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高中数学:第二章 数列 测试(3)(新人教A版必修5)


数列 单元测试 一:选择题(共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分。 ) 1.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , 则它的前 10 项的和 S10 ? ( a3 ? a5 ? 10 , A.138 B.135 C.95 D.23 ) )

2.若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ?

( A.12 B.13 C.14 D.15

3. 已知等差数列 {an} 中, a2=6,a5=15.若 bn=a2n,则数列 {bn} 的前 5 项和等于 ( (A)30 (B)45 (C)90 (D)186



4.设 ?an ?(n ? N ) 是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错 误的是( (A)d<0 ) (B)a7=0 (C)S9>S5 (D)S6 和 S7 均为 Sn 的最大值.

5 5.在数列 {an } 中, an ? 4n ? , a1 ? a2 ???? ? an ? an2 ? bn , n ? N * ,其中 a 、 b 为 2

常数,则 ab ? ( (A)-1 (B)0

) (C)-2 (D)1
1 ,则公比 q=( 4

6. 已知{an}是等比数列, a2 ? 2, a5 ? (A) ?
1 2

) (D)
1 2

(B)-2

(C)2

7. 记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 4 , S4 ? 20 ,则该数列的公差 d ? ( ) A.2 B.3 C.6 D.7
S4 ?( a2

8. 设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则 A. 2 B. 4 C.



15 17 D. 2 2 n 9. 若数列 {an } 的前 n 项的和 Sn ? 3 ? 2 ,那么这个数列的通项公式为(
3 A. an ? ( ) n ?1 2 1 B. an ? 3 ? ( ) n ?1 2



C. an ? 3n ? 2

?1, n ? 1 D. an ? ? n?1 ?2 ? 3 , n ? 2
用心 爱心 专心

10. 等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a3 ? a7 ? a11 为一个确定的常数,则下列各 数中也是常数的是( A.S6 ) C.S12 D.S13 (p∈R,n∈N*),那么数列

B.S11

11.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn=pn -2 {an} ( )

A.是等比数列 C.当 p≠0,p≠1 时是等比数列

B.当 p≠0 时是等比数列 D.不是等比数列 )

12. 已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于 ( (A)-4 (B)-6 (C)-8 (D)-10

二:填空题(共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分) 13. 设{an}是公比为 q 的等比数列, Sn 是{an}的前 n 项和,若{Sn}是等差数列,则

q=__
14. 在等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? 1, a4 ? a5 ? a6 ? ?2, 则该数列前 15 项的 和 S15= . 15. 设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an ? __________。 16. .将全体正整数排成一个三角形数阵:
1 2 4 7 8 5 9 3 6 10

按照以上排列的规律,第 n 行 (n ? 3) 从左向右的第 3 个数为 三.解答题(共计 70 分) 17. 等差数列{ an }的前 n 项和记为 Sn.已知 a10 ? 30, a20 ? 50. (Ⅰ)求通项 an ; (Ⅱ)若 Sn=242,求 n.

用心

爱心

专心

18.在等比数列 ?an ? 的前 n 项和中,a1 最小,且 a1 ? an ? 66, a2 an?1 ? 128,前 n 项和

S n ? 126,求 n 和公比 q

19. 已知等比数列 {an } 中, a2 ? 2, a5 ? 128 .若 bn ? log2 an ,数列 {bn } 前 n 项的和为

Sn .
(Ⅰ)若 Sn ? 35 ,求 n 的值; (Ⅱ)求不等式 Sn ? 2bn 的解集.

20. 设 {an } 为等差数列, S n 为数列 {an } 的前 n 项和,已知 S 7 ? 7, S15 ? 75,求数列

{an } 的通项公式.

用心

爱心

专心

21 数列{an}的前 n 项和 Sn,且 a1=1,an+1= 1 Sn,n=1,2,3……
3

求:⑴ a2、a3、a4 的值及{an}的通项公式; ⑵ a2+a4+a6+…+a2n 的值.

22.(本题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=10n-n (n∈N ),又 bn= |an|(n∈N*),求{bn}的前 n 项和 Tn.

2

*

用心

爱心

专心

参考答案 1.C.由a2 ? a4 ? 4, a3 ? a5 ? 10得a1 ? ?4, d ? 3, S10 ? 10a1 ? 45d ? ?40 ? 135 ? 95 2. S5 ? 3. C 4 .D 5. 由 an ? 4n ?
5 3 知 数 列 {an } 是 首 项 为 公差为 4 的等差数列,∴ 2 2 1 1 a1 ? a2 ? ??? ? an ? 2n 2 ? n ,∴ a ? 2, b ? ? ,故 ab ? ?1 2 2 5(a1 ? a5 ) 5(a2 ? a4 ) a ? a2 ? ? a4 ? 7 ,所以 a7 ? a2 ? 5d ? a2 ? 5 ? 4 ? 13 选 B. 2 2 2

6. D 7.B 8. C 9. D 10. D 11.D 12. 选 B。 由题意, 设 a1 ? a2 ? 2, a3 ? a2 ? 2, a4 ? a2 ? 4 , ∴ (a2 ? 2)(a2 ? 4) ? (a2 ? 2)2 , 解得 a2 ? ?6 ,选 B. 13.1 14. b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? 1, b2 ? a4 ? a5 ? a6 ? ?2??bn ?公比为? 2,所以前5项和为 11. 15. ∵ a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1 ∴ an ? an?1 ? ? n ?1? ?1 , an?1 ? an?2 ? ? n ? 2? ?1, , a3 ? a2 ? 2 ? 1 , a2 ? a1 ? 1 ? 1 , a1 ? 2 ? 1 ? 1
? 2 ? 1? ? ? n ?1

an?2 ? an?3 ? ? n ? 3? ?1,

将以上各式相加得: an ? ? ?? n ? 1? ? ? n ? 2 ? ? ? n ? 3? ?
?

? n ? 1? ? ?? n ? 1? ? 1? ?
2

? n ?1 ?

? n ? 1? n ? n ? 1 ? n ? n ? 1? ? 1
2 2
爱心 专心

故应填

n ? n ? 1? ?1 ; 2

用心

【考点】 :此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式; 【突破】 : 重视递推公式的特征与解法的选择;抓住 an?1 ? an ? n ? 1 中 an?1 , an 系数相 同是找到方法的突破口;此题可用累和法,迭代法等; 16. 本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前 n ? 1 行共用了 1 ? 2 ? 3 ?
(n ? 1)

(n ? 1) n 个 数,因此第 n 行 (n ? 3) 从左 向右的第 3 个数是 全体正整数中的第 2

n2 ? n ? 6 (n ? 1)n ? 3 个,即为 。 2 2

1. 解: Sn ? 3 ? 2n , Sn?1 ? 3 ? 2n?1, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 (n ? 2)

?5, (n ? 1) 而 a1 ? S1 ? 5 ,∴ a n ? ? n ?1 ?2 , (n ? 2)

17. 本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式,考查运算能力.0 解: (Ⅰ)由 an ? a1 ? (n ? 1)d , a10 ? 30, a20 ? 50, 得方程组
?a1 ? 9d ? 30, ? ?a1 ? 19 d ? 50 .

……4 分

解得 a1 ? 12, d ? 2.

所以

an ? 2n ? 10. 0

(Ⅱ)由 S n ? na1 ?
12 n ?

n(n ? 1) ? 2 ? 242 . ……10 分 解得 n ? 11 或n ? ?22(舍去). 0 2

n(n ? 1) d , S n ? 242 得方程 2

18. 解析:因为 ?an ? 为等比数列,所以
a1 a n ? a 2 a n ?1 a ? a n ? 66 ?? , 且a1 ? a n , 解得a1 ? 2, a n ? 64 ?a1 a ? ? 1 n 128

依题意知 q ? 1

? S n ? 126,?

a1 ? an q ? 126 ? q ? 2 1? q

? 2q n?1 ? 64,? n ? 6
19. 解: (Ⅰ) a2 ? a1q ? 2, a5 ? a1q4 ? 128 得 q3 ? 64
? an ? a1q n ?1 ? 1 n ?1 ? 4 ? 2 2 n ?3 2 ? q ? 4, a1 ? 1 2

?bn ? log2 an ? log2 22n?3 ? 2n ? 3

用心

爱心

专心

bn?1 ? bn ? [2(n ? 1) ? 3] ? (2n ? 3) ? 2

?{bn } 是以 b1 ? ?1 为首项,2为公差的等差数列.
? Sn ? (?1 ? 2n ? 3)n ? 35, n 2 ? 2n ? 35 ? 0 2

(n ? 7)(n ? 5) ? 0即n ? 7
(Ⅱ) Sn ? bn ? n2 ? 2n ? (2n ? 3) ? n2 ? 4n ? 3 ? 0
?3 ? 3 ? n ? 3 ? 3
n? N?

? n ? 2 , 3 , 4 即,所求不等式的解集为 {2 , 3, 4}
20.
7?6 ? S7 ? 7a1 ? d ?7 ? ?a ? ?2 ? 2 解:由题意知 ? ,解得 ? 1 ,所以 an ? n ? 3 . ?d ? 1 ? S ? 15a ? 15 ? 14 d ? 75 15 1 ? 2 ?

21.解析:(1)由 a1=1,an+1= 1 Sn,n=1,2,3,…得 a2= 1 S1= 1 a1= 1 ,a3= 1 S2
3 3 3 3 3

= 1 (a1+a2)= 4 ,a4= 1 S3= 1 (a1+a2+a3)= 16
3 9 3 3 3 3

27

由 an+1-an= 1 (Sn-Sn-1)= 1 an(n≥2),得 an+1= 4 an(n≥2),又 a2= 1 ,∴an=
3 3 1 3

·( 4 )n-2(n≥2)
3

∴ {an}通项公式为 an= ? ?1

? 1 n ?1 4 ? ( )n?2 n ? 2 ? ?3 3
3 3

(2) 由(1)可知 a2、a4、…a2n 是首项为 1 ,公比为( 4 )2,项数为 n 的等比数列.
4 1 ? ( ) 2n 3 × 4 1 ? ( )2 3



a2+a4+a6+…+a2n= 1 3

= 3 [( 4 )2n-1]
7 3

22.解析] 由 Sn=10n-n2 可得, an=11-2n,故 bn=|11-2n|. 显然 n≤5 时,bn=an=11-2n,Tn=10n-n2. n≥6 时,bn=-an=2n-11,
用心 爱心 专心

Tn=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+an) =2S5-Sn=50-10n+n2
2 ?10n-n 故 Tn=? 2 ?50-10n+n

n n



(2)∵b16=b1·d15=-32b1

且a 4 = a 1 + 3d = ?23 2 = b 4 b 4 = b 1 ·d 3 = - 2b 1 = - 23 2 ∴b 1 = a 1 = 3 2
∴b16=-32b1=-32a1,如果 b16 是{an}中的第 k 项,则 -32a1=a1+(k-1)d ∴(k-1)d=-33a1=33d ∴k=34 即 b16 是{an}中的第 34 项.

用心

爱心

专心


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