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2013届高考数学第一轮讲义复习课件8


一轮复习讲义

立体几何中的向量方法(Ⅰ) ——证明平行与垂直

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要点梳理

忆一忆知识要点

1.用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)给定一个定点 A 和一个向量 a,再任给一个实数 t,以 A → 为起点作向量AP=ta,则此向量方程叫做直线 l 的参数方 程.向量 a 称为该直线的方向向量. (2)对空间任一确定的点 O, P 在直线 l 上的充要条件是存 点 → → → 在唯一的实数 t,满足等式OP=(1-t)OA+tOB,叫做空间 直线的向量参数方程.

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要点梳理

忆一忆知识要点

2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)? v1∥v2 . (2)设直线 l 的方向向量为 v, 与平面 α 共面的两个不共线向 量 v1 和 v2,则 l∥α 或 l?α? 存在两个实数 x,y,使 v=
xv1+yv2

.

(3)设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l∥α 或 l?α? v⊥u . (4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1, 2, α∥β? u1 ∥u2 . u 则

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要点梳理

忆一忆知识要点

3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1⊥l2?v1⊥v2 v ? v1·2=0 . (2)设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l⊥α ? v∥u . (3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2,则 α⊥β? u1⊥u2
u ? u1·2=0

.

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[难点正本

疑点清源]

1.直线的方向向量实质上是与直线平行的非零向量,它有无数 多个,平面的法向量也有无数个. 2.利用空间向量解决立体几何中的平行问题 (1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是 共线向量,但要注意说明这两条直线不共线. (2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直,但要说明直线 不在平面内. ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线, 也要说明直线不在平面内. ③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的 两个不共线向量是共面向量.同时要注意强调直线不在平面内.

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利用空间向量证明平行问题
例 1 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求证:MN ∥平面 A1BD.
证明 方法一 如图所示,以 D 为原点,DA、 DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 1,

? ?1 ? 1? M?0,1,2?,N?2,1,1?,D(0,0,0), ? ? ? ?

A1(1,0,1),B(1,1,0), 1? → ?1 于是MN=?2,0,2?, ? ?

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设平面 A1BD 的法向量是 n=(x,y,z). ?x+z=0, ? → → 则 n· 1=0,且 n· =0,得? DA DB ?x+y=0. ?
取 x=1,得 y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1). ?1 1? → 又MN· ?2,0,2?· n= (1,-1,-1)=0, ? ? → ∴MN⊥n,又 MN?平面 A1BD, ∴MN∥平面 A1BD. → → → 1 → 1→ 方法二 MN=C1N-C1M= C1B1- C1C 2 2 1 → 1→ → = (D1A1-D1D)= DA1, 2 2 → → ∴MN∥DA1,又∵MN 与 DA1 不共线,∴MN∥DA1,

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又∵MN?平面 A1BD,A1D?平面 A1BD, ∴MN∥平面 A1BD.

探究提高
用向量证明线面平行的方法: (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行; (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线 性表示; (4)本题易错点为:只证明 MN∥A1D,而忽视 MN?平面 A1BD.

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变式训练 1
如图所示,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA= AD=2,E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点. 求证:PB∥平面 EFG. 证明 ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且 ABCD 为正方形,
∴AB、AP、AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,
建立如图所示的空间直角坐标系 A—xyz, 则 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、 P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0). → → ∴PB=(2,0,-2),FE=(0,-1,0), → FG=(1,1,-1),

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→ → → 设PB=sFE+tFG, 即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1), ?t=2, ? ∴?t-s=0, ?-t=-2, ? 解得 s=t=2.

→ → → ∴PB=2FE+2FG, → → → → → 又∵FE与FG不共线,∴PB、FE与FG共面.
∵PB?平面 EFG,∴PB∥平面 EFG.

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利用空间向量证明垂直问题
例 2 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.证明: (1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面 ABE.

建立适当的空间直角坐标系,利用向量坐标证明.

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证明 ∵AB、AD、AP 两两垂直,建立如图 所示的空间直角坐标系, 设 PA=AB=BC=1,则 P(0,0,1).
(1)∵∠ABC=60° , ∴△ABC 为正三角形. ?1 ? ?1 3 3 1? ? ? ? ∴C? , ,0?,E? , , ?. 2 4 2? ?2 ? ?4 ?
设 D(0,y,0),由 AC⊥CD, → → 得AC· =0, CD ? ? 2 3 2 3 ? ? 即 y= ,则 D?0, ,0?, 3 3 ? ? ? 3 3 1? → ? 1 → ?1 ? ? ? ∴CD=?- , ,0?.又AE=? , , ?, 6 4 2? ? 2 ? ?4 ?

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1 1 3 3 → → ∴AE· =- × + × =0, CD 2 4 6 4 → → ∴AE⊥CD,即 AE⊥CD.
? → ? 2 3 ? ? (2)方法一 ∵P(0,0,1),∴PD=?0, ,-1?. 3 ? ? 3 2 3 1 → → 又AE· = × PD + ×(-1)=0, 4 3 2 → → ∴PD⊥AE,即 PD⊥AE. → → → ∵AB=(1,0,0),∴PD· =0, AB

∴PD⊥AB,又 AB∩AE=A,∴PD⊥平面 ABE.

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方法二 设平面 ABE 的一个法向量为 n=(x,y,z), 3 1? → → ?1 ? ∵AB=(1,0,0),AE=? , , ?, 4 2? ?4 ? ? → ?x=0 ?n· =0 ? AB ∴? ,即?1 , 3 1 → ?4x+ 4 y+2z=0 ?n· =0 ? ? AE
令 y=2,则 z=- 3,∴n=(0,2,- 3). ? 3 → ? 2 3 → ? ? ∵PD=?0, ,-1?,显然PD= 3 n. 3 ? ? → → ∴PD∥n,∴PD⊥平面 ABE,即 PD⊥平面 ABE.

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探究提高
证明线面平行和垂直问题,可以用几何法,也可以用向量法.用 向量法的关键在于构造向量, 再用共线向量定理或共面向量定理 及两向量垂直的判定定理.若能建立空间直角坐标系,其证法较 为灵活方便.

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变式训练 2
如图所示,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有 棱长都为 2,D 为 CC1 的中点.求证:AB1 ⊥平面 A1BD.
证明 方法一 设平面 A1BD 内的任意一条 直线 m 的方向向量为 m.由共面向量定理,则存在实数 λ,μ, → → 使 m=λBA1+μBD. → → → 令BB1=a,BC=b,BA=c,显然它们不共面,并且|a|=|b|=|c| =2,a· b=a· c=0,b· c=2,以它们为空间的一个基底,

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→ → 1 → 则BA1=a+c,BD= a+b,AB1=a-c, 2 → → ? 1 ? m=λBA1+μBD=?λ+2μ?a+μb+λc, ? ? ?? ? 1 ? → ?? AB1· m=(a-c)·λ+2μ?a+μb+λc? ?? ? ? ? 1 ? =4?λ+2μ?-2μ-4λ=0. ? ? → 故AB1⊥m,结论得证.

方法二

如图所示,取 BC 的中点 O,连结 AO.

因为△ABC 为正三角形,所以 AO⊥BC.
因为在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,平面 ABC⊥ 平面 BCC1B1, 所以 AO⊥平面 BCC1B1.

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→ → → 取 B1C1 的中点 O1,以 O 为原点,以OB,OO1,OA为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2, 3), A(0,0, 3),B1(1,2,0).
(-2,1,0). → → 因为 n⊥BA1,n⊥BD,
? → ?-x+2y+ 3z=0, ?n· 1=0, BA ? 故? ?? ?-2x+y=0, → ? ?n· =0 ? BD 令 x=1,则 y=2,z=- 3,故 n=(1,2,- 3)为平面 A1BD 的 → 一个法向量,而AB1=(1,2,- 3), → → 所以AB1=n,所以AB1∥n,故 AB1⊥平面 A1BD.

→ → 设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),BA1=(-1,2, 3),BD=

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利用空间向量解决探索 性问题
例 3 如图,四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平 面 ABCD,PB 与底面所成的角为 45° , 底面 ABCD 为直角梯形,∠ABC= 1 ∠BAD=90° ,PA=BC= AD=1. 2 (1)求证:平面 PAC⊥平面 PCD; (2)在棱 PD 上是否存在一点 E, CE∥平面 PAB?若存在, 使 请确定 E 点的位置;若不存在,请说明理由.
(1)可以用几何法,也可以用向量法.(2)利用向量法一般比 较方便.

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(1)证明

∵PA⊥面 ABCD,

∴PB 与平面 ABCD 所成的角为∠PBA=45° .
∴AB=1,由∠ABC=∠BAD=90° , 易得 CD=AC= 2, 由勾股定理逆定理得 AC⊥CD.
又∵PA⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC,又 CD?平面 PCD, ∴平面 PAC⊥平面 PCD.
(2)解 分别以 AB、AD、AP 为 x 轴、y 轴、

z 轴建立空间直角坐标系.

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∴P(0,0,1),C(1,1,0), D(0,2,0),设 E(0,y,z), → → 则PE=(0,y,z-1),PD=(0,2,-1). → → ∵PE∥PD,∴y· (-1)-2(z-1)=0 → ∵AD=(0,2,0)是平面 PAB 的法向量, → 又CE=(-1,y-1,z),CE∥平面 PAB. → → ∴CE⊥AD.



∴(-1,y-1,z)· (0,2,0)=0,∴y=1. 1 将 y=1 代入①,得 z= .∴E 是 PD 的中点, 2
∴存在 E 点使 CE∥平面 PAB,此时 E 为 PD 的中点.

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探究提高
对于探索性问题,一般先假设存在,设出空间点坐标,转化为代 数方程是否有解问题,若有解且满足题意则存在,若有解但不满 足题意或无解则不存在.

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变式训练 3
如图所示,在三棱锥 A—BCD 中,侧面 ABD、 ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边, 且 AD= 3,BD=CD=1,另一个侧面 ABC 是 正三角形. (1)求证:AD⊥BC; (2)求二面角 B—AC—D 的余弦值; (3)在线段 AC 上是否存在一点 E, ED 与平面 BCD 成 30° 使 角? 若存在,确定点 E 的位置;若不存在,说明理由.

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(1)证明 作 AH⊥平面 BCD 于 H,连结 BH、CH、DH,则四边形 BHCD 是正方形, 且 AH=1,以 D 为原点,以 DB 所在直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴,以垂直于 DB 的 直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图 所示,则 B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1), → → 所以BC=(-1,1,0),DA=(1,1,1),

→ → 因此BC· =-1+1=0,所以 AD⊥BC. DA
设平面 ABC 的法向量为 n1=(x,y,z), → → 则由 n1⊥BC知:n1· =-x+y=0, BC → → 同理由 n1⊥AC知:n1· =-x-z=0, AC (2)解

可取 n1=(1,1,-1),

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同理,可求得平面 ACD 的一个法向量为 n1=(1,0,-1). n1·2 1+0+1 n 6 ∴cos〈n1,n2〉=|n ||n |= = . 3× 2 3 1 2 6 即二面角 B—AC—D 的余弦值为 . 3 (3)解 设 E(x,y,z)是线段 AC 上一点,则 x=z>0,y=1,所以 → DE=(x,1, 设平面 BCD 的一个法向量为 n=(0,0,1), x), 要使 ED → 与平面 BCD 成 30° 角,由图可知DE与 n 的夹角为 60° , → DE· n 1 → 所以 cos〈DE,n〉= =cos 60° , = 2 → |DE||n| 2 2 所以 2x= 1+2x ,解得 x= ,所以 CE= 2x=1. 2 故线段 AC 上存在一点 E, ED 与平面 BCD 成 30° 且当 CE 使 角,

=1 时,ED 与平面 BCD 成 30° 角. 主页

答题规范
利用空间向量证明平行、垂直要规范
(14 分)已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB1、DD1 的中点.求证: (1)FC1∥平面 ADE;(2)平面 ADE∥平面 B1C1F.

学生解答展示

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审题视角
建立空间直角坐标系,(1)求证线面平行转化为求证直线的方 向向量与平面法向量垂直.(2)面面平行转化为法向量平行进 行求证.
规范解答 证明 (1)如图所示,建立空间直角坐标系

D—xyz, 则有 D(0,0,0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、C1(0,2,2)、 → → E(2,2,1)、F(0,0,1),所以FC1=(0,2,1),DA= → (2,0,0),AE=(0,2,1). [2 分]

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→ → 设 n1=(x1,1,1)是平面 ADE 的一个法向量, n1⊥DA, 1⊥AE, y z 则 n ? → ?n1· =2x1=0, DA 即? → ?n · =2y +z =0. ? 1 AE 1 1
?x =0, ? 1 解得? ?z1=-2y1. ?

令 z1=2,则 y1=-1,所以 n1=(0,-1,2). → → 因为FC1·1=-2+2=0,所以FC1⊥n1. n
又因为 FC1?平面 ADE, 所以 FC1∥平面 ADE.
→ (2)由(1)得 B1(2,2,2),C1B1=(2,0,0).

[6 分]

[8 分]
[9 分]

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设 n2=(x2,y2,z2)是平面 B1C1F 的一个法向量, → → 则 n2⊥FC1,n2⊥C1B1, ? → ?x =0, ?n2· 1=2y2+z2=0, FC ? 2 即? 解得? ?z2=-2y2. ? ?n ·→ =2x =0. ? 2 C1B1 2 令 z2=2,则 y2=-1,所以 n2=(0,-1,2).
因为 n1=n2,所以平面 ADE∥平面 B1C1F.

[12 分]
[14 分]

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批阅笔记

(1)本题考查线面、面面平行的证明.可用几何法,也可用向量 (1)本题考查线面、面面平行的证明.可用几何法,也可用向量 法.(2)在利用向量法时, 要注意向量的平行与垂直与几何中的平 法.(2)在利用向量法时, (3)直线的方向向量垂直于平面 α 的法向 要注意向量的平行与垂直与几何中的平 行与垂直的区别及联系. 行与垂直的区别及联系. (3)直线的方向向量垂直于平面 α 的法向 量,直线可能平行于平面,也可能在平面内. 量,直线可能平行于平面,也可能在平面内.

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方法与技巧
用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路: 一种是用向量表 示几何量,利用向量的运算进行判断;另一种是用向量的坐标表 示几何量,共分三步:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空 间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问 题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位 置关系;(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.

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失误与防范
用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定 理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内 的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证直线 a∥b,只需证明向量 a=λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与 平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.

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知识网络
空间几何体的结构 空间几何体 空间几何体的体积、表面积

柱、锥、台、球的结构特征 三视图与直观图的画法

点、线、面之间的位置关系

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知识网络

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要点梳理 1.线线、线面、面面间的平行关系 ? ?

? ? ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则 ? ? ? ? 平 线线平行 l // m ? a // b ? a ? ? b ? ? ? ? 行 线面平行 l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0 关 ? ? ? ? 系 面面平行 ? // ? ? u // v ? u ? ? v
m

设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,平面

? ? ? u ? ? l l 垂 线线垂直 l ? m ? ?a ? b ? a ? b ? 0 ? u ? ? a ? ? ? ?v ? 直 线面垂直 l ?? ? ? a // u ? a ? ? u b 关 ? ? ? ? ? 系 面面垂直 ? ? ? ? u ? v ? u ? v ? 0

? a

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? ? ? ? 平 线线平行 l // m ? a // b ? a ? ? b 2.线线、线面、面面间的垂直关系 ? ? ? ?? ? 行 线面平行 l // ? ? a ? u ? b ,平面 设直线 l , m 的方向向量分别为aa?,u ? 0 关 ? ? ? ? ? ? ? , ?系 面面平行 ? // ? u , v u // v ? u ? ? v 的法向量分别为 ? ,则 ? ? ? ? 垂 线线垂直 l ? m ? a ? b ? a ? b ? 0 ? ? ? ? 直 线面垂直 l ? ? ? a // u ? a ? ? u 关 ? ? ? ? 系 面面垂直 ? ? ? ? u ? v ? u ? v ? 0
l
l

要点梳理

? a

? b

? a

? u
?

? u

? v
?

m

?

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要点梳理
空间角
? a

图形
? b

角的范围
? ? b

计算公式
? ? | cos ? a , b ?|
sin ? ???? ? ? ? | cos ?? BA, n ?| ???? ? | BA ? n | ? ? ??? ? | BA || n | ?? ?? ? ?

线线角

?

? a

? ? (0, ? ]
2

cos ? ?

? n

A

A
? n

线面角
?

? ? [0 , ? ]
2

?

B
?? ? n2

? B

?

?

?

?? ? n2

?? ? n1
?

面面角

?? ? n1

?

?

?

l

? ? [0, ? ] ?

?? ?? ? ? n ? n2 ??1 ?? cos ? n1 , n2 ?? ? ? ?? ?? | n1 || n2 | ? ?

l

? ? n1 , n 2 ? , ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? n1 , n 2 ?

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例1. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形, 侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF ⊥PB交PB于点F. (1)求证:PA∥平面EDB; (2)求证:PB ⊥平面EFD; P (3)求二面角C-PB-D的大小. F D A
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E C B

解:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设 DC=1. (1)证明:连结AC, AC交BD于点G, 连结EG,
依 题 意 得 A (1, 0, 0 ), P (0, 0, 1), E ( 0 , 1 , 1 ).
2 2

z

因 为 底 面 A B C D 是 正 方 形 , G ( 1 , 1 , ). ? 0 2 2 ??? ? ???? ? P A ? (1, 0 , ? 1), E G ? ( 1 , 0 , ? 1 ). 2 2

P E C D
y

??? ? ???? ? P A ? 2 E G, 即 P A / / E G .

? EG ? 平 面 EDB,

PA ? 平 面 EDB ,

所 以 ,PA / /平 面 EDB .

A
x
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G

B

解:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设 DC=1. 方法二: 1 1 0 依 (1)证明: 题 意 得 A (1, 0, 0 ), P (0, 0, 1), E ( 0 , 1 , 1 ), G ( 2 , 2 , ). 2 2
??? ? ? P A ? (1, 0 , ? 1), ???? ??? ? ? D E ? ( 0 , 1 , 1 ), D B ? (1, 1, 0 ). 2 2 ??? ? ???? ??? ? ? PA ? ?2 DE ? DB ,

z

P E C
y

??? ???? ??? ? ? ?向 量 PA, DE , DB 共 面 ,

PA ? 平 面 EDB ,

D

所 以 ,PA / /平 面 EDB .

A
x
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B

解:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设 DC=1. 方法三: 1 1 0 依 (1)证明: 题 意 得 A (1, 0, 0 ), P (0, 0, 1), E ( 0 , 1 , 1 ), G ( 2 , 2 , ). 2 2
??? ? ? P A ? (1, 0 , ? 1), ???? ??? ? ? D E ? ( 0 , 1 , 1 ), D B ? (1, 1, 0 ). 2 2

z

P E C
y

平 面 E D B的 一 个 法 向 量 为

??? ? ? ? P A ? n ? (1, 0, ? 1) ? (1, ? 1, 1) ? 0,
又 PA ? 平 面 EDB ,

? n ? (1, ?1,1).

D

所以,PA / / 平面EDB.

A
x
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B

( 2) 证 明 : 依 题 意 得 B (1, 1, 0 ), P B ? (1, 1, ? 1),
???? 又 D E ? ( 0 , 1 , 1 ), 2 2

解:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设 DC=1. ??? ?
z

??? ???? ? ? PB ? D E ? 0 ? 1 ? 1 ? 0. 2 2

P

所 以 PB ? DE .

由 已 知 EF ? PB ,
又 EF ? DE ? E ,

F
D

E C
y

所 以 PB ? 平 面 EFD .

A
x
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B

(3)解:已知PB ? EF ,由(2)可知PB ? DF , 故?EFD是二面角C ? PB ? ??? D的平面角. ?
z

设 点 F 的 坐 标 为 ( x , y , z ), 则 P F ? ( x , y , z ? 1),
??? ? ??? ? 设 P F ? k P B , ? ( x , y , z ? 1) ? k (1,1, ? 1) ? ( k , k , ? k ),

P F D E C
y

即x ? k, y ? k,z ? 1 ? k.
??? ???? ? ? PB ? D F ? 0,

? (1,1, ? 1) ? ( k , k ,1 ? k ) ? 3 k ? 1 ? 0, A B 1 1 1 1 2 x 所 以 k ? 1 . ? F ( , , ), 又 E ( 0 , , ), 3 3 3 2 2 3 ??? ? ? F E ? ( ? 1 , 1 , ? 1 ). 3 6 6 ??? ??? ? ? (? 1 , 1 , ? 1 ) ? (? 1 , ? 1 , ? 2 ) F E ??? 3 6 6 3 3 3 ? 1. ? ? ? co s ? E F D ? ??? ? F D ? 2 6 6 | F E || F D | ? 6 3

所 以 ? E F D ? 60 ? , 即 二 面 角 C ? P B ? D的 大 小 为 60 ? .

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(3)解:

z
?? m ? (0,1,1), ? n ? (1, ?1, 0).

平面CPB法向量为 平面DPB法向量为

P

?? ? ?? ? m ? cos ? m , n ?? ?? ? n? ? | m |?| n|

? ?1, 2 2? 2

?1

D B

C
y

?? ? ?? m , n ?? 120?.

A
x

又因为二面角C-PB-D的平面角θ是锐角,
?? ? 180? ? 120? ? 60?.

所以二面角C-PB-D 的大小是 60?.
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例 2.(09 宁夏)四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长 都是底面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点.
(Ⅰ)求证:AC⊥SD;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC.若存在,求 SE:EC 的值;若不存在,试 S 说明理由.

P

A B O C

D

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??? ??? ? ? ? O C ? SD ? 0,

??? ? ??? ? 即 OC ? SD,

主页

主页

主页

www.aaaxk.com

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设 E ( x 0 , y 0 , z 0 ),

S

??? ? ??? ? CE ? tCS ,
2 ( x0 , y0 ? a , z0 ) 2 6 2 ? t (0, ? a, a) 2 2

P

A
B O

E

D

C

? E (0,

6 2 a (1 ? t ), at) 2 2
6 2 2 a, a (1 ? t ), at ) 2 2 2

??? ? ? BE ? (?

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z

x
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y

【1】三棱锥 D-ABC 中, ? B A C ? 90 ? , ? D A B ? 45 ? , ? D A C ? 60 ? ,
3 ? AC=4,AB=3,则二面角 B-AD-C 的余弦值是____. 3

D

BC ? 5, BE ? 3 2 , CF ? 2 3, 2 3 2 EF = ? 2, 2 ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? CB ? CF ? FE ? EB B

E F A
C

??? ??? ? ? ? FC , EB ?
2

??? ??? ? ? 3 2 3 2 2 3 2 2 5 ? (2 3) ? ( ? 2) ? ( ) ? 2? 2 3 ? cos ? CF , EB ? 2 2 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 3 3 ? cos ? CF , EB ?? ? cos ? EB, FC ?? ? . 3 3
2

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a≥2
Q (1, x , 0 ) D (0, a , 0) P (0, 0, 1) A ??? ? P Q ? (1, x , ? 1), ???? B x D Q ? (1, x ? a , 0 ), x ??? ???? ? P Q ? D Q ? 0 ? x 2 ? ax ? 1 ? 0
2

z
P D

y
Q C

? ? ? a ? 4 ≥ 0 ? a ≥ 2.
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