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讲义-集合间的基本关系


辅导科目:数学 学科教师: 课 题

学员姓名: 课时数:3
集合间的基本关系

年 级:高一 第 2 次课

教 学 目 标 教 学 重 点 教 学 难 点

识别集合之间包含与相等的含义,能写出给定集合的子集,会判断两个集合间的关系 判断两个集合间的关系,能用 Venn 图表示集合间的关系 判断两个集合间的关系,会求给定集合的子集









【基础知识网络总结与巩固】 本节知识点:
引入:观察下面几个例子,你能发现两个集合间的关系么? (1) A ? ? 1,2,3?, B ? ? 1,2,3,4,5?; (2)设 A 为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合, B 为这个班全体学生组成的集合; (3)设 C ? x x是两条边相等的三角形, D ? x x是等腰三角形

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我们发现,在(1)中,集合 A 的任何元素都是集合 B 的元素,这是说集合 A 与集合 B 有包含 关系。 (2)中的集合 A 与集合 B 也有这种关系。 1.子集:如果集合 A 中所有的元素都是集合 B 中的元素,则称集合 A 为集合 B 的子集,
A ? B (或 B ? A ) 读作: “ A 含于 B ”或“读作: “ B 包含 A ”

B

A

A? B?

注:①任何一个集合都是它本身的子集,即 A ? A ; ②空集是任何集合的子集,即 ? ? A ; ③对于集合 A 、 B 、 C ,如果 A ? B, B ? C ,那么 A ? C ; 2.集合相等:如果集合 A 与集合 B 中的元素相同,那么就说集合 A 与集合 B 相等

A?B

A? B?

注:①空集是任何非空集合的真子集; ②对于集合 A 、 B 、 C ,如果 A ? B, B ? C ,那么 A ? C ; 3.真子集:如果集合 A ? B ,存在元素 a ? A ,但 a ? B ,则称集合 A 是集合 B 的真子集

A? B

B

A

注:①元素与集合的关系是“属于”或“不属于” ;集合与集合之间的关系是“包含” “真包含”或“相等” ;
n n n 4.子集的个数:含有 n 个元素的集合,全部子集: 2 n ,真子集: 2 ? 1 ,非空子集: 2 ? 1 ,非空真子集: 2 ? 2

例 1:已知 4 个命题:① ? ? ?0?;②空集没有子集;③任何一个集合必有两个或两个以上的子集;④

空集是任何一个集合的子集。其中正确的是
例 2:判断下列两个集合之间的关系;



( 1)A ? ?2,3,6?, B ? x x是12的约数 ;

(2)A ? ?0,1?, B ? x x 2 ? y 2 ? 1, y ? N ; (3) A ? ?x ? 1 ? x ? 2?, B ? ?x ? 2 ? x ? 2?; (4) A ? ??x, y ? xy ? 0?, B ? ??x, y ? x ? 0, y ? 0? .

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? ? ? ? ? ? 1 b 1 c 1 例 3:已知集合 A ? ? x x ? a ? , a ? Z ?, B ? ? x x ? ? , b ? Z ?, C ? ? x x ? ? , c ? Z ? ,则 A, B, C 满 6 2 3 2 6 ? ? ? ? ? ?
足的关系是( ) 。

A. A ? B ? C

B. A ? B ? C

C. A ? B ? C

D. B ? C ? A


例 4: 已知 A ? ?x ? 3 ? x ? 5?,B ? ?x x ? a?, 若满足 A ? B , 则实数 a 的取值范围为

例 5:已知集合 A ? x x 2 ? x ? 6 ? 0 ,集合 B ? ?y ay ?1 ? 0?,若满足 B ? A ,则实数 a 所能取的一切 值为 。

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例 6:已知集合 A ? ?x ? 2 ? x ? 5?,集合 B ? ?x m ?1 ? x ? 2m ?1?满足 B ? A ,则实数 m 的取值范围 为 。

例 7:设 A ? x 2 ? x ? 6 , B ? x 2a ? x ? a ? 3 ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围是

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1,2? ? M ? ? 1,2,3,4,5?,则这样的集合 M 有多少 例 8:已知 ?

个。

1,2?,且 A ? B ,求实数 a 的取值范围。 例 9:已知集合 A ? x x 2 ? ax ? 1 ? 0, x ? R , B ? ?

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2 例 10:设集合 A ? x x ? 8 x ? 15 ? 0 , B ? x ax ? 1 ? 0 ,若 B ? A ,求实数 a 组成的集合,并写出它的所有非

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空真子集。

2 例 11:已知集合 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x 1 ? x ? a ,且 B ? ? 。

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(1)若 A ? B ,求 a 的取值范围; (2)若 B ? A ,求 a 的取值范围。

课后作业:
2 2 1.满足集合 x x ? 1 ? 0 ? A ? x x ? 1 ? 0 的集合 A 的个数是

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2.集合 M ? ?x, y ??x ? 3? ? ? y ? 2? ? 0 , N ? ?? 2,3? ,则 M 与 N 的关系是
2 2

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3.集合 A ? x ? 2 ? x ? 5 , B ? x m ? 1 ? x ? 2m ?1 。 (1)若 B ? A ,求实数 m 的取值范围; (2)当 x ? Z 时,求 A 的非空真子集; (3)当 x ? R 时,不存在元素 x 使 x ? A ,且 x ? B 同时成立,求实数 m 的取值范围。

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