1 ( x ) 在 [ e , ?? ) 上位减函数; 当 x ? e 时, [ f 1 ( x )] max ? f 1 ( e ) ?
2 2 '

1 e

,…………………………….………..8 分

而 f 2 ( x ) ? ( x ? e ) ? m ? e ,结合函数图象可知: 当m ? e ?
2

1 e

,即 m ? ,即 m ?
1 e
2

1 e 1 e

? e 时,方程无解;
2

当m ? e ?
2

1 e

? e 时,方程有一个根 x ? e ;
2

当m ? e ?
2

,即 m ?

1 e

? e 时,方程有两个根. ………………..……..….12 分
2

' 20. 解 :( Ⅰ ) 由 x ? 4 y 得 , y ?

1 2

x .设 D ( x0 ,

1 4

x 0 ) , 由 导 数 的 几 何 意 义 知 BC 的 斜 率
2

k BC ?

1 2

x 0 ,…………………………………………………………………..…..2 分 1 4
1 4

由题意知 A ( ? x 0 ,
1 x1 ?
2

x 0 ) ,设 C ( x 1 ,
x2
2

2

1 4

x 1 ), B ( x 2 ,

2

1 4

x2 ) ,

2

则 k BC ? 4

x1 ? x 2

?

1 2

x 0 ? x 2 ? 2 x 0 ? x 1 ,所以 B ( 2 x 0 ? x 1 ,

1 4

( 2 x 0 ? x 1 ) ) ,…4 分
2

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1 k AC ? 4 ( x1 ? x 0 )
2 2

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1 [( 2 x 0 ? x 1 )
2

x1 ? x 0

?

1 4

( x 1 ? x 0 ), k AB ?

4

? x0 ]
2

2 x 0 ? x1 ? x 0

?

1 4

( x 0 ? x1 ) ,

所以 k AC ? ? k AB , ? ? DAC ? ? DAB , ? d 1 ? d 2 , 又由 d 1 ? d 2 ?
2 AD 知 ? DAC ? ? DAB ? 45 ,故△ ABC 是直角三角形. ……..6 分
1 4 x0 ? ?( x ? x0 ) ,
2
?

(Ⅱ)由(1)知,不妨设 C 在 AD 上方, AB 的方程为: y ?

1 2 ? 1 x0 ? ?( x ? x0 ) ?y ? 2 由? 得到另一个交点 B ( x 0 ? 4 , ( x 0 ? 4 ) ) .……………..8 分 4 4 ? x2 ? 4y ?

由 AC : y ?

1 4

x0 ? x ? x0 ,
2



1 2 ? x0 ? ( x ? x0 ) ? y ? ? 4 ?x2 ? 4y ?

得 到 另 一 个 交 点

C ( x0 ? 4,

1 4

( x 0 ? 4 ) ) …………………………..……9 分
2

AB ? AC ?

2 ( x0 ? 4) ? (? x0 ) ? 2 ( x0 ? 4) ? (? x0 ) ?
1 2

2 2 x0 ? 4 , 2 2 x0 ? 4 ,

所以 S △ ABC ?

? 2 2 x 0 ? 4 2 x 0 ? 4 ? 240 ,…………..11 分

解得 x 0 ? ? 8 , ? A ( 8 ,16 ) 或 ( ? 8 ,16 ) , 若 x 0 ? 8 时, B ( 4 , 4 ), C (12 , 36 ) , BC : y ? 4 x ? 12 , 若 x 0 ? ? 8 时, B ( ? 12 , 36 ), C ( ? 4 , 4 ) , BC : y ? ? 4 x ? 12 . ……………..….13 分 21. (Ⅰ)证明: ?
? a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ? a n ? 3 ? a n ? 2 ? a n ?1 ? an?3 ? ? an 又an?6 ? ? an?3 ? an ,

所以 { a n } 是周期为 6 的周期数列,
a n ? 3 ? ? a n ? a n ? 3 ? a n ? 0 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? 0 .

所以 S 2013 ? 335 ? ( a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ) ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? 2 b .………4 分 (Ⅱ)当 n ? 1 时, S 1 ? a 1 ,又 4 S 1 ? ( a 1 ? 1 ) 得 a 1 ? 1 .
2
2 2 2 2 当 n ? 2 时, 4 a n ? 4 S n ? 4 S n ? 1 ? ( a n ? 1 ) ? ( a n ? 1 ? 1 ) ? ( a n ? 1 ) ? ( a n ? 1 ? 1 ) ,

即 a n ? a n ? 1 ? 2 或 a n ? ? a n ? 1 ( n ? 2 ) .①由 a n ? 0 有 a n ? a n ? 1 ? 2 ( n ? 2 ) ,则 { a n } 为等 差数列,即 a n ? 2 n ? 1 , 由于对任意的 n 都有 a n ? m ? a n ,所以 { a n } 不是周期数列.
n ?1 ②由 a n a n ? 1 ? 0 有 a n ? ? a n ? 1 ( n ? 2 ) ,数列 { a n } 为等比数列,即 a n ? ( ? 1 ) ,

? 存在 m ? 2 使得 a n ? 2 ? a n 对任意 n ? N 都成立,

即当 a n a n ? 1 ? 0 时 { a n } 是周期为 2 的周期数列. …………………..…………..8 分 (Ⅲ)假设存在 p , q ,满足题设. 于是 ?
? a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ? 1 ? a n ? 3 ? a n ? 2 ? a n ?1 ? 1 ? an?3 ? an ? 2 又an?6 ? an?3 ? 2 即an?6 ? an ,

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所以 { a n } 是周期为 6 的周期数列, { a n } 的前 6 项分别为 2 , 3 , 2 , 0 , ? 1, 0 ,
(n ? 6k ) ? n ? ? n ? 1 ( n ? 1或 6 k ? 1 ) ? ? ? (k ? N ) , n ? 3( n ? 2 或 6 k ? 2 ) ? ? n ? 4 ( n ? 6 k - 3) ?
n

则Sn

当 n ? 6 k 时, ( ? 1 )

Sn n

? 1,
n

当 n ? 2 或 6 k ? 2 时, ( ? 1 ) 当 n ? 1或 6 k ? 1 时, ( ? 1 ) 当 n ? 6 k ? 3 时, ( ? 1 ) 所以 ?
7 3 ? ( ? 1)
n n n n

Sn n

?1? ? ?1 ? 4 n

3 n 1 n

? 1 ? ( ? 1)

n

Sn n

? Sn n

5 2



Sn n

? ? 2 ? ( ? 1) 7 3 ? ( ? 1)
n

n

? ?1 ,

Sn n

? ?1 ?

? ?

Sn n

? ?1 ,

Sn n

?

5 2


7 3 7 3

为使 p ? ( ? 1 )

Sn n

? q 恒成立,只要 p ? ?

,q ?
5 2

5 2

即可,

综上,假设存在 p , q ,满足题设, p ? ?

,q ?

.…………………..…..14 分

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