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例说排序不等式解竞赛题


巧用排序不等式解竞赛题
广州市育才中学数学科 邓军民

定理 对于两个有序实数组: a1 ? a2 ? ? ? an 及 b1 ? b2 ? ? ? bn ,有 (同序) a1b1 ? a2 b2 ? ?? an bn ? a1 b1' ? a2 b'2 ? ? ? an b'n (乱序) (倒序) ? a1bn ? a2 bn?1 ? ?? an b1 ' ' ' 其中 b1 , b2 , ? , bn 是 b1 , b2 , ? , bn 的任一排列,当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时等号成立. 略证:若 ai ? a j , bi ? b j ,则由

a b ? a b ? ( a b ? a b ) ? (a ? a )(b ? b ) ? 0 可知,在 i , j 两个位置上,将同序改为倒序时,和值减少;将倒序改为同 序时,和值增加,因而得两数组一对一对相乘后相加,同序时值最大,倒序时 值最小. 例 1 (美国第 3 届中学生数学竞赛题) 设 a ﹑ b ﹑ c 是正实数,求证:
i i j j i j j i i j i j

a b c ? (abc)
a b c

a ?b ? c 3

证明: 不防设 a ? b ? c ? 0, 则 lg a ? lg b ? lg c 据排序不等式有 : a lg a ? b lg b ? c lg c ? b lg a ? c lg b ? a lg c a lg a ? b lg b ? c lg c ? c lg a ? a lg b ? b lg c 以上两式相加,再两边同加 a lg a ? b lg b ? c lg c ,整理得: 3(a lg a ? b lg b ? c lg c) ? (a ? b ? c)(lg a ? lg b ? lg c) a?b?c 即 lg(aa bb cc ) ? ? lg(abc) 3 a ?b ? c 故 aa bb cc ? (abc) 3

例 2 ( IMO 20?5 ) 设 a1 , a2 ,?, ak ,?为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数 n,均有 n ak ? n 1 ?1 2 ? K? k k ?1 k 证明: 设 b , b ,?, b 是 a , a ,?, a 的从小到大的有序排列,即 b1 ? b2 ? bn ,因为 bi 是互不相同的正整数.则 b ? 1, b ? 2,?, b ? n
1 2 n 1 2 n
1 2 n

又因为1 ?

1

2

2

?

1

3

2

???

1

n

2

所以由排序不等式得:

a a a ? ??? n 2 ? b ? b ??? b n 2
2 n 1 2 2 2 1 2

(乱序) (倒序)

n 2

1 1 ? 1? ??? 2 n

a ? 1 成立. ? k k 例 3 ( IMO17?1) 设 xi , yi (i ? 1,2,?, n) 是实数,且 x1 ? x2 ? ? ? xn , y1 ? y2 ? ? ? yn , z1 ? z 2 ? ? ? z n 是 y1 , y2 ,?, yn 的一个排列.


?
k ?1

n

n

k

2

k ?1

求证: ? ( xi ? y i ) ? ? ( xi ? z i )
n 2 n i ?1 i ?1

2

证明: 将原不等式展开整理得:

? y i ? 2? x y ? ? z i ? 2? x z
2 2 i ?1 i ?1 2 i i i ?1 i ?1 i

n

n

n

n

i

因为 ? y i ? ? z i
i ?1 i ?1

n

n

2

∴只须证 ? xi zi ? ? xi yi
i ?1 i ?1

n

n

而上式左边为乱序和,右边为同序和. 即由排序不等式得证.


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