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函数与方程20160626(教师版)


《函数与方程》20160626(教师版)
1.如图所示,每个函数图象都有零点,但不能用二分法求图中函数零点的是( )

【答案】C【解析】二分法要求零点两边的函数值相反; 即:满足: (a, b), f (a) ? f (b) ? 0 。 C.图有零点,但零点两边的函数值同号,无法求出。考点:零点判定定理及二分法的运用. 2.函数 y=2x﹣1 的零

点是( A.0 B. (0,﹣1) C. ) D.

【答案】C【解析】令 2x﹣1=0 解出 x 即为函数的零点. 解:令 y=2x﹣1=0,解得 x= ,∴ 是函数的零点.考点:函数零点的判定定理. 3.下列函数中,在区间 (?2,?1) 内有零点的函数是( A. y ? 2 x ? 3 B. y ? x2 ? 3 ) C. y ? 2x D. y ? lg x

【答案】A【解析】作图如下可得答案 A.
10 8

6

4

2

15

10

5

5

10

15

2

4

6

8

10

4.根据表格中的数据,可以判定方程 e ﹣x﹣2=0 的一个根所在的区间为( x ex﹣x﹣2 ﹣1 ﹣0.63 0 ﹣1 1 ﹣0.28 2 3.39 3 15.09

x



A. (﹣1,0)

B. (0,1)

C. (1,2)

D. (2,3)

【答案】C【解析】本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题.在解答时,应先将方

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程的问题转化为函数零点大致区间的判断问题,结合零点存在性定理即可获得解答. 解:令 f(x)=ex﹣x﹣2, 由表知 f(1)=2.72﹣3<0,f(2)=7.39﹣4>0, ∴方程 ex﹣x﹣2=0 的一个根所在的区间为(1,2) . 5.若函数 f ? x ? ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算, 参考数据如下表:

f ?1? ? ?2

f ?1.5? ? 0.625

f ?1.25? ? ?0.984 f ?1.438? ? 0.165

f ?1.375? ? ?0.260 f ?1.4065? ? ?0.052


那么方程 x 3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确度为 0.05)为( A.1.275 【答案】C B.1.375 C.1.415 D.1.5

【解析】由表格数据可知 f ?1.4065? ? ?0.052 ? 0, f ?1.438? ? 0.165 ? 0? f ?1.4065??f ?1.438? ? 0 函数在区间 ?1.4065,1.438? 内,所以方程 x 3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确度为 0.05)为 1.415 考点:函数零点判定定理
2 零点所在的大致区间为( ) x 1 A. (1 , 2) B. (2 , 3) C. (1 , ) 和 (3 , 4) D. (e , ? ?) e 2 【答案】B【解析】? f ? 2 ? ? ln 2 ? 1 ? 0, f ? 3? ? ln 3 ? ? 0 ? f ? 2 ? f ? 3? ? 0 3

6.函数 f ( x) ? ln x ?

7.函数 f(x)=ex+x﹣2 的零点所在的一个区间是( A. (﹣2,﹣1) B. (﹣1,0) C. (0,1)

) D. (1,2)

【答案】C【解析】将选项中各区间两端点值代入 f(x) ,满足 f(a)?f(b)<0(a,b 为区 间两端点) .因为 f(0)=﹣1<0,f(1)=e﹣1>0,所以零点在区间(0,1)上, 8.函数 f(x)= A.没有零点 C.有且仅有两个零点 在(0,+∞)内( )

B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点 与 y=cosx 的图象,从而利用数形结合的思想判断.

【答案】B【解析】作函数 y=

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解:作函数 y=

与 y=cosx 的图象如下,

, ∵函数 y= 与 y=cosx 的图象有且只有一个交点, 在(0,+∞)内有且仅有一个零点, ) C. ? 0 ,1? D. ?1, 2 ?

∴函数 f(x)=

9.函数 f ( x) ? 2x ? x 的零点在区间( A. ? ?2 , ?1? B. ? ?1,0 ?

【答案】B. 【解析】显然 f ( x) 在 R 上单调递增,又∵ f ( x) ? 2?2 ? 2 ? 0 , f (?1) ? 2?1 ? 1 ? 0 ,

f (0) ? 20 ? 0 ? 0 , f (1) ? 21 ? 1 ? 0 , f (2) ? 22 ? 2 ? 0 ,∴可得 f ( x) 零点所在区间为 (?1, 0)
10.“ a ? ?4 ”是“函数 f ( x) ? ax ? 3 在区间 ??1,1? 上存在零点”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 【解析】由零点判定定理可得: f (?1) ? f (1) ? 0 ,即: (?a ? 3) ? (a ? 3) ? 0, 得a ? ?3或a ? 3 . 由 a ? ?4 ? f (?1) ? f (1) ? 0 ,反之推不出.为充分不必要条件 11.设 x0 是方程 lnx+x=4 的解,则 x0 属于区间( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

D. (3,4)

【答案】C【解析】可先构造出函数 f(x)=lnx+x﹣4,带入可得 f(2)<0,f(3)>0,据 此解答.解:设 f(x)=lnx+x﹣4,则 f(2)=ln2+2﹣4=ln2﹣2<0, f(3)=ln3+3﹣4=ln3﹣1>0,所以 x0 属于区间(2,3) . 12.函数的 f(x)=log3x﹣8+2x 零点一定位于区间( A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) )

D. (5,6)

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【答案】C【解析】利用根的存在性定理分别判断,在区间端点符合是否相反即可. 解:函数 f(x)=log3x﹣8+2x 为增函数, ∵f(3)=log33﹣8+2×3=﹣1<0,f(4)=log34﹣8+2×4=log34>1>0, ∴函数在(3,4)内存在零点. 13.函数 f ? x ? ? ln( x ? 1) ? A. (0,1) 【答案】B【解析】
2 的零点所在的大致区间是( x

) D. ?

B. (1,2)

C. ? ,

2,3?

3, 4 ?

f ?1? ? ln 2 ? 2 ? 0

f ? 2? ? ln3 ?1 ? 0


,由零点存在性定理得选 B.

14.函数 y=lnx﹣6+2x 的零点为 x0,x0∈( A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4)

D. (5,6)

【答案】B【解析】分别求出 f(2)和 f(3)并判断符号,再由函数的单调性判断出函数唯一 零点所在的区间.解:∵f(2)=ln2﹣2<0,f(3)=ln3>0, ∴f(x)=lnx+2x﹣6 的存在零点 x0∈(2,3) . ∵f(x)=lnx+2x﹣6 在定义域(0,+∞)上单调递增, ∴f(x)=lnx+2x﹣6 的存在唯一的零点 x0∈(2,3) . 15. 已知函数 f (x) = A.1 B.2 C.3 D.4 的图象,代助图象分析函数零点的个数,进 , 则当 k>0 时, 下列函数 y=f[f (x) ]+1 的零点个数为 ( )

【答案】D【解析】画出函数 f(x)=

而可得答案.解:函数 f(x)=

的图象如下图所示:

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结合图象分析: 当 k>0 时,若 y=f[f(x)]+1=0,则 f[f(x)]=﹣1, 则 f(x)=a< 或 f(x)=b∈(0,1) ;

对于 f(x)=a,存在两个零点; 对于 f(x)=b,存在两个零点, 综上所述,函数 y=f[f(x)]+1 的零点个数为 4 个, 16.方程 sin x A.6 【答案】A
f(x) = sin(x) g(x) = log? x ?
8 10

? lg | x |

实根的个数为( C.4

) D. 3

B.5

6

4

2

15

10

5

5

10

15

2

4

6

8

10

试题分析:由上图可得 6 个交点,故选 A. 17.函数 f ( x) ? ? A. 3
? x 2 ? 2 x ? 3( x ? 0) ??2 ? ln x, ( x ? 0)

的零点个数是( C. 1

) D. 0

B. 2

【答案】B【解析】当 x ? 0 时,令 f ? x ? ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 , 解得 x ? ?3 ; 当 x ? 0 时, 令 f ? x ? ? ?2 ? ln x ? 0 ,解得 x ? e2 .综上可知 f ? x ? 的零点有 2 个. 18.下列函数中,在定义域内是奇函数,且在区间(-1,1)内仅有一个零点的函数是( A. y ? sin x B. y ? log2 | x | C. y ? x 2 ?
1 2



D. y ?

1 x

【答案】 A 【解析】y ? log2 x 是偶函数,y ? x 2 ?

1 1 也是偶函数,y ? 是奇函数, 但在区间 (?1,1) 2 x

内没有零点,并且在定义域内没有零点,只有 y ? sin x 是奇函数,且在区间 (?1,1) 内只有一个 零点,当 x ? 0 时, y ? 0 ,满足条件,故选 A. 19.已知函数 f ( x) ? a x ? x ? b 的零点 x0 ? (n, n ? 1)(n ? Z ) ,其中常数 a、 b 满足 2a ? 3,3b ? 2 ,则

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n 的值为(
A. 2

) B. 1 C. ? 2
2

D. ?1
x

lg 【答案】 D 【解析】 ∵ 2a ? 3 ,3b ? 2 , ∴a ?o

3 ,b ? log3 2 , ∴函数 f ?x? ? ?log2 3? ? x ? log3 2 ,

且 函 数 是 R 上 的 增 函 数 , 而 f ??1? ? ?1 ? 0 , f ?0? ? 1 ? log3 2 ? 0 , ∴ 函 数

f ?x? ? ?l o2 3 g? ? x ? l o3 2 g 在 ?? 1,0? 内有一个零点,故 n ? ?1 ,故选 D.
x

考点:函数的零点. 【思路点晴】本题主要考查了函数零点的判定定理以及指数与对数的互化,函数

f ?x? ? ?log2 3? ? x ? log3 2 ,是增函数,单调函数最多只有一个零点,是解题的关键,属中档
x

题.根据 2a ? 3 , 3b ? 2 和指数式与对数的互化,求得 a ? lo g2 3 , b ? log3 2 ,代入函数得

f ?x? ? ?log2 3? ? x ? log 3 2 是增函数,然后根据函数的单调性和零点的性质进行求解.
x

20.若函数 f(x)=ax﹣x﹣a(a>0,a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是( A. (1,+∞) B.[2,+∞) C. (0,1) D. (1,2)



【答案】A【解析】函数 f(x)=ax﹣x﹣a(a>0 且 a≠1)有两个零点,就是函数 y=ax(a>0, 且 a≠1)与函数 y=x+a 的图象有两个交点,讨论 a 与 1 的大小,从而得到结论. 解:设函数 y=ax(a>0,且 a≠1)和函数 y=x+a, 则函数 f(x)=ax﹣x﹣a(a>0 且 a≠1)有两个零点,就是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与函 数 y=x+a 的图象有两个交点, 由图象可知当 0<a<1 时两函数只有一个交点,不符合条件. 当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)的图象过点(0,1) ,而直线 y=x+a 所过的点(0,a) , 此点一定在点(0,1)的上方,∴一定有两个交点. ∴实数 a 的取值范围是(1,+∞) .

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21.已知函数 f(x)=x+2 ,g(x)=x+lnx, x1,x2,x3 的大小关系是( A.x1<x2<x3 ) C.x1<x3<x2

x

的零点分别为 x1,x2,x3,则

B.x2<x1<x3

D.x3<x2<x1

【答案】A【解析】利用估算方法,将各函数的零点问题确定出大致区间进行零点的大小比较 问题是解决本题的关键.必要时结合图象进行分析. 解:f(x)=x+2x 的零点必定小于零,g(x)=x+lnx 的零点必位于(0,1)内, 函数 的零点必定大于 1.

因此,这三个函数的零点依次增大,故 x1<x2<x3. 22.已知函数 A.x1x2<0 B.x1x2=1 有两个零点 x1,x2,则有( C.x1x2>1 D.0<x1x2<1 )

【答案】D【解析】先将 f(x)=|lgx|﹣( )x 有两个零点转化为 y=|lgx|与 y=2﹣x 有两个交 点,然后在同一坐标系中画出两函数的图象得到零点在(0,1)和(1,+∞)内,即可得到﹣ 2﹣x1=lgx1 和 2﹣x2=lg x2,然后两式相加即可求得 x1x2 的范围. 解:f(x)=|lgx|﹣( )x 有两个零点 x1,x2 即 y=|lgx|与 y=2﹣x 有两个交点 由题意 x>0,分别画 y=2﹣x 和 y=|lgx|的图象,发现在(0,1)和(1,+∞)有两个交点 不妨设 x1 在(0,1)里 x2 在(1,+∞)里 那么 在(0,1)上有 2﹣x1=﹣lgx1,即﹣2﹣x1=lgx1?① 在(1,+∞)有 2﹣x2=lg x2?②。 。 。①②相加有 2﹣x2﹣2﹣x1=lgx1x2 ∵x2>x1, ∴2﹣x2<2﹣x1 即 2﹣x2﹣2﹣x1<0∴lgx1x2<0 ∴0<x1x2<1

? a, a ? b ? 1 23.对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ” : a ?b ? ? 设函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x ? x 2 ? , b . a ? b ? 1 ?
x ? R ,若函数 y ? f ( x) ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( )

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3? A. ? ??, ?2? ? ? ? ?1, ? 2? ?

3? B. ? ??, ?2? ? ? ? ?1, ? ? 4? ?

1? ?1 ? ? C. ? ?1, ? ? ? , ?? ? 4? ?4 ? ?

3 ? ?1 ? ? D. ? ?1, ? ? ? ? , ?? ? 4 ? ?4 ? ?

3 ? 2 x ? 2, ?1 ? x ? ? ? 2 【答案】B【解析】根据题意: f ( x ) ? ? ,画出 f ? x ? 图象如下图所示: ? x ? x 2 , x ? ?1或x ? 3 ? ? 2

3 a ? ?2 或 ?1 ? a ? ? . 若 f ? x ? ? c 恰有两个实根, 则应满足: 4

?b, a ? b ? 1 24.对任意实数 a,b 定义运算“ ? ” : a ?b ? ? ,设 f ( x) ? ( x2 ?1) ? (4 ? x) ,若函 ? a, a ? b ? 1
数 y ? f ( x) ? k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点,则 k 的取值范围是( A. (?1, 2] B. [0,1] C. [?2, 0) D. [?2,1) )

? x ? 4 ( x ? ?2或x ? 3) 【答案】D【解析】根据新定义可得,函数 f ( x ) ? ? 2 ,而函数 y ? f ( x) ? k 的 ? x ? 1 (- 2 ? x ? 3)
图象与 x 轴恰有三个不同交点,等价于函数 f ( x ) 与函数 y ? ?k 有三个不同的交点.

图像知,当直线 y ? ?k (即红色直线)在直线 y ? ?1 和直线 y ? 2 之间时有三个不同的交点, 所以 - 1 ? ?k ? 2 即 ? 2 ? k ? 1 .

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