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高中数学-公式-不等式


不等式
一、基础知识 1、两个实数比较大小的法则: 如果 a-b 是正数,那么 a>b;如果 a-b 是负数,那么 a<b;如果 a-b 等于零,那么 a=b;反之亦成立。即 a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b 。 2、不等式的性质 (1) a ? b ? b ? a (2) a ?

b, b ? c ? a ? c (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (4) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (5) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (6) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (7) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (8) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (9) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? 2, n ? N )
n n

a b ? c d (11) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? 2, n ? N )
(10) a ? b ? 0, d ? c ? 0 ? 3 含有绝对值得不等式的性质

? a ( a ? 0) ? (1) a ? ?0( a ? 0) ? ? a ( a ? 0) ?
(2) ab ? a ? b ,
2

a a ? (b ? 0) b b
2

(3) x ? a ? x ? a ? ?a ? x ? a

x ? a ? x 2 ? a 2 ? x ? a或x ? ?a(a ? 0)
(4) a ? b ? a ? b ? a ? b

a ? b ? a-b ? a ? b

a?b ? ab 2 a?b?c 3 三个正数的均值不等式是: ? abc 3 a ? a2 ? ? ? an n n 个正数的均值不等式是: 1 ? a1a 2 ? a n n 4、两个正数 a、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
3、两个正数的均值不等式是:

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 2

4、三个正数 a、b 、C 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

3 a?b?c ? 3 abc ? ? 1 1 1 3 ? ? a b c

a2 ? b2 ? c2 3

5、双向不等式是: a ? b ? a ? b ? a ? b 左边在 ab ? 0(? 0) 时取得等号,右边在 ab ? 0(? 0) 时取得等号。

二、不等式的基本解法

f ( x) ? 0 (或<0)与不等式 f ( x) ? g ( x) ? 0 (或<0)同解。 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) 不等式 或? 同解。 ? 0 (或≤0)与不等式组同解 ? g ( x) ? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0
不等式 不等式

? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 f ( x) ? g ( x) 的同解不等式组是: ? 或? 。 2 ? f ( x) ? 0 ? f ( x ) ? ?g ( x ) ?

? g ( x) ? 0 ? 不等式 f ( x) ? g ( x) 的同解不等式组是: ? f ( x) ? 0 。 ? 2 ? f ( x) ? ?g ( x)? f ( x) g ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) 的同解不等式是:当 a>1 时, f ( x) ? g ( x) ; 不等式 a 当 0<a<1 时, f ( x) ? g ( x) 。 对数不等式皆需化为型如: log a f ( x) ? log a g ( x)( a ? 0且a ? 1) 的同解不等式,与该不等式同解的不等式组
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? ? 是:当 a>1 时, ? g ( x ) ? 0 ; 当 0<a<1 时, ? g ( x) ? 0 。 ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ?
解含有绝对值不等式的关键是化原不等式为等价的不含绝对值得不等式或不等式组,一般有以下方法:

(a ? 0) ① f ( x) ? a ? f ( x) ? a或f ( x) ? ?a , f ( x) ? a ? ?a ? f ( x) ? a,
② f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)
2 2

③ x ? a ? x ? b ? c 可采用零点法讨论求解。

三、不等式的证明


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