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高一数学上册 第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)


〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义 ①若 a
x

? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N

的对数,记作 x

? log a N ,其中 a 叫做底数,

N 叫做真数.
②负数和零没有对数. ③对数式与

指数式的互化: x (2)几个重要的对数恒等式:

? log a N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

log a 1 ? 0 , log a a ? 1 , log a a b ? b . N ;自然对数: ln N
,即 loge

(3)常用对数与自然对数:常用对数: lg N ,即 log10 …) e ? 2.71828 . (4)对数的运算性质 ①加法: log a 如果 a ? 0, a ? 1, M

N

(其中

? 0, N ? 0 ,那么

M ? log a N ? log a ( MN )

②减法: log a

M ? log a N ? log a

M N

③数乘: n log a

M ? log a M n (n ? R)



a loga N ? N
Mn ? n log a M (b ? 0, n ? R) b

⑤ log ab

⑥换底公式: log a

N?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数 函数名称 定义 函数 对数函数

y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1
y
x ?1
y ? log a x
y

0 ? a ?1
x ?1
y ? log a x

图象
O
(1, 1 0) 0
O

(1, 0)

x

1

0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性

(0, ??)

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x 非奇非偶

? 1 时, y ? 0 .

单调性

在 (0, ??) 上是增函数

在 (0, ??) 上是减函数

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)
在第一象限内, a 越小图象越靠低,越靠近 x 轴 在第四象限内, a 越小图象越靠高,越靠近 y 轴

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)
在第一象限内, a 越大图象越靠低,越靠近 x 轴 在第四象限内, a 越大图象越靠高,越靠近 y 轴

a 变化对
象的影响



(6)反函数的概念 设函数 果对于

y ? f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y ? f ( x) 中解出 x ,得式子 x ? ? ( y) .如

y 在 C 中的任何一个值,通过式子 x ? ? ( y) , x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子

x ? ? ( y) 表示 x 是 y 的函数,函数 x ? ? ( y) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数,记作 x ? f ?1 ( y ) ,习惯
上改写成

y ? f ?1 ( x) .

(7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 ③将 x

y ? f ( x) 中反解出 x ? f ?1 ( y ) ;

? f ?1 ( y ) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质 ①原函数 ②函数

y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称.

y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域. y ? f ( x) 的图象上,则 P ' (b, a ) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上.

③若 P ( a, b) 在原函数 ④一般地,函数

y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数.

一、选择题: 1.

log8 9 的值是 log 2 3
A.





2 3

B.1

C. ( C.0

3 2


D.2

2.已知 x= 2 +1,则 log4(x3-x-6)等于 A.

3 2

B.

5 4

D.

1 2

3.已知 lg2=a,lg3=b,则

lg 12 等于 lg 15





A.

2a ? b 1? a ? b

B.

a ? 2b 1? a ? b

C. (

2a ? b 1? a ? b


D.

a ? 2b 1? a ? b

4.已知 2lg(x-2y)=lgx+lgy,则 x 的值为 y A.1 B.4

C.1 或 4 (

D.4 或-1 )

5.函数 y = log 1 (2 x ? 1) 的定义域为
2

A.(

1 ,+∞) B. [1,+∞ ) 2
B.5e

C.(

1 ,1 ] 2

D.(-∞,1) ( )

6.已知 f(ex)=x,则 f(5)等于 A.e5 C.ln5

D.log5e ( ) y

7.若 f ( x) ? log a x(a ? 0且a ? 1), 且f ?1 (2) ? 1, 则f ( x) 的图像是 y A O B x O y C x O D x y

O

x

8.设集合 A ? {x | x ? 1 ? 0}, B ? {x | log 2 x ? 0 |}, 则A ? B 等于
2





A. {x | x ? 1} C. {x | x ? ?1} 9.函数 y ? ln

B. {x | x ? 0} D. {x | x ? ?1或x ? 1} )

x ?1 , x ? (1,??) 的反函数为 ( x ?1

ex ?1 , x ? (0,??) A. y ? x e ?1
C. y ?

ex ?1 , x ? (0,??) B. y ? x e ?1
D. y ?

ex ?1 , x ? (??,0) ex ?1

ex ?1 , x ? (??,0) ex ?1

二、填空题:

10.计算:log2.56.25+lg

1 1?log2 3 +ln e + 2 = 100

11.函数 y=log4(x-1)2(x<1 的反函数为 __________ . 12.函数 y=(log 1 x)2-log 1 x2+5 在 2≤x≤4 时的值域为______.
4 4

三、解答题: 13.已知 y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是 x 的减函数,求 a 的取值范围.

14.已知函数 f(x)=lg[(a2-1) x2+(a+1)x+1],若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围.

15.已知 f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,当 x∈R 时 f(x)≥2x 恒成立,求实数 a 的值, 并求此时 f(x)的最小值?

一 、 选 择 题 : ABBCBCDCBAAB13. 15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8,16.
25 ? y?8 4

13 , 14.y=1 - 2x(x∈R) , 2

17.解析:因为 a 是底,所以其必须满足 a>0 且 a 不等于 1 a>0 所以 2-ax 为减函数,要是 Y=loga(2-ax)为减函数,则 Y=loga(Z)为增函数,得 a>1 又知减函数区间为[0,1],a 必须满足 2-a*0>0 综上所述,啊的取值范围是(1,2) 18、解:依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0 对一切 x∈R 恒成立. 2-a*1>0 即得 a<2

? 2 5 ?a ? 1 ? 0 当 a -1≠0 时,其充要条件是: ? 解得 a<-1 或 a> 2 2 3 ?? ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0 ?
2

又 a=-1,f(x)=0 满足题意,a=1,不合题意. 所以 a 的取值范围是:(-∞,-1]∪(

5 ,+∞) 3

19、解析:由 f(-1)=-2,得:f(-1)=1-(lga+2)+lgb=-2,解之 lga-lgb=1, ∴

a =10,a=10b.又由 x∈ R,f(x)≥2x 恒成立.知:x2+(lga+2)x+lgb≥2x,即 x2+xlga b

+lgb≥0,对 x∈R 恒成立,由 Δ=lg2a-4lgb≤0,整理得(1+lgb)2-4lgb≤0 即(lgb-1)2≤0,只 有 lgb=1, 不等式成立. b=10, 即 ∴a=100. ∴f(x)=x2+4x+1=(2+x)2-3 当 x=-2 时, min= f(x) -3.


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