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数学竞赛《解析几何》专题训练


数学竞赛《解析几何》专题训练
一、选择题 1、在平面直角坐标系中,方程 A.三角形 2、若椭圆 B.正方形

x? y 2a

?

x? y 2b

? 1( a, b 为相异正数),所表示的曲线是(



C.非正方形的长方形

/>D.非正方形的菱形

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的 2 倍,则 P 点坐为 36 20
( )

A. (3, 15) 3、设双曲线 范围是 A.

B. ( ?3, 15)

C. (3, ? 15)

D. (?3, ? 15)

?2 3 ? x2 y2 , 2 ? ,则双曲线的两条渐近线夹角 ? 的取值 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ? 2 a b ? 3 ?
( B. )

?? ? ? , ? ?6 3? ?

?? ? ? , ? ?6 2? ?

C.

?? ? ? , ? ?3 2? ?

D.

? ? 2? ? , ? ?3 3 ? ?

4、 已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线 L 的距离分别是 2 , 5 ? 2 , 则满足条件的直线 L 共有 A.1 5、双曲线 条。 B.2 C.3 D.4 ( )

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线上任意一点.则分 a2 b2
( C.相离 D.以上情况均有可能 ( ) )

别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆一定 A.相交 6、设方程 B.相切

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线是 sin(19 2007 ) ? cos( 19 2007 ) ?
B.焦点在 x 轴上的椭圆 D.以上答案都不正确

A.双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 7、过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 中心的弦 AB, F (c,0) 是右焦点,则 ?AFB 的最大面积为 a 2 b2
1

( A, bc 二、填空题 B, ab C, ac D, b
2

)

?y ? 0 ? 2 2 8、已知 ?3 x ? y ? 0 ,则 x ? y 的最大值是 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?



9、若直线 xcos?+ysin?=cos2?-sin2?(0<?<?)与圆 x2+y2= 范围是

1 有公共点,则??的取值 4



x2 y2 10、过椭圆 ,并延长 ? ? 1 上任意一点 P,作椭圆的右准线的垂线 PH(H 为垂足) 3 2
PH 到 Q,使得 HQ= ? PH( ? ≥1) .当点 P 在椭圆上运动时,点 Q 的轨迹的离心率的取值 范围是


MO 的最大值为 MF
.

11、 抛物线顶点为 O , 焦点为 F , 则 M 是抛物线上的动点,

12 、 过 直 线 l : y ? x ? 9 上 的 一 点 P 作 一 个 长 轴 最 短 的 椭 圆 , 使 其 焦 点 为

F1 ? ?3, 0 ? , F2 ? 3, 0 ? ,则椭圆的方程为
三、解答题 13、已知抛物线 y ? ?2 x ? x ?
2

.

1 1 11 1 1 和点 A( , ) 。过点 F ( , ? ) 任作直线,交抛物线于 8 4 8 4 8

B,C 两点。 (1) 求△ABC 的重心轨迹方程,并表示成 y ? f ( x) 形式; (2) 若数列 ? xk ? , 0 ? x1 ?
n 1 3 k ,满足 xk ?1 ? f ( xk ) 。试证: ? xk ?1 ? 。 5 2 k ?1

2

x2 y2 14、椭圆 ? ? 1 的右焦点为 F , P 1, P 2 ,? , P 24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的 9 4
点,其中 P 1 2 ? ?P 2 FP 3 ? ?P 3 FP 4 ? ? ? ?P 24 FP 1 .若这 24 1 是椭圆的右顶点,并且 ?PFP 个点到右准线的距离的倒数和为 S ,求 S 的值.
2

15、如题 15 图, P 是抛物线 y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的动点,点 B,C 在直线 x ? ?1 上,圆

x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1 内切于 ?PBC ,求 ?PBC 面积的最小值.

题 15 图

3

1、 x ? 1,求证: x ?

x2 ?1 ? 1

2、 a, b, c 是一个三角形三边的长, 求证: a (b ? c ? a) ? b (c ? a ? b) ? c (a ? b ? c) ? 3abc
2 2 2

3、设 a, b, c 为正实数,且满足 abc ? 1

试证:

1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b) 2
3

7、在平面直角坐标系 xoy 中, y 轴正半轴上的点列 ?An ?与曲线 y ? 点列 ?B n ?满足 OAn ? OBn ?

2 x ( x ≥0)上的

1 , 直线 An Bn 在 X 轴上的截距为 a n , 点 B n 的横坐标为 bn , n

n? N? 。
(Ⅰ)证明 a n > an ?1 >4, n ? N 。 (Ⅱ)证明有 n0 ? N ,使得对 ?n? n0 都有
?

?

b b b2 b3 ? ? ... ? n ? n ?1 < n ? 2004 。 b1 b2 bn ?1 bn

4


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