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湖南师大附中2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题及答案


时量 120 分钟 总分 100+50 分 命题:高一数学备课组 审题:高一数学备课组 备课组长:吴锦坤

必考Ⅰ部分
一、选择题:本大题共 7 小题,每小 题 5 分,满分 35 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1、集合{0,1}的子集有 ( )

A.1 个

B. 2 个

/>
C. 3 个

D. 4 个

【答案】D 2、下列函数为奇函数的是 ( )

1 x (2 ? 2? x ) 2 1 C. f ( x) ? ( ) x 2 A. f ( x) ?
【答案】A 3、已知 10 ? 2,10 ? 4 ,则 10
m n
3m ? n 2

B. f ( x) ? ? x ? 1
D. f ( x) ? lg( x ? 1)

的值为(

) D. 2 2

A.2 【答案】B

B. 2

C. 10

4、下列函数中,不满足 f (2 x) ? 2 f ( x) 的函数是( A. f ( x) ? x 【答案】C B. f ( x) ? x ? x

) C. f ( x) ? x ? 1 D. f ( x) ? ? x

5、幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点 ( ?2,? ) ,则满足 f ( x) ? 27 的 x 的值为( A.3 【答案】D B.

1 8



1 27

C.27

D.

1 3

?21? x , x ? 1 6、设函数 f ( x) ? ? ,则满足 f ( x) ? 2 的取值范围是( ?1 ? log2 x, x ? 1
A. [?1,2] B. [0,2] C. [1,??) D. [0,??)



【答案】D 【解析】分段解不等式就可以了 7、设函数 f ( x) ?

1 x ? ln x, ( x ? 0) ,则下列说法中正确的是( ) 3 1 1 A. f ( x) 在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点. B. f ( x) 在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点. e e 1 1 C. f ( x) 在区间 ( ,1) 内有零点, 在 (1, e) 内无零点. D. f ( x) 在区间 ( ,1) 内无零点, 在 (1, e) 内有零点. e e

【答案】D 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分;把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 8、计算 (lg5) 2 ? lg 50 ? lg 2 ? _________ 【答案】 1

9、函数 y=

1 的值域是___ ________. 2 +1
x

【答案】 (0,1) 10、已知函数 f ( x) ? 【答案】 2 11、工厂生产某种产品的月产量 y 和月份 x 满足关系 y ? ag 0.5 ? b. 现已知该厂 1 月份、2 月份生产该产品
x

b ? 2x 2x ?1

为定义在区间 ?? 2a,3a ? 1? 上的奇函数,则 a ? b ? ________

分别为 1 万件、1.5 万件.则此厂 3 月份该产品的产量为 【答案】 1.75
2 2 1

万件.

? 1 ?3 ? 1?3 ? 1 ?3 12、若 a ? ? ? , b ? ? ? , c ? ? ? ,则 a,b,c 大小关系是_______________(请用”<”号连接) ?2? ?5? ?2?
【答案】 b ? a ? c 13、里氏震级 M 的计算公式为: M ? lg A ? lg A0 ,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大震幅, A0 是相 应的标准地震的震幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大震幅是 1000,此时标准地震的震幅为 0.001, 则此次地震 的震级为 【答案】6;10000 三.解答题:本大题共 3 小题,共 35 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14、(慢分 11 分)记函数 f ( x) ? 级;9 级地震的最大震幅是 5 级地震最大震幅的 倍.

x 2 ? 1 的定义域为 A, g ( x) ? lg?( x ? a ?1)(2a ? x)?(a ? 1) 的定义域为 B。

(1)求 A。 (2)若 B ? A ,求实数 a 的取值范围。

从而实数 a 的取值范围为 ?? ?,?2? ? ? ,1? 。 15、 (满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x?k
2

?1 ? ?2 ?

?k ?2

(k ? N ) ,满足 f (2) ? f (3) .

(1)求 k 的值并求出相应的 f ( x) 的解析式; (2) 对于 (1) 中的函数 f ( x) , 试判断是否存在 m , 使得函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? m 在 [0,2] 上的值域为 [2,3] , 若存在,请求出 m ,若不存在,请说明理由.

1 6、 (满分 12 分)设函数 f ( x ) 对任意实数 x, y 都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ,且 x ? 0 时, f ( x ) <0,

f (1) =-2.
(1)求证 f ( x ) 是奇函数; (2)求 f ( x ) 在[- 3,3]上的最大值和最小值.

必考Ⅱ部分
四、本部分共 5 个小题,满分 50 分,计入总分.

x ? 123 , 2 3 ) ? 6) 17 (满分 5 分) 、 设函数 f ( x) 表示自然数 x 的数字和 (如: 则 f ( x) ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 , 即 f (1 ,
则方程 x ? f ( x) ? f [ f ( x)] ? 2013的解集为( A. ? ? 1979 ,1985 ,1991 ,1999 C. ? ? 1979 ,1985 ,1991 ,2013 ) B. ? ? 1979 ,1985 ,1987 ,2003 D. ? ? 1979 ,1985 ,1991 ,2003
[来源:学+科+网]

18(满分 5 分)、已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 , g ? x ? ? ?x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 ? 8. 设

H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ??, H2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ??, ? max ? p, q?? 表示 p, q 中的较大值, min ? p, q?
表示 p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 的最大值为 B ,则 A ? B ? ————
【答案】

-16

f ? x ? ? x 2 ? 2 ? a ? 2 ? x ? a 2 ? [ x ? ? a ? 2 ?]2 ? 4a ? 4, g ? x ? ? ? x 2 ? 2 ? a ? 2 ? x ? a 2 ? 8 ? ?[ x ? ? a ? 2 ?]2 ? 4a ? 12.
【解析】

当f ? x ? ? g ? x ? 时,x ? a ? 2或x ? a ? 2 又 ? H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ?? , H 2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ??

? A ? ?4a ? 4,B ? ?4a ? 12. ? A ? B ? ?4a ? 4 ? ( ? 4a ? 12) ? ?16.
19(满分 13 分) 、某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每吨为 2.10 元,当用水超过 4 吨时,超过部分每吨 3.00 元,某月甲、乙两户共交水费 y 元,已知甲、乙两用户该月用水量分别为 5x,3 x 吨.? (1)求 y 关于 x 的函数;? (2)若甲、乙两户该月共交水费 40.8 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.? 【解析】 (1)当甲的用水量不超过 4 吨时,即 5x≤4,乙的用水量也不超过 4 吨, y=(5x+3x)×2.1=16.8x;? 当甲的用水量超过 4 吨,乙的用水量不超过 4 吨时,? 即 3x≤4 且 5x>4,? y=4×2.1+3x×2.1+3×(5x-4)=21.3x-3.6.? 当乙的用水量超过 4 吨时,? 即 3x>4,y=8×2.1+3(8x-8)=24x-7.2,?
[来源:Z#xx#k.Com]

? ?16.8 x ? ? 所以 y= ? 21.3 x ? 3.6 ? ? ? 24 x ? 7.2 ?

4 (0 ? x ? ) 5 4 4 ( ? x ? ). 5 3 4 (x ? ) 3

……………6 分

[来源:Zxxk.Com]

(2)由于 y=f(x)在各段区间上均为单调递增,? 当 x∈[0,

[来源:Z*xx*k.Com]

4 4 ]时,y≤f( )<40.8;? 5 5

当 x∈(

4 4 4 , ]时,y≤f( ) <40.8;? 5 3 3 4 ,+∞)时,令 24x-7.2 =40.8,解得 x=2 ? 3

当 x∈(

所以甲户用水量为 5x=10 吨,? 付费 S1=4×2.1+6×3=26.40(元);? 乙户用水量为 3x=6 吨,? 付费 S2=4×2.1+2×3=14.40(元).
[来源:学|科|网]

……………13 分

20(满分 13 分)已知 a >0 且 a ≠1. f ?log a x ? ? (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)判断 f ( x ) 的奇偶性与单调性;

a x ? x ?1 a ?1
2

?

?

(3)对于 f ( x ) ,当 x ? (?2,2)时, f ?1 ? m? ? f ?1 ? 2m? ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

(3)∵f(1-m)+f(1-2m)<0 ∴f(1-m)<-f(1-2m) ∵又 f(x)为奇函数 ∴f(1-m)<f(2m-1)

∵又 f(x)在(-2,2)上是增函数。

?1 ? m ? 2m ? 1 ? ? ??2 ? 1 ? m ? 2 ??2 ? 2m ? 1 ? 2 ?

?

2 3 ?m? . 3 2

……………(13 分)

21(满分 14 分) 、定义:若函数 f ( x ) 对于其定义域内的某一数 x0 ,有 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是 f ( x ) 的一个 不动点. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1(a ? 0) . (1) 当 a ? 1 , b ? 3 时,求函数 f ( x ) 的不动点; (2) 若对任意的实数 b,函数 f ( x ) 恒有两个不动点,求 a 的取值范围; (3) 在(2)的条件下,若 y ? f ( x) 图象上两个点 A、B 的横坐标是函数 f ( x ) 的不动点,且 A、B 的中点 C 在 函数 g ( x) ? ? x ?

2a 的图象上,求 b 的最小值. 5a ? 4a ? 1
2

(参考公式: A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 的中点坐标为 ?
2

? x1 ? x2 y1 ? y 2 ? , ?) 2 ? ? 2
………………1 分 ……3 分

2 【解析】(1) f ( x) ? x ? 4 x ? 2 ,由 x ? 4 x ? 2 ? x ,

解得 x ? ?2 或 x ? ?1 ,所以所求的不动点为 ?1或-2. (2)令 ax ? (b ? 1) x ? b ? 1 ? x ,则 ax ? bx ? b ? 1 ? 0 ①
2
2

由题意,方程①恒有两个不等实根,所以 ? ? b ? 4a(b ? 1) ? 0 ,
2

即 b ? 4ab ? 4a ? 0 恒成立,
2

……………6 分 ……8 分
2

则 ?? ? 16a ? 16a ? 0 ,故 0 ? a ? 1
2

2a , ……9 分 5a ? 4a ? 1 x ? x2 x ?x 2a ?? 1 2 ? 2 又 AB 的中点在该直线上,所以 1 , 2 2 5a ? 4 a ? 1 2a ∴ x1 ? x2 ? , 2 5a ? 4 a ? 1 b b 2a 而 x1、x2 应是方程①的两个根,所以 x1 ? x 2 ? ? ,即 ? ? , 2 a a 5a ? 4 a ? 1 2a 2 2 2 ∴b ? ? 2 ==………12 分 2 1 5a ? 4a ? 1 ? 1 ? 2 ?1? ( ? 2) ? 1 ? ? ? 4? ? ? 5 a a a ? ? ? ?
(3)设 A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2), g ( x) ? ? x ? ∴当 a=

1 ∈(0,1)时,bmin=-2 2

……13 分


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