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【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 :第7篇 第1节 空间几何体的结构及三视图和直观图]


第1节

空间几何体的结构及三视图和直观图

【选题明 细表】 知识点、方法 空间几何体的结构 三视图的识别 与三视图有关计算 直观图 题号 6、7、14 2、5、8、9 1、10、11、12、13 3、4

一、选择题

1.(2013 山东烟台模拟)如图是底面半径为 1,母线长均为 2 的圆锥和

圆柱的组合体,则该组合体的侧(左)视图的面积为( (A)8π (C)4+ (B)6π (D)2+ C )

解析:该组合体的侧(左)视图为 其中正方形的边长为 2,三角形为边长为 2 的三角形, 所以侧(左)视图的面积为 22+ ×22× =4+ , 故选 C.

2.(2013 山东莱州模拟)一个简单几何体的正(主)视图,侧(左)视图 如图所示,则其俯视图不可能为①长方形;②直角三角形;③圆;④椭 圆. 其中正确的是( C )

(A)① (B)② (C)③ (D)④ 解析:当该几何体的俯视图为圆时,由三视图知,该几何体为圆柱,此 时,正(主)视图和侧(左)视图应相同,所以该几何体的俯视图不可能 是圆,其余都有可能.故选 C. 3.(2013 贵州四校期末联考)一个平面图形的面积为 S,其直观图的面 积为 S',则 S∶S'=( A (A)2 (B) (C)2 (D)1 )

解析:直观图在底不变的情况下,高变为原来的 sin 倍.

设平面图形的高为 h,直观图的高为 h', 则有 h'=h× sin = h,即 h=2 h', 所以 S∶S'=h∶h'=2 .故选 A. 4.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰 和上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( (A)2+ (C) (B) (D)1+ A )

解析:由题意画出斜二测直观图及还原后原图,由直观图中底角均为 45°,腰和上底长度均为 1,得下底长为 1+ ,所以原图上、下底分别 为 1,1+ ,高为 2 的直角梯 形.所以面积 S= (1+ +1)×2=2+ .故选 A.

5.(2013 北京东城区模拟)已知一个三棱锥的三视图 如图所示,其中 三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的 个数为( D )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图所示, 利用长方体模型可知,此三棱锥 A BCD 的四个面中,全部是直角三角 形.

故选 D. 6.下面是关于四棱柱的四个命题: ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱; ④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱. 其中真命题为( D )

(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)②④ 解析:对于①,平行六面体的两个相对侧面与底面垂直且互相平行,而 另两个相对侧面可能与底面不垂直,则不是直棱柱,故①假; 对于②,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故②真; 对于③,作正四棱柱的两个平行菱形截面,可得满足条件的斜四棱柱 (如图(1)所示),故③假;

对于④,四棱柱一个对角面的两条对角 线,恰为四棱柱的对角线,故 对角面为矩形,于是侧棱垂直于底面的一条对角线,同样侧棱也垂直 于底面的另一条对角线,故侧棱垂直于底面,故④真.故选 D. 二、填空题 7.如图所示的 Rt△ABC 绕着它的斜边 AB 旋转一周得到的图形 是 .

解析:过 Rt△ABC 的顶点 C 作线段 CD⊥AB,垂足为 D,所以 Rt△ABC 绕 着它的斜边 AB 旋转一周后应得到的是以 CD 作为底面圆的半径 的两 个圆锥的组合体. 答案:两个圆锥的组合体 8.一个几何体的正(主)视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列 几何体中的 (填入所有可能的几何体前的编 号).

①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱. 解析:显然①②⑤均有可能;当三棱柱放倒时,其正(主)视图可能是三 角形,所以③有可能,④不可能. 答案:①②③⑤

9.如图,点 O 为正方体 ABCD A'B'C'D'的中心,点 E 为平面 B'BCC'的中 心,点 F 为 B'C'的中点,则空间四边形 D'OEF 在该正方体的各个面上 的投影可能是 (填出所有可能的序号).

解析:空间四边形 D'OEF 在正方体的平面 DCC'D'上的投影是①;在平 面 BCC'B'上的投影是②;在平面 ABCD 上的投影是③,而不可能出现投 影为④的情 况. 答案:①②③ 10.(2013 山东烟台模拟)如图,三棱柱的侧棱长为 2,底面是边长为 2 的正三角形,AA1⊥面 A1B1C1,正(主)视图是边长为 2 的正方形,俯视图 为正三角形,则侧(左)视图的面积为 .

解析:因为俯视图为正三角形, 所以俯视图的高为 ,侧视图为两直角边分别为 2、 的矩形, 所以侧(左)视图的面积为 2 .

答案:2 11.(2013 北京西城检测)三棱锥 D ABC 及其三视图中的正视图和侧视 图如图所示,则棱 BD 的长为 .

解析:取 AC 的中点 E,连结 BE,DE, 由正(主)视 图可知 BE⊥AC,BE⊥DE. DC⊥平面 ABC 且 DC=4,BE=2 , AE=EC=2. 所以 BC= = = =4, 即 BD= 答案:4 三、解答题 12.(2013 西工大附中模拟)已知四棱锥 P ABCD 的三视图如图所示,求 此四棱锥的四个侧面的面积中最大值. = = =4 .

解:由三视图可知该几何体是如图所示的四棱锥,顶点 P 在底面的射 影是底面矩形的顶点 D. 底面矩形边长分别为 3,2,△PDC 是直角三角形,直角边为 3 与 2,

所以 S△PDC= ×2×3=3. △PBC 是直角三角形,直角边长为 2, ×2× = . ,三角形的面积为

△PAB 是直角三角形,直角边长为 3,2 ; 其面积为 ×3×2 =3 . △PAD 也是直角三角形,直角边长为 2,2,三角形的面积为 ×2×2=2. 所以四棱锥 P ABCD 的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积为 3 . 13.三棱锥 V ABC 的底面是正三角形,顶点在底面 ABC 上的射影为正△ ABC 的中心,其三视图如图所示:

(1)画出该三棱锥的直观图; (2)求出侧(左)视图的面积. 解:(1)直观图如图所示.

(2)根据三视图间的关系可得 BC=2 , 作 AM⊥BC 于 M,连结 VM, 过 V 作 VO⊥AM 于 O, 过 O 作 EF∥BC 交 AB,AC 于 F、E, 则△VEF 即侧(左)视图. 由 =, 得 EF= . 又 VA=4,AM= 则 AO=2,VO= = =3. =2 .

所以 S△VEF= × ×2 =4. 即侧(左)视图的面积为 4.

14.圆台的一个底面周长 是另一个底面周长的 3 倍,轴截面的面积等 于 392 cm2,母线与轴的夹角为 45°,求这个圆台的高、母线长和底面 半径.

解:圆台的轴截面如图. 设圆台的上、下底面半径 分别为 x cm 和 3x cm, 延长 AA1 交 OO1 的延长线于点 S.

在 Rt△SOA 中,∠ASO=45°, 则∠SAO=45°. 所以 SO=AO=3x,OO1=2x. 又 ×(6x+2x)×2x=392,解得 x=7. 所以圆台高 OO1=14 cm,母线长 l= OO1=14 底面半径分别为 7 cm 和 21 cm. cm,


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