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《名师伴你行》2016级数学一轮复习 第六章 等差数列及其前n项和


名师伴你行
2016级高考数学一轮复习课件

§6.2

等差数列及其前n项和

[高考调研
考纲解读 ?理解等差数列的概念. ?掌握等差数列的通项公式与前n项 和公式. 等差关系,并能用有关知识解决相 应的问题. ?了解等差数列与一次函数的关系.

明确考向]
考情

分析 ?等差数列的通项公式与前n项和公 式是考查重点. ?归纳法、累加法、倒序相加法、方 数列问题是重点,也是难点. ?题型以选择题、填空题为主,与其 他知识点结合则以解答题为主.

?能在具体的问题情境中识别数列的 程思想、运用函数的性质解决等差

知识梳理 1.等差数列的定义 1 ______项起每一项与它相邻的前 如果一个数列从第 □ 2 __________,那么这个数列就叫做等差 面一项的差等于 □ 3 ____,通常用字母 □ 4 数列,这个常数叫做等差数列的 □ ____表示.

2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项 5 __________________. 公式是□ 3.等差中项 6 ______________,那么A叫做a与b的等差中项. 如果□

4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+ N*). (2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n,(k,l,m,n∈ 8 ________________________. N*),则□ (3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数 9 ______. 列,公差为□ 7 □ ________,(n,m∈

(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}是 ________.

10 □

(5)若{an}是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*) 11 ______的等差数列. 是公差为□

5.等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn= 13 ____________________. ______________,或Sn=□ 12 □

6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 d? d 2 ? Sn= n +?a1-2?n. 2 ? ? 数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f(n) 是n的二次函数或一次函数且不含常数项,即Sn=An2+Bn, (A2+B2≠0).

7.在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最

14 □

15 ____________ ________值;若a1<0,d>0,则Sn存在最 □ 值

8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质 Sn (1)若{an}是等差数列,则{ }也成等差数列,其首项与 n 16 ______. {an}首项相同,公差是{an}公差的□ (2)Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项 17 ________数列. 的和,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成□

(3)关于等差数列奇数项与偶数项的性质: S奇 18 19 ______. ①若项数为2n,则S偶-S奇=□______, =□ S偶 ②若项数为2n-1,则S偶= 20 □ ______an,S奇= 21 □

S奇 22 23 ______. ____an,S奇-S偶=□________, =□ S偶

(4)两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系 an 24 ____________. 为 =□ bn

1 二 答案: □ =a1+(n-1)d an 9 2d □

2 同一个常数 □ 3 公差 □ 4 d □ 5 an □ 7 (n-m)d □ 8 ak+al=am+ □ 12 □ n?a1+an? 2 18 nd □ 13 na1+ □ 19 □ an an+1

a+b 6 A= □ 2

10 等差数列 □ 14 大 □ 15 小 □

11 md □ 16 □ 1 2

n?n-1? 2 d

17 等差 □ S2n-1 24 □ T2n-1

20 (n-1) □ 21 n □ 22 an □

n 23 □ n-1

名师微博 ●两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设 元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a -2d,a-d,a,a+d,a+2d,….

(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a -3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等差数列 的定义进行对称设元.

●五种方法 (1)推导等差数列的前n项和公式的方法:倒序相加法. (2)等差数列的判断方法:①定义法:对于n≥2的任意自 然数,验证an-an-1为同一个常数;②等差中项法:验证2an-
* 1=an+an-2(n≥3,n∈N )都成立;③通项公式法:验证an=

pn+q;④前n项和公式法:验证Sn=An2+Bn. 注:后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能 用来证明等差数列.

基础自测 1.已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它 的前10项和S10=( A.138 C.95 ) B.135 D.23

解析:∵(a3+a5)-(a2+a4)=2d=6,∴d=3,a1=-4. 10×?10-1?d ∴S10=10a1+ =95. 2

答案:C

2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+ a13=32,若am=8,则m为( A.12 C.6 B.8 D.4 )

解析:由等差数列性质,得a3+a6+a10+a13=(a3+a13) +(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,∴a8=8.∴m=8.

答案:B

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6 =-6,则当Sn取最小值时,n等于( A.6 B.7 C.8 D.9 )

解析:设等差数列的公差为d,则 由a4+a6=-6,得2a5=-6,得a5=-3. 又∵a1=-11,∴-3=-11+4d.∴d=2. n?n-1? ∴Sn=-11n+ 2 ×2=n2-12n=(n-6)2-36,故当 n=6时Sn取最小值.

答案:A

4.(2013· 成都调研)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5= 12,那么a1+a2+…+a7=( A.14 C.28 B.21 D.35 )

解析:由等差数列的性质知,a3+a4+a5=3a4=12?a4 =4, 所以a1+a2+a3+…+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+ a4=7a4=28.

答案:C

5.(2013· 扬州质检)设等差数列{an}的公差d=1,前n项 和为Sn,S5=15,则S10=__________.

解析:由公差d=1,S5=5a1+10d=15,得a1=1. 所以S10=10a1+45d=10+45=55.

答案:55

考点一

等差数列基本量的计算

[例1]

(2011· 福建)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.

解析:(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n- 1)d. 由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3. 解得d=-2.从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.

(2)由(1)可知an=3-2n, n[1+?3-2n?] 所以Sn= =2n-n2. 2 进而由Sk=-35可得2k-k2=-35. 即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5. 又k∈N*.故k=7为所求.

方法点睛

等差数列的通项公式及前n项和公式中,共

涉及五个量,知三可求二,如果已知两个条件,就可以列出 方程组解之.如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也 可以.体现了用方程思想解决问题的方法.

变式训练1

在等差数列{an}中,

(1)已知a15=33,a45=153,求a61; (2)已知S8=48,S12=168,求a1和d; (3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.

解析:(1)方法一:设首项为a1,公差为d,依条件得
? ?33=a1+14d, ? ? ?153=a1+44d, ? ?a1=-23, 解方程组得? ? ?d=4.

∴a61=-23+(61-1)×4=217. an-am a45-a15 153-33 方法二:由d= ,得d= = 30 =4. n-m 45-15 由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+16×4= 217.

1 (2)∵Sn=na1+2n(n-1)d,
? ?8a1+28d=48, ∴? ? ?12a1+66d=168, ? ?a1=-8, 解方程组得? ? ?d=4.

? ?a1+5d=10, (3)∵a6=10,S5=5,∴? ? ?5a1+10d=5. ? ?a1=-5, 解方程组得? ? ?d=3.

8?a1+a8? ∴a8=a6+2d=10+2×3=16.S8= =44. 2

考点二

等差数列的判定或证明

[例2]

Sn-1 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn= 2Sn-1+1

(n≥2),a1=2. 1 (1)求证:{ }是等差数列; Sn (2)求an的表达式.

1 2Sn-1+1 1 解析:(1)由已知,得S = =2+ , Sn-1 Sn-1 n 1 1 1 1 1 1 故S - =2,所以{S }是首项为S =a =2, S - n n 1 1 n 1 公差为2的等差数列.

1 1 3 4n-3 (2)由(1)得S =2+2(n-1)=2n-2= 2 , n 2 所以Sn= . 4n-3 当n≥2时,an=Sn-Sn-1= -8 . ?4n-3??4n-7? 当n=1时,a1=2不满足此式. 2 4n-3 - 2 4n-7 =

?2,?n=1?, ? 8 所以,an=? - ,?n≥2? ? ? 4 n - 3 ?? 4 n - 7 ? ?

方法点睛

等差数列主要的判定方法是定义法和等差中

项法,而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择 题中简单判断.

变式训练2

已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数,

且a1=-2,a2=2,S3=6. (1)求Sn; (2)证明:数列{an}是等差数列.

解析:(1)设Sn=An2+Bn+C(A≠0),则 ?-2=A+B+C, ? ?0=4A+2B+C, ?6=9A+3B+C, ? ∴Sn=2n2-4n.

解得:A=2,B=-4,C=0,

(2)证明:当n=1时,a1=S1=-2. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2(n-1)2-4(n-1)] =4n-6. ∴an=4n-6(n∈N*). 当n=1时符合上式,故an=4n-6,∴an+1-an=4, ∴数列{an}成等差数列.

考点三

等差数列前n项和的最值

[例3]

设等差数列{an}满足a3=5,a10=-9.

(1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.

解析:(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得
? ?a1+2d=5, ? ? ?a1+9d=-9, ? ?a1=9, 可解得? ? ?d=-2.

数列{an}的通项公式为an=11-2n. n?n-1? (2)由(1)知,Sn=na1+ 2 d=10n-n2. 因为Sn=-(n-5)2+25,所以当n=5时,Sn取得最大 值.

方法点睛

求等差数列前n项和的最值,常用的方法:

①利用等差数列的单调性或性质,求出其正负转折项,便可 求得和的最值.②利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A、 B为常数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值.

变式训练3

在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和

为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出 它的最大值.

解析:方法一:∵a1=20,S10=S15, 10×9 15×14 5 ∴10×20+ d=15×20+ d,∴d=- . 2 2 3
? 5? 5 65 ∴an=20+(n-1)×?-3?=- n+ . 3 3 ? ?

∴a13=0.即当n≤12时,an>0,n≥14时,an<0.

∴当n=12或13时,Sn取得最大值,且最大值为S12=S13 12×11 ? 5? =12×20+ ×?-3?=130. 2 ? ?

5 方法二:同方法一求得d=-3, n?n-1? ? 5? ?- ? ∴Sn=20n+ · 2 ? 3? 5 2 125 =-6n + 6 n 25?2 3 125 5? =- ?n- 2 ? + . 6? 24 ? ∵n∈N*, ∴当n=12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13= 130.

5 方法三:同法一得d=-3. 又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0,即a13=0. ∴当n=12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13= 130.

考点四

等差数列性质的应用

[例4]

设等差数列的前n项和为Sn,已知前6项和为36,Sn

=324,最后6项的和为180(n>6),求数列的项数n.

解析:由题意可知a1+a2+…+a6=36① an+an-1+an-2+…+an-5=180② ①+②得 (a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216. n?a1+an? ∴a1+an=36.又Sn= =324, 2 ∴18n=324,∴n=18.

方法点睛

本题的解题关键是将性质m+n=p+q?am+

n?a1+an? an=ap+aq与前n项和公式Sn= 结合在一起,采用整 2 体思想,简化解题过程.

变式训练4

(1)设数列{an}的首项a1=-7,且满足an+1

=an+2(n∈N+),则a1+a2+…+a17=__________. (2)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20= 78,则此数列前20项和等于__________.

解析:(1)∵an+1-an=2,∴{an}为等差数列. ∴an=-7+(n-1)· 2,∴a17=-7+16×2=25, ?a1+a17?×17 ?-7+25?×17 S17= = =153. 2 2

(2)由已知可得(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=-24+78 ?(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=54?a1+a20=18?S20= a1+a20 18 2 ×20= 2 ×20=180.

答案:(1)153 (2)180

易错矫正(二十) [试题]

忽视an与Sn中的条件n≥2而致误

已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n,数列{bn}

的前n项和Tn=2-bn,求数列{an}与{bn}的通项公式.

错解:∵an=Sn-Sn-1, ∴an=2n2+2n-2(n-1)2-2(n-1)=4n. 又Tn=2-bn, ∴bn=Tn-Tn-1=2-bn-2+bn-1, 1 即bn= bn-1, 2
?1? - ∴bn=?2?n 1=21-n. ? ?

错因:求an、bn时均未验证n=1.

正解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+2n-2(n-1)2- 2(n-1)=4n, 又a1=S1=4,故an=4n, 当n≥2时,由bn=Tn-Tn-1=2-bn-2+bn-1,得 1 bn= bn-1, 2 又T1=2-b1,∴b1=1,
?1? - - ∴bn=?2?n 1=21 n. ? ?

点评:在数列问题中,数列的通项an与其前n项和Sn之间
? ?S1,?n=1?, 存在下列关系:an=? ? ?Sn-Sn-1,?n≥2?.

这个关系对任意数列

都是成立的,但要注意的是这个关系式是分段的,在n=1和 n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式,这也是解题中 经常出错的一个地方,在使用这个关系式时要牢牢记住其 “分段”的特点.由an=Sn-Sn-1求出an后,一定不要忘记验 证n=1是否适合an.


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