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浙江省杭州市七校2014届高三上学期期中联考数学理试题 Word版含答案


2013 学年第一学期期中杭州地区七校联考 高三年级数学(理科)试 题
命题审校人:萧山中学 李金兴 淳安中学 毛新华 考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.答题前,在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名;座位号写在指定位置; 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项符合题目要求,把答案写在答题卷中相应的位置上) 1、已知全集 U ? R , M ? {x ?2 ? x ? 2} , N ? {x x ? 1} ,那么 M ? N ? ( A. {x ?2 ? x ? 1} B. {x ?2 ? x ? 1} C. {x x ? ?2} ) D.-2 )

D. {x | x ? 2}

2、在等差数列 {an } 中, a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ? 4 ,则公差 d 等于( A.1 B. ?1 C.2

?x ? 2 ? 0 ? 3、若实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 1 ? 0 ,则 x ? y 的最小值为( ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
A. ? 2 B. ? 1 C.1 ) 4、等比数列 ?a n ?中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a4 ”是“ a 3 ? a 5 ” 的( A.充分而不必要条件 C.充要条件



D.2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

cos(? ? 2? )
5、已知

sin(? ?
7 2

?
4

??

)

2 2

,则 cos ? ? sin ? 等于( )

A. ?

B.

7 2

C.

1 2

D. ?

1 2

6、已知函数 f ( x ) ? ? A. {x | x ? ?1}

x?0 ?1 , 2 ,则不等式 f (1 ? x ) ? f (2 x) 的解集是( 2 ? x ? 1, x ? 0
B. {?1 ? 2} D. {x | x ? ?1 或 x ? ?1 ? 2}



C. {x | x ? ?1 或 x ? ?1 ? 2}

7.已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

小值,无最大值,则 ? 的值为( A.

)(? ? 0) ,若 f ( ) ? f ( ) 且 f ( x) 在区间 ( , ) 上有最 6 3 3 6 3


?

?

? ?

2 3

B.

5 3

C.

14 3

D.

38 3

8、数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 1, 并且 为( A. )

an ? an ?1 a ?a ? n n ?1 (n ? 2) ,则数列 {an } 的第 100 项 an ?1 ? an an ? an ?1

1 2100

B.

1 250

C.

1 100

D.

1 50
) D.

9、正 ?ABC 边长等于 3 ,点 P 在其外接圆上运动,则 AP ? PB 的取值范围是( A. [ ?

3 3 , ] 2 2

B. [ ?

3 1 , ] 2 2

C. [ ?

1 3 , ] 2 2

1 1 [? , ] 2 2
10、已知函数 f ( x) 满足 f ( x ) ? f (3x ) ,当 x ? [1,3) , f ( x) ? ln x ,若在区间 [1,9) 内,函 数 g ( x) ? f ( x) ? ax 有三个不同零点,则实数 a 的取值范围是( ) .

ln 3 1 , ) 3 e ln 3 ln 3 D. ( , ) 9 3
A. (

B. (

ln 3 1 , ) 9 3e

C

(

ln 3 1 , ) 9 2e

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案写在答题卷中相应的位置上) 11、已知 ? ? (

?

3 , ? ),sin ? ? , 则 tan ? = 2 5
3 2

.

12、函数 f ( x ) ? x ? ax ? ax ( x ? R ) 不存在极值点,则 a 的取值范围是_________. 13、在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , a ? 的面积为 S

2, A ?

?
4

,B ?

?
3

,则△ ABC

? ________ .
2

14、已知函数 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数, x ? ?0,2? 时, f ( x) ? x ,若对于任意 x ? R , 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ,则 f (2) ? f (3) 的值为 . .

15、已知 x ? 0, y ? 0, x ? y ? xy ? 8 ,则 x ? y 的最小值是
2 2

16、已知不等式 xy ? ax ? 2 y 对于 x ? ?1, 2? , y ? ? 2,3? 恒成立,则实数 a 的取值范围是

____________. 17、已知 ?ABC 中, AB ? AC , | AB ? AC |? 2 ,点 M 是线段 BC (含端点)上的一点, 且 AM ? ( AB ? AC ) ? 1 ,则 | AM | 的取值范围是

??? ?

??? ?

??? ? ????

???? ? ??? ? ????

???? ?

.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,把 解答写在答题卷中相应的位置上)

18、 (14 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 A ;

lg( x 2 ? 2 x) 9 ? x2
2

的定义域为 A ,

(2)若 B ? x x ? 2 x ? 1 ? k ? 0 ,且 A 是 B 的真子集,求实数 k 的取值范围.
2

?

?

19、 (14 分)在 ?ABC 中,满足 AB与 AC 的夹角为 60

??? ? ????

0

, M 是 AB 的中点,

(1)若 AB ? AC ,求向量 AB ? 2 AC与 AB 的夹角的余弦值;. (2)若 AB ? 2, BC ? 2 3 ,点 D 在边 AC 上且 AD ? ? AC ,如果 MD ? AC ? 0 ,求 ? 的值。

??? ?

????

??? ?

??? ? ??? ?

20、 (14 分) 函数 f ( x ) ? a sin x ? b cos x ? c ( a, b, c 为常数) 的图象过原点, 且对任意 x ? R 总有 f ( x ) ? f ( ) 成立;

?

3

(1)若 f ( x ) 的最大值等于 1,求 f ( x ) 的解析式; (2)试比较 f ( ) 与 f ( ) 的大小关系.

b a

c a

n2 21、 (15 分)数列 ?a n ?前 n 项和 S n ? ,数列 ?bn ?满足 3bn ? bn ?1 ? n ( n ? 2, n ? N ? ) , 4
(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)求证:当 b1 ?

1 时,数列 ?bn ? a n ?为等比数列; 4

(3)在题(2)的条件下,设数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,若数列 ?Tn ?中只有 T3 最小, 求 b1 的取值范围.

22、 (15 分)设函数 f ( x ) ? e ? sin x , g ( x ) ? x ? 2 ;
x

(1)求证:函数 y ? f ( x ) 在 [0,??) 上单调递增; (2)设 P( x1 , f ( x1 )) , Q( x2 , g ( x2 )) ( x1 ? 0, x2 ? 0) ,若直线 PQ // x 轴,求 P, Q 两点间 的最短距离.

2013 学年第一学期期中杭州地区七校联考 高三年级数学(理科)参考答案
最终定稿人:萧山中学 李金兴 一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1~5.DBBAD 6~10.CCDBB

二、填空题(每题 4 分,共 28 分) 11. ? 15.4;

3 ; 4

12. ?a | 0 ? a ? 3?; 16. ?a | a ? ?1?;

13.

3? 3 ; 4

14.1;

17. ( ,1] .

1 2

三、解答题(前三题每题 14 分,最后两题每题 15 分,共 72 分)
2 ? ?x ? 2x ? 0 18、 (1)由 ? , 2 ? ?9 ? x ? 0

----------------------------------------------------------2 分

解得 ? 3 ? x ? 0 或 2 ? x ? 3 , (2)法一:

? A ? (?3,0) ? (2,3) ---------------4 分

B 中 ?x ? (1 ? k )??x ? (1 ? k )? ? 0 --------------------------------------6 分

1 k ? 0 时, 1 ? k ? 1 ? k ,此时 B ? R ,符合题意;----------------------8 分 ○ 2 k ? 0 时, 1 ? k ? 1 ? k ,此时 B ? ?? ?,1 ? k ? ? ?1 ? k ,?? ? ,由 A 是 B 的 ○

?1 ? k ? 2 ? 真子集得 ?1 ? k ? 0 ? 0 ? k ? 1, -----------------------------------10 分 ?k ? 0 ?
3 k ? 0 时, 1 ? k ? 1 ? k ,此时 B ? ?? ?,1 ? k ? ? ?1 ? k ,??? ,由 A 是 B 的 ○

?1 ? k ? 2 ? 真子集得 ?1 ? k ? 0 ? ?1 ? k ? 0 , -------------------------------12 分 ?k ? 0 ?
综上得 k ? ?? 1,1? ------------------------------------------------------------------14 分 法二:因为 x ? A 时总有 x ? B ,所以 x ? ( ?3,0) ? (2,3) 时总有 k ? ( x ? 1) ----8 分
2 2

所以 k ? 1 , k ? ?? 1,1? ;----------------------------------------------------------------12 分
2

此时,显然有 ? 4 ? B 但 ? 4 ? A ,所以 A 是 B 的真子集,综上得 k ? ?? 1,1? --14 分

19、 (1)设 AB ? 1 ,则 AB ? 2 AC ?

7 ,-----------------3 分

而 AB ? ( AB ? 2 AC ) ? 2 ,-----------------------------3 分 所以向量 AB ? 2 AC与AB 的夹角的余弦值等于
2 2 2

??? ?

??? ? ??? ?

2 7 。-------8 分 7

(2)在 BC ? AC ? AB ? 2 AB ? AC ? cos 60? 解得 AC ? 4 ,-----10 分 因为 MD ? AC ,所以 AD ? cos 60? ? 故? ?

1 ,----------------------12 分 2

1 。----------------------------------------------------14 分 8

? ? f ( 0) ? b ? c ? 0 ? 3 b ? ? a ? ? c ? 1----------------------------------4 分 20、(1)由 ? f ( ) ? 2 2 ? 3 ? ? a 3 b?0 ? f ?( ) ? ? 3 2 2 ?
解得 a ? (2)因为 a ?

3, b ? 1, c ? ?1 ,所以 f ( x ) ? 3 sin x ? cos x ? 1 。-------8 分 3b 、 c ? ?b , f ( ) ? 2b ? c 为最大值,所以 b ? 0 , a ? 0 ---10 分 3

?



b 3 c 3 b c 3 ? 、 ?? ,所以 f ( ) ? f ( ) ? 2a sin ,-------------12 分 a 3 a 3 a a 3

所以 f ( ) ? f ( ) ? 0 ,即 f ( ) ? f ( ) 。--------------------------14 分 (没注意到 a ? 0 而进行分类讨论的扣 2 分! )

b a

c a

b a

c a

21、 (1) a n ?

2n ? 1 , n ? N ? ;-------------------------------------4 分 4

(2) 3(bn ? an ) ? (bn ?1 ? an ?1 ) ? (3bn ? bn ?1 ) ? 3an ? an ?1 ? n ? n ? 0 , 所以 (bn ? an ) ? 项、

1 (bn?1 ? an?1 ) ,且 b1 ? a1 ? 0 ,所以 ?bn ? a n ?是以 b1 ? a1 为首 3

1 为公比的等比数列;----------------------------------8 分 3

(3) bn ?

2n ? 1 1 1 ? (b1 ? ) ? ( ) n ?1 ;---------------------------10 分 4 4 3
?b3 ? 0 ,解得 ? 47 ? b1 ? ?11 ;-----13 分 ?b4 ? 0

因为数列 ?Tn ?中只有 T3 最小,所以 ? 此时, bn ?1 ? bn ?

1 1 1 ? 2 ? (b1 ? ) ? ( ) n ? 0 ,于是, ?bn ?为递增数列, 2 4 3

所以 n ? 3 时 bn ? 0 、 n ? 4 时 bn ? 0 ,符合题意,综上 ? 47 ? b1 ? ?11 。--15 分

22、 (1) x ? 0 时, f ?( x ) ? e ? cos x ? 1 ? cos x ? 0 ,所以函数 y ? f ( x ) 在 [0,??) 上
x

单调递增;-----------------------------------------------------6 分 (2)因为 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 e 1 ? sin x1 ? x2 ? 2 ---------------------8 分
x

所以 P, Q 两点间的距离等于 x2 ? x1 ? e
x

x1

? sin x1 ? x1 ? 2 ,------9 分
x

设 h( x ) ? e ? sin x ? x ? 2( x ? 0) ,则 h ?( x ) ? e ? cos x ? 1( x ? 0) , 记 l ( x ) ? h?( x ) ? e ? cos x ? 1( x ? 0) ,则 l ?( x ) ? e ? sin x ? 1 ? sin x ? 0 ,
x x

所以 h?( x ) ? h?(0) ? 1 ? 0 ,------------------------------------12 分 所以 h ( x ) 在 [0,??) 上单调递增,所以 h( x ) ? h(0) ? 3 ------------14 分 所以 x 2 ? x1 ? 3 ,即 P, Q 两点间的最短距离等于 3.---------------15 分


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