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2.1.3.2函数单调性的应用


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第二章 函数

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第二章

函数

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§2.1 函 数



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第二章

函数

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§2.1.3 函数的单调性

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第二章

函数

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第二课时

函数单调性的应用

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第二章 §2.1 §2.1.3 第二课时

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预习导航
(学生用书P32)

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第二章 §2.1 §2.1.3 第二课时

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自测自评
(学生用书P32)

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1.已知函数f(x)=2x-3,x∈(-1,2),则f(x)的值域为 ( ) A.(-1,1) C.(-5,1) B.(-3,1) D.(-5,3)

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解析 ∵f(x)在x∈(-1,2)上单调递增,f(-1)=-5,f(2) =1,∴f(x)在(-1,2)上的值域为(-5,1).

答案

C

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4 2.函数y=x 在(2,6)上的值域为(
?2 ? A.?3,2? ? ? ? 2? C.?-∞,3?∪(2,+∞) ? ?

)

?2 ? B.?3,2? ? ? ? 2? D.?-∞,3?∪[2,+∞) ? ?

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4 解析 y=x 在(2,6)上单调递减,当x=2时,y=2,
?2 ? 2 当x=6时,y=3,∴y∈?3,2?. ? ?

答案

A

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a 3.若f(x)=-x +2ax与g(x)= 在区间[1,2]上都是减 x+2
2

函数,则a的取值范围是( A.(-∞,0)∪(0,1) C.(0,1)

) B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1]

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解析 f(x)的对称轴为x=a. ∵f(x)与g(x)在[1,2]上单调递减,
?a≤1, ? ∴? ?a>0, ?

∴0<a≤1,故选D.

答案

D

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4.(2011· 四川简阳市高一月考)函数f(x)在定义域(0,+ ∞)上单调递增,则不等式f(x)>f[8(x-2)]的解集是( A.(0,+∞) C.(2,+∞) B.(0,2)
? 16? D.?2, 7 ? ? ?

)

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?x>0, ? 解析 ?8?x-2?>0, ?x>8?x-2?, ?

16 ∴2<x< 7 .

答案

D

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名师讲解
(学生用书P32)

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1.利用函数的单调性比较大小 若函数在区间D上单调递增,则x1,x2∈D时,f(x1)<f(x2) ?x1<x2. 若函数在区间D上单调递减,则x1,x2∈D时,f(x1)<f(x2) ?x1>x2. 运用这一结论需注意x1,x2同属于一个单调区间.

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k k 2.对于函数y= 与反比例函数y= x 进行类比可知, x-a 当k>0时,在(-∞,a),(a,+∞)上分别是单调递减,当 k<0时,在(-∞,a),(a,+∞)上分别是单调递增.

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3.复合函数y=f[g(x)]的单调性见下表 y=f(t) 增 增 减 减 t=g(x) 增 减 增 减 y=f(g(x)) 增 减 减 增

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复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即外函数与 内函数单调性相同则递增,不同则递减.

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4.若f(x)在[a,b]上具有单调性,则它在这个区间上必 取得最大值与最小值,当f(x)在[a,b]上递增时f(x)的最大值 为f(b),最小值为f(a);当f(x)在[a,b]上递减时f(x)的最大值 为f(a),最小值为f(b).

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典例剖析
(学生用书P32)

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ax+2 例 1 函数 f(x)= 在(3, +∞)上单调递增, 求实数 a x-3 的取值范围. 剖析 可以利用函数单调性的定义判断, 也可以转化为 y k = 的形式求. x-a

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a?x-3?+3a+2 3a+2 解析 f(x)= = +a, x-3 x-3 ∵f(x)在(3,+∞)上单调递增, ∴3a+2<0. 2 ∴a<-3.

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规律技巧

k 函数 y= ,当 k>0 时,在?-∞,a?,?a, x-a

+∞?上单调递减,当 k<0 时,在?-∞,a?,?a,+∞?上单调 递增.

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变式训练1 (2011· 浙江菱湖中学高一月考)已知函数f(x) ax+1 = . x+2 (1)若a=1,判断f(x)在(-2,+∞)的单调性并用定义证 明; (2)若函数f(x)在(-2,+∞)是增函数,求实数a的取值范 围.

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解析 (1)当a=1时, x+1 -1 f(x)= = +1, x+2 x+2 ∴f(x)在(-2,+∞)上单调递增. 证明:在(-2,+∞)上任取x1、x2,且x1<x2, -1 -1 则f(x1)-f(x2)= - x1+2 x2+2 x1-x2 = , ?x1+2??x2+2?

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∵x1<x2,且x1,x2∈(-2,+∞), x1-x2 ∴ <0. ?x1+2??x2+2? ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(-2,+∞)上单调递增.

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ax+1 1-2a (2)f(x)= = +a, x+2 x+2 ∵f(x)在(-2,+∞)上递增. 1 ∴1-2a<0,∴a> . 2

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例2 已知f(x)是定义域(-3,6)上的增函数,若f(3a+ 2)>f(-a+4)成立,求实数a的取值范围. 剖析 函数f(x)在(a,b)上递增,则有f(x1)<f(x2)?x1<x2.

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解析 ∵f(x)的定义域为(-3,6)且在(-3,6)上单调递增, ?-3<3a+2<6, ? ∴?-3<-a+4<6, ?-a+4<3a+2, ? 1 4 ∴2<a<3.

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误区警示 一定注意f(x)的定义域,否则可能会造成错 误的结论.

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变式训练2 (2011· 江西永丰中学、遂川中学高一联考) 已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图像上 的两点,那么|f(x+1)|<1的解集的补集是( A.(-1,2) B.(1,4) C.(-∞,-1)∪[4,+∞) D.(-∞,-1]∪[2,+∞) )

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解析 ∵|f(x+1)|<1, ∴-1<f(x+1)<1. ∵f(x)过(0,-1),(3,1),∴f(0)<f(x+1)<f(3). ∵f(x)在R上是增函数. ∴0<x+1<3,∴-1<x<2. ∴|f(x+1)|<1的解集为(-1,2),它的补集为(-∞,-1] ∪[2,+∞).
答案 D

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1 例3 已知f(x)= 2 ,求f(x)的单调区间. x -2x 1 剖析 利用复合函数的单调性,f(x)可由y= t 与t=x2- 2x复合而成.

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1 1 解析 f(x)= 2 是由y= t 与t=x2-2x复合而成的. x -2x 1 ∵y= t 在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减, t=x2-2x≠0,即x≠0,且x≠2, t=x2-2x在(-∞,0),(0,1)单调递减,在(1,2),(2,+ ∞)上单调递增, ∴f(x)在(-∞,0),(0,1)上单调递增,在(1,2),(2,+∞) 上单调递减.

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规律技巧 判断复合函数的单调性根据同增异减,但一 定要注意函数的定义域.

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变式训练3 已知函数f(x)= (4,+∞),求f(x)的单调区间.

x2-4x ,x∈(-∞,0)∪

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解析 原函数是由y= t,t=x2-4x复合而成. ∵t=x2-4x在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单 调递增,又x∈(-∞,0)∪(4,+∞), ∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(4,+∞)上单调递 增.

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1 例4 求函数f(x)= 2x-5- 的最小值. 2x+3 剖析 解答本题可先求出函数f(x)的定义域,再判断函 数f(x)在定义域上的单调性,可利用复合函数单调性的判断 1 方法判断y= 2x-5 和y= 的单调性,然后再求整个函 2x+3 数的单调性.

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解析

?2x-5≥0, ? ? ?2x+3≠0, ?

5 ∴x≥ , 2

?5 ? 即f(x)的定义域为?2,+∞?. ? ? ?5 ? ∵y=2x-5与y=2x+3在?2,+∞?上都单调递增, ? ?

∴y=

2x-5 在

?5 ? ? ,+∞? ?2 ?

1 上单调递增,y= 在 2x+3

?5 ? ? ,+∞?上单调递减, ?2 ?

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?5 ? ∴f(x)在定义域?2,+∞?上单调递增, ? ? ?5? 5 1 ? ?=- . ∴当x=2时,f(x)有最小值,f(x)min=f 2 8 ? ?

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规律技巧 (1)若函数f(x)在定义域[a,b]上是增函数,则 当x=a时,函数f(x)有最小值f(a),当x=b时,函数f(x)有最大 值f(b). (2)若函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则当x=a时,函 数f(x)有最大值f(a),当x=b时,函数f(x)有最小值f(b).

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1 2 3 变式训练4 已知A=[1,b],f(x)= 2 x -x+ 2 ,若f(x)的 定义域与值域都是A,求b的值.

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解析 ∵f(x)的对称轴为x=1, ∴f(x)在[1,b]上单调递增,∴f(b)=b. 1 2 3 ∴ b -b+ =b,∴(b-3)(b-1)=0. 2 2 ∵b>1,∴b=3.

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技能演练
(学生用书P34)

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