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讲义~4-4极坐标及参数方程知识点及高考题汇编


极坐标及参数方程知识点及例题
一、极坐标知识点 1. 伸缩变换: 设点 P ( x, y ) 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换 ? : ?

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), ?y? ? ? ? y, ( ? ? 0).

的作用下,点 P ( x, y ) 对应到点 P ?( x ?, y ?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简 称伸缩变换。 2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O,从 O 引一条射线 Ox,选定一个单位长度以及 计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O 点叫做 极点,射线 Ox 叫做极轴 ① 极点;② 极轴;③ 长度单位;④ 角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素, 缺一不可. 3.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径, 记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序 数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 ( ? ? , ? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称, 即 (? ? ,? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表 示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? , 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示; 同时,极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。 5.极坐标与直角坐标的互化: (1)互化的前提条件 ① 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ② 极轴与 x 轴的正半轴重合 ③ 两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , y tan? ? ( x ? 0) x

6.曲线的极坐标方程: 1.直线的极坐标方程:若直线过点 M ( ?0 ,?0 ) ,且极轴到此直线的角为 ? ,则它的方程为:

? sin(? ? ?) ? ?0 sin(?0 ? ?)
几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点 (2)直线过点 M(a,0) 且垂直于极轴 (3)直线过 M (b, ) 且平行于极轴 方程: (1) ? ? ? ( ? ? R ) 或写成 及 (2) ?cos? ? a (3)ρsinθ=b

? 2

2.圆的极坐标方程: 若圆心为 M ( ?0 ,?0 ) ,半径为 r 的圆方程为:

? 2 ? 2?0 ? cos(? ??0 ) ? ?02 ? r 2 ? 0
几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点,r 为半径 (2)当圆心位于 C (a,0) (a>0),a 为半径 (3)当圆心位 于 C ( a,

?
2

) (a ? 0) ,a 为半径
(2) ? ? 2acos? (3) ? ? 2asin?

方程:(1) ? ? r

7.在极坐标系中, ? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线;? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点 的一条直线.

二、参数方程知识点

? x ? f (t ) 1.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,若曲线 C 上的点 P( x, y ) 满足 ? ,该方程叫 ? y ? f (t )
曲线 C 的参数方程,变量 t 是参变数,简称参数。 (在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数 ?

? x ? f (t ), ? y ? g (t ),

并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上,那么这个方 程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 )

相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2.曲线的参数方程 (1)圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程可表示为 ?

? x ? a ? rcos? , (?为参数) . ? y ? b ? rsin? .

? x ? acos? , x2 y2 (2)椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . a b ? y ? bsin?.
(3)抛物线 y 2 ? 2 px 的参数方程可表示为 ?

?x ? 2 pt2 , (t为参数) . y ? 2 pt . ? ?x ? xo ? tcos? , (t 为 ? y ? yo ? tsin? .

(4) 经过点 M O ( xo , yo ) , 倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ? 参数).

3.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互 化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致.

规律方法指导: 1、把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法. 常见的消参方 法有:代入消法 ;加减消参;平方和(差)消参法;乘法消参法;比值消参法;利用恒等 式消参法;混合消参法等. 2、把曲线 的普通方程 化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二是确保互

化前后方程的等价性, 注意方程中的参数的变化范围。

极坐标方程典型例题
1.点 P 的直角坐标为(- 2, 2),那么它的极坐标可表示为________. 3π? 解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式.答案 ? ? 2, 4 ? 2.若曲线的极坐标方程为 ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角 坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. 解析 ∵ ρ=2sin θ+4cos θ,∴ ρ2=2ρsin θ+4ρcos θ. ∴ x2+y2=2y+4x,即 x2+y2-2y-4x=0. 3.(2011· 西安五校一模)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ=2sin θ 与 ρcos θ=-1 的交 点的极坐标为________. 解析 ρ=2sin θ 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0, ρcos θ=-1 的直角坐标方程为 x=-1,
2 2 ? ? ?x +y -2y=0, ?x=-1, ? 联立方程,得 解得? 即两曲线的交点为(-1,1),又 0≤θ<2π,因 ?x=-1, ? ? ?y=1,

3π? 此这两条曲线的交点的极坐标为? ? 2, 4 ?. π? 4.在极坐标系中,直线 l 的方程为 ρsin θ=3,则点? ?2,6?到直线 l 的距离为________. π? 解析 ∵ 直线 l 的极坐标方程可化为 y=3,点? ?2,6?化为直角坐标为( 3,1), π? ∴ 点? ?2,6?到直线 l 的距离为 2. π? 5.(2011· 广州调研)在极坐标系中,直线 ρsin? ?θ+4?=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为________. π? 2 2 解析 由 ρsin? ?θ+4?=2,得 2 (ρsin θ+ρcos θ)=2 可化为 x+y-2 2=0.圆 ρ=4 可化为 x +y2=16,由圆中的弦长公式得:2 r2-d2=2 42-?

?2 2?2 ? =4 3. ? 2?

考点一

极坐标与直角坐标的互化

π? 【例 1】?(2011· 广州测试(二))设点 A 的极坐标为? ?2,6?,直线 l 过点 A 且与极轴所成的角

π 为 ,则直线 l 的极坐标方程为________________. 3 [审题视点] 先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程. π? 【解析】∵ 点 A 的极坐标为? 点 A 的平面直角坐标为( 3,1),又∵ 直线 l 过点 A ?2,6?,∴ π π 且与极轴所成的角为 ,∴ 直线 l 的方程为 y-1=(x- 3)tan ,即 3x-y-2=0,∴ 直线 3 3 π? ?π ? l 的极坐标方程为 3ρcos θ-ρsin θ-2=0,可整理为 ρcos? ?θ+6?=1 或 ρsin?3-θ?=1 或 4π? ρsin? ?θ- 3 ?=1. π? ?π ? ? 4π? 答案 ρcos? ?θ+6?=1 或 3ρcos θ-ρsin θ-2=0 或 ρsin?3-θ?=1 或 ρsin?θ- 3 ?=1.

考点二 圆的极坐标方程的应用 【例 2】在极坐标系中,若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ρ=4cos θ 于 A、B 两点,则 |AB|=________. [审题视点] 先将直线与曲线的极坐标方程化为普通方程,再利用圆的知识求|AB|. 【解析】注意到在极坐标系中,过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是 x=1,曲 线 ρ=4cos θ 的直角坐标方程是 x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,圆心(2,0)到直线 x=1 的距离 等于 1,因此|AB|=2 4-1=2 3.

考点三 极坐标方程的综合应用 【例 3】?如图,在圆心的极坐标为 A(4,0),半径为 4 的圆中,求过极点 O 的弦的中点的轨 迹. [审题视点] 在圆上任取一点 P(ρ0,θ0),建立 P 点与 P 的中点 M 的关系即可. 【解析】设 M(ρ,θ)是所求轨迹上任意一点.连接 OM 并延长交圆 A 于点 P(ρ0,θ0),则有 θ0 =θ, ρ0=2ρ.由圆心为(4,0), 半径为 4 的圆的极坐标方程为 ρ=8cos θ, 得 ρ0=8cos θ0.所以 2ρ =8cos θ,即 ρ=4cos θ.故所求轨迹方程是 ρ=4cos θ.它表示以(2,0)为圆心,2 为半径的圆.

练习 1. 化极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为(
2


2

A. x ? y ? 0或y ? 1
2 2

B. x ? 1

C. x ? y ? 0或x ? 1
2

D. y ? 1

2.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为(



A. (2,

?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? ? )

?
3

), (k ? Z )

3.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 B.两条直线

C.一条直线和一个圆 )

D.一个圆

4.圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是( A. ( ?5, ?

4? ) 3

B. ( ?5,

? ) 3

C. (5,

?
3

)

D. ( ?5,

5.在极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线 ? ?

?
6

5? ) 3

( ? ? R ) 的距离是 _____

【解析】圆 ? ? 4sin ? ? x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的圆心 C (0, 2) 直线 l : ? ?

?
6

( ? ? R) ? x ? 3 y ? 0 ;点 C 到直线 l 的距离是

0?2 3 2

? 3

6.在极坐标系中,点 ( ?,

?
?

) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为[来源:学#科#网]

(A) 2

(B)

4?

?2
9

(C)

1?

?2
9

(D)

3

7.直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦长为



【解析】 2 ? cos ? ? 1 是过点 ? ,0 ? 且垂直于极轴的直线, ? ? 2 cos ? 是以 ?1,0? 为圆心,1
2

?1 ? ?2 ?

?1? 为半径的圆,则弦长= 2 1 ? ? ? ? 3 . ?2?

8.曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0, 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系,

则曲线 C 的极坐标方程为___________。 【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及转化与化归的数学思想. 由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式 ?

? x ? ? cos ? , 得 x2 ? y 2 ? 2x ? ? 2 ? 2? cos? ? y ? ? sin ? ,

? 0 ,又 ? ? 0 ,所以 ? ? 2 cos ? .
9.在极坐标中,已知圆 C 经过点 P 求圆 C 的极坐标方程.

?

2,

?? 3 ? ? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点, 3 2 4 ? ?

?

?? 3 ? 【解析】∵ 圆 C 圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点, 3? 2 ? ?? 3 ? ∴ 在 ? sin ? ? ? ? ? ? 中令? =0 ,得 ? ? 1 。 3? 2 ?
∴ 圆 C 的圆心坐标为(1,0) 。 ∵ 圆 C 经过点 P

?

2,

? ,∴ 圆 C 的半径为 PC ? 4

?

? 2?

2

? 12 ? 2 ? 1 ? 2 cos

?
4

=1 。

∴ 圆 C 经过极点。∴ 圆 C 的极坐标方程为 ? =2cos? 。

参数方程典型例题
?x=-1-t, ? 1. 极坐标方程 ρ=cos θ 和参数方程? (t 为参数)所表示的图形分别是( ?y=2+t ?

).

A.直线、直线 C.圆、圆

B.直线、圆 D.圆、直线

x x 解析 ∵ ρcos θ=x,∴ cos θ= 代入到 ρ=cos θ,得 ρ= ,∴ ρ2=x,∴ x2+y2=x 表示圆. ρ ρ

? ?x=-1-t, ? 又∵ 相加得 x+y=1,表示直线. ?y=2+t, ?

答案 D
?x=1-2t, ? 2.若直线? (t 为实数)与直线 4x+ky=1 垂直,则常数 k=________. ? ?y=2+3t ? ?x=1-2t, 解析 参数方程? 所表示的直线方程为 3x+2y=7,由此直线与直线 4x+ky=1 ?y=2+3t, ?

3 ? 4? - =-1,解得 k=-6. 垂直可得- × 2 ? k? 答案 -6
?x=5cos θ, ? 3.二次曲线? (θ 是参数)的左焦点的坐标是________. ?y=3sin θ ?

x2 y2 解析 题中二次曲线的普通方程为 + =1 左焦点为(-4,0). 25 9 答案 (-4,0)
?x=2t, ? 4.(2011· 广州调研)已知直线 l 的参数方程为:? (t 为参数),圆 C 的极坐标方程为 ? ?y=1+4t

ρ=2 2sin θ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为________.

? ?x=2t, 解析 将直线 l 的参数方程:? 化为普通方程得,y=1+2x,圆 ρ=2 2sin θ 的直 ?y=1+4t ?

角坐标方程为 x2+(y- 2)2=2,圆心(0, 2)到直线 y=1+2x 的距离为 小于圆的半径,所以直线 l 与圆 C 相交. 答案 相交

2-1 1+4

,因为该距离

5 ? ?x=4t2, ?x= 5cos θ, 5.(2011· 广东)已知两曲线参数方程分别为? (0≤θ<π)和? (t∈ R),它 ?y=sin θ ? ?y=t 们的交点坐标为________. 5 ? ?x=4t2, ?x= 5cos θ, x2 2 5 解析 由? (0≤θ<π)得, +y =1(y≥0)由? (t∈ R)得,x= y2,∴ 5y4 5 4 ?y=sin θ ? ?y=t +16y2-16=0. 4 解得:y2= 或 y2=-4(舍去). 5

5 2 5? 则 x= y2=1 又 θ≥0,得交点坐标为?1, . 4 5 ? ? 2 5? 答案 ?1, 5 ? ?

考点一 参数方程与普通方程的互化 【例 1】?把下列参数方程化为普通方程:
?x=3+cos θ, ? (1)? ?y=2-sin θ; ?

?x=1+2t, (2)? 3 ?y=5+ 2 t.

1

[审题视点] (1)利用平方关系消参数 θ; (2)代入消元法消去 t.
? ?cos θ=x-3, 解 (1)由已知? 由三角恒等式 cos2 θ+sin2θ=1, ?sin θ=2-y, ?

可知(x-3)2+(y-2)2=1,这就是它的普通方程. (2)由已知 t=2x-2,代入 y=5+ 得 y=5+ 3 t 中, 2

3 (2x-2),即 3x-y+5- 3=0 就是它的普通方程. 2

考向二 直线与圆的参数方程的应用
? ?x=1+t, 【例 2】已知直线 l 的参数方程为? (参数 t∈ R),圆 C 的参数方程为 ?y=4-2t ? ?x=2cos θ+2, ? ? (参数 θ∈ [0,2π]),求直线 l 被圆 C 所截得的弦长. ? ?y=2sin θ ? ?x=1+t, 解 由? 消参数后得普通方程为 2x+y-6=0, ?y=4-2t ? ? ?x=2cos θ+2, 由? 消参数后得普通方程为(x-2)2+y2=4,显然圆心坐标为(2,0),半径为 ?y=2sin θ ?

|2× 2+0-6| 2 5 2.由于圆心到直线 2x+y-6=0 的距离为 d= = , 5 22+1 所以所求弦长为 2 22-? 2 5?2 8 5 = . 5 ? 5 ?

考点三 直线与圆锥曲线的参数方程
? ?x=5cos φ, (2011· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆? (φ 为参数)的右焦点,且与直 ?y=3sin φ ? ? ?x=4-2t, 线? (t 为参数)平行的直线的普通方程. ?y=3-t ?

[尝试解答] 由题设知,椭圆的长半轴长 a=5,短半轴长 b=3,从 而 c= a2-b2=4,所 以右焦点为(4,0).将已知直线的参数方程化为普通方程:x-2y+2=0.故所求直线的斜率为 1 1 ,因此其方程为 y= (x-4),即 x-2y-4=0. 2 2

练习: 1.直线 ?

?x ? 2 ? t ? x ? 3 cos? (t 为参数)与曲线 ? (? 为参数)的交点个数为______。 ? y ? ?1 ? t ? y ? 3 sin ?

2 2 【解析】直线的普通方程 x ? y ? 1 ? 0 ,圆的普通方程为 x ? y ? 9 ,可以直线圆相交,

故有 2 个交点。

2.在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为几点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直 线 l 上两点 M , N 的极坐标分别为 ( 2,0), (

2 3 ? , ) ,圆 C 的参数方程 3 2

? x ? 2 ? 2 cos? (? 为参数) 。 ? ? y ? ? 3 ? 2 sin ?
(Ⅰ )设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ )判断直线 l 与圆 C 的位置关系。 【解析】 (Ⅰ )由题意知 M (2, 0), N (0,

2 3 3 ) ,因为 P 是线段 MN 中点,则 P(1, ) 3 3

因此 OP 直角坐标方程为: y ?

3 x. 3 2 3 ) 3

(Ⅱ )因为直线 l 上两点 M (2, 0), N (0,

∴l 垂直平分线方程为: 3x ? 3 y ? 2 3 ? 0 ,圆心 (2, ? 3) ,半径 r ? 2 .

?d ?

2 3 ?3 3 ?2 3 3?9

?

3 ? r ,故直线 l 和圆 C 相交. 2

3.(坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为

? ? ? x ? 2 cos ? ?x ? t (? 是参数) C1 : ? (t 是参数) 和 C2 : ? ,它们的交点坐标为_______. ? ? ?y ? t ? y ? 2 sin ?
【解析】 C1 : y 2 ? x( y ? 0), C2 : x2 ? y 2 ? 2 解得:交点坐标为 (1,1)

4.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线

??


? x ? t ? 1, π 与曲线 ? (t 为参数)相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标 2 4 ? y ? (t ? 1)

.
? x ? t ? 1, π 在直角坐标系下的一般方程为 y ? x( x ? R) ,将参数方程 ? (t 为参 2 4 ? y ? (t ? 1)

解析: ? ?

数)转化为直角坐标系下的一般方程为 y ? (t ? 1) 2 ? ( x ? 1 ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 表示一条抛物 线,联立上面两个方程消去 y 有 x ? 5x ? 4 ? 0 ,设 A、B 两点及其中点 P 的横坐标分别
2

为 x A、x B、x0 , 则有韦达定理 x 0 ? 的中点 P ( , ) .

x A ? xB 5 ? ,又由于点 P 点在直线 y ? x 上, 因此 AB 2 2

5 5 2 2

5.在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ?

? x ? t ? 1, ? x ? a sin ? , (t 为参数)与曲线 C2 : ? ? y ? 1 ? 2t ? y ? 3cos ?

( ? 为参数, a ? 0 ) 有一个公共点在 X 轴上,则 a ? __ .

【解析】曲线 C1 : ?

? x ? t ? 1, 3 直角坐标方程为 y ? 3 ? 2 x ,与 x 轴交点为 ( , 0) ; 2 ? y ? 1 ? 2t

? x ? a sin ? , x2 y 2 ? 1 ,其与 x 轴交点为 (?a,0),(a,0) , 曲线 C2 : ? 直角坐标方程为 2 ? a 9 ? y ? 3cos ?
由 a ? 0 ,曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 X 轴上,知 a ?

3 . 2



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