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2011年东北三省四市统一考试暨沈阳市高三教学质量监测(二) 数学理 word版


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2011 年东北三省四市统一考试暨沈阳市高三教学质量监测(二)



学(理科)
命 题:东北三省四市联合命制

时间:120 分钟

总分:150 分

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第(22)题~第 (24)题为选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡及答题纸上,在本试 卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡(纸)一并交回.
参考公式: 样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 的标准差 锥体体积公式

s?

2 2 2 1 x1 ? x ? x2 ? x ? ? ? xn ? x n

??

? ?

?

?

??

V?

1 Sh 3

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积和体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

4 S ? 4? R2 , V ? ? R 3 3 其中 R 为球的半径

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. (1)已知集合 A ? ??1,0, a? , B ? ?x | 0 ? x ? 1? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是 A. ?1? B. (??, 0) C. (1, ??) D. (0,1)

(2)设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则 A.

S4 的值为 a3
D.

15 4

B.

15 2

C.

7 4

7 2

(3)已知复数 z1 ? cos 23? ? i sin 23? 和复数 z2 ? cos37? ? i sin 37? ,则 z1 ? z 2 为

A.

1 3 ? i 2 2

B.

3 1 ? i 2 2

C.

1 3 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2

2 (4)已知命题 p :抛物线 y ? 2x 的准线方程为 y ? ?

1 ;命题 q :若函数 f ( x ? 1) 为偶函 2

数,则 f (x ) 关于 x ? 1 对称.则下列命题是真命题的是

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A. p ? q

B. p ? ( ?q )

C. (?p) ? (?q)

D. p ? q

(5)等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,前 n 项和为 Sn .则“ d ?| a1 | ”是“ Sn 的最小值 为 S1 ,且 Sn 无最大值”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 定义 f ( x ) 输入精确度 d 和区间 ( a, b) 开始

(6)已知图象不间断的函数 f (x ) 是区间 [ a, b] 上的单调函数, 且 在 区 间 ( a, b) 上 存 在 零 点 . 图 1 是 用 二 分 法 求 方 程

f ( x) ? 0 近似解的程序框图,判断框内可以填写的内容有如
下四个选择: ① f (a) f (m) ? 0 ; ② f (a) f (m) ? 0 ; ③ f (b) f (m) ? 0 ; ④ f (b) f (m) ? 0 其中能够正确求出近似解的是( ) (2)① 、③ B.② 、③ C.① 、④ D.② 、④ (7)若 (3 x ? ) 展开式中各项系数之和为 32,则该展开
n

m?

a?b 2
否 是

1 x

式中含 x 的项的系数为 A. ?5 B. 5 C. ?405 D. 405

3

b?m

a?m

(8) 设函数 f ( x ) ? 2 cos(

?

x? ), 若对于任意的 x ? R , 否 2 3

?

| a ? b |? d 或 f (m) ? 0
是 输出 a 结束 图1

都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? x2 的最小值为 A.4 B.2 C.1

1 D. 2

(9)在送医下乡活动中,某医院安排 3 名男医生和 2 名女 医生到三所乡医院工作, 每所医院至少安排一名医生, 且女医生不安排在同一乡医院工作,则不同的分配方 法总数为 A.78 B.114 C.108 D. 120
3 (10)设 f ( x) ? x ? x , x ? R . 若当 0 ? ? ?

?
2

时, f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,

则实数 m 的取值范围是 A. (0,1) B. (??,0) C. (?? , )

1 2

D. (??,1)

(11)已知 O 为坐标原点,点 M 的坐标为 (a,1) ( a ? 0 ) ,点 N ( x, y ) 的坐标 x 、 y 满足不等

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ???? ???? ? ?x ? 3 ? 式组 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 . 若当且仅当 ? 时,OM ?ON 取得最大值,则 a 的取值范围是 ?y ? 0 ? y ?1 ? 1 1 1 1 A. (0, ) B. ( , ??) C. (0, ) D. ( , ?? ) 3 2 3 2

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? 2 x3 1 , x ? ( ,1] ? 2 ?π ? ? x ?1 (12)已知函数 f ( x) ? ? ,函数 g ?x ? ? a sin? x ? ? 2a ? 2 (a>0),若存 ?6 ? ? 1 1 1 ?? x ? , x ? [0, ] 6 2 ? 3 在 x1、x2 ?[0,1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 1 4 1 2 4 1 A. [ , ] B. (0, ] C. [ , ] D. [ ,1] 2 3 3 3 2 2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题纸相应的位置上. (13)

?

?2

?3

1 dx ? . x

(14)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 左、右焦点分别为 F1、F2 ,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线与双 a2 b2

曲线一个交点为 P ,且 ?PF1 F2 ? (15)对于命题:

?
6

,则双曲线的渐近线方程为.

若 O 是线段 AB 上一点,则有 OB ? OA ? OA ? OB ? 0. 将它类比到平面的情形是: 若O 是△ ABC 内一点,则有 将它类比到空间的情形应该是: 若 O 是四面体 ABCD 内一点,则有. (16) 已知一个三棱锥的三视图如图 2 所示,其中俯视图是顶角为
主视图 2 3 2 1 左视图

120? 的等腰三角形,则该三棱锥的外接球体积为. 0. S ? OBC ? OA ? S ? OCA ? OB ? S ? OBA ? OC ?

俯视图

三、解答题:本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 如图 3, ?ABC 中, sin

图2

?ABC 3 ? , AB ? 2, 2 3
4 3 3

A

点 D 在线段 AC 上,且 AD ? 2 DC, BD ? (Ⅰ )求 BC 的长; (Ⅱ )求 ?DBC 的面积.

D

B

图3

C

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(18) (本小题满分 12 分) 如图 4,三棱柱 ABC ? A 1 1 1 中,侧面 AA1C1C ? 底面 BC 且 ABC , AA1 ? AC ? AC ? 2, AB ? BC , AB ?BC ,O 为 AC 1 中点. (Ⅰ )在 BC1 上确定一点 E ,使得 OE // 平面 A1 AB , 并说明理由; (Ⅱ )求二面角 A ? A1B ? C1 的大小. A

A1

C1 B1

O
B

C

图4

(19) (本小题满分 12 分) 某科考试中,从甲、乙两个班级各抽取 10 名同学的成绩进行统计分析,两班成绩的茎 叶图如图 5 所示,成绩不小于 90 分为及格. (Ⅰ )甲班 10 名同学成绩的标准差 乙班 10 名同学成绩的标 甲 乙 准差(填“>”,“<”) ; 257 7 89 (Ⅱ )从两班 10 名同学中各抽取一人,已知有人及格,求乙班同 368 8 678 学不及格的概率; 58 9 1235 (Ⅲ )从甲班 10 人中取一人,乙班 10 人中取两人,三人中及格人 68 10 1 数记为 X, 求 X 的分布列和期望. 图5

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图5

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(20) (本小题满分 12 分)

x2 y2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴 2 a b 2 长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ,设 P 为椭圆上一点,且满足
已知椭圆 C : ,当 PA? PB < OA ? OB ? t OP ( O 为坐标原点)

2 5 时,求实数 t 取值范围. 3

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(21) (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ln(1 ? e x ) ? mx( x ? R) . (Ⅰ )已知对于给定区间 ( a, b) ,存在 x0 ? (a, b) 使得 证: x0 唯一; (Ⅱ )若 x1 , x2 ? R,x1 ? x2 ,当 m ? 1 时,比较 f (

f (b) ? f (a ) ? f ?( x 0 ) 成立,求 b?a

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )和 大小,并 2 2

说明理由; (Ⅲ )设 A、B、C 是函数 f ( x) ? ln(1 ? e x ) ? mx( x ? R, m ? 1) 图象上三个不同的点, 求证:△ABC 是钝角三角形.

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请考生在(22)(23)(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记 、 、 分. 做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 6,直线 AB 过圆心 O,交圆 O 于 A、B,直线 AF 交圆 O 于 F(不与 B 重合) ,直线 l 与圆 O 相切于 C,交 AB 于 E,且 与 AF 垂直,垂足为 G,连接 AC. 求证: ) ?BAC ? ?CAG ; (Ⅰ (Ⅱ AC 2 ? AE ? AF . )

图6

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系中,将曲线 ?

? x ? 4 cos α ( ? 为参数)上的每一点纵坐标不变,横坐 ? y ? sin α

标变为原来的一半,然后整个图象向右平移 1个单位,最后横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得到曲线 C1 . 以坐标原点为极点, x 的非负半轴为极轴,建立的极坐标中的曲线 C 2 的 方程为 ? ? 4 sin ? ,求 C1 和 C 2 公共弦的长度.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 对于任意实数 a(a ? 0) 和 b ,不等式 | a ? b | ? | a ? 2b |?| a | (| x ? 1 | ? | x ? 2 |) 恒成 立,试求实数 x 的取值范围.

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数学(理科)参考答案与评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
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一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (1)D (2)A (3)A (4)D (5) A (7)C (8)B (9)B (10)D (11)D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13) ln (15)

(6)C (12)A

2 3
O? BCD

(14) y ? ? 2 x
· OA +

V

V

O? ACD

· OB + V O? ABD · OC +

V

O? ABC

· OD = 0

(16)

20 5 ? 3

三、解答题:本大题共共 70 分. (17) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 sin

?ABC 3 1 1 ? ,所以 cos ?ABC ? 1 ? 2 ? ? . ······ 2 分 3 3 2 3

在 ?ABC 中,设 BC ? a, AC ? 3b , 则由余弦定理可得 9b ? a ? 4 ?
2 2

4 a 3

① ··············· 5 分

在 ?ABD 和 ?DBC 中,由余弦定理可得 cos ?ADB ?

4b 2 ?

16 ?4 3 , 16 3 b 3

cos ?BDC ?

b2 ?

16 ? a2 3 . ····················· 7 分 8 3 b 3

因为 cos ?ADB ? ? cos ?BDC ,

4b 2 ?
所以有

16 16 ?4 b2 ? ? a 2 2 2 3 3 ,所以 3b ? a ? ?6 ?? 16 3 8 3 b b 3 3



由①②可得 a ? 3, b ? 1 ,即 BC ? 3 . ·················· 9 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ?ABC 的面积为

1 2 2 ? 2 ? 3? ?2 2, 2 3

所以 ?DBC 的面积为

2 2 . ····················· 12 分 3

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(注:也可以设 BA ? a, BC ? b ,所以 BD ?

1? 2? a ? b ,用向量法解决;或者以 B 为 3 3 原点, BC 为 x 轴建立平面直角坐标系,用坐标法解答;或者过 A 作 BC 平行线交 BD延长线于 E ,用正余弦定理解答.具体过程略)

?

?

(18) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) E 为 BC1 中点. ························· 2 分 证法一:取 BC 中点 F ,连接 OF, EF . ················ 3 分 所以可得 OF // AB, EF // BB1 ,所以面 OEF // 面 A1 AB . ········· 5 分 所以 OE // 平面 A1 AB . ······················· 6 分 证法二:因为 A1 A ? A1C ,且O为 AC 的中点,所以 A1O ? AC .又由题意可知, 平面 AA1C1C ? 平面 ABC ,交线为 AC , 且 A1O ? 平面 AA1C1C ,所以 A1O ? 平面 ABC . 以O为原点, OB, OC , OA1 所在直线分别 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.????1 分 由题意可知, A1 A ? A1C ? AC ? 2, 又
A1

z
B1

C1

A

O
B
x

C y

1 AB ? BC , AB ? BC ,?OB ? AC ? 1, 2
所以得: O(0,0,0), A(0, ?1,0), A1 (0,0, 3), C(0,1,0), C1 (0,2, 3), B(1,0,0)

???? ? ???? ??? ? 则有: AC ? (0,1, ? 3), AA1 ? (0,1, 3), AB ? (1,1,0) . ············ 2 分 1
设平面 AA1 B 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则有

???? ?n ? AA1 ? 0 ? y ? 3z ? 0 ? 3 ? ,令 y ? 1 ,得 x ? ?1, z ? ? ?? ? ? ??? 3 ? x? y?0 ? n ? AB ? 0 ? ?
所以 n ? (?1,1, ?

3 ) . ························ 4 分 3
? x0 ? 1 ? ? ? 即 ( x0 ? 1, y0 , z0 ) ? ? (?1,2, 3) ,得 ? y0 ? 2? ? ? z0 ? 3?

??? ? ???? ? 设 E ? ( x0 , y0 , z0 ), BE ? ? BC1 ,

??? ? 所以 E ? (1 ? ?,2?, 3? ), 得 OE ? (1 ? ?,2?, 3? ), 由已知 OE // 平面 A1 AB ,
??? ? 1 得 OE ? n = 0 , 即 ?1 ? ? ? 2? ? ? ? 0, 得 ? ? . 2

即存在这样的点 E , E 为 BC1 的中点. ················· 6 分 (Ⅱ)由法二,已知 A1 B ? (1,0,? 3 ), A1C1 ? (0,2,0) ,设面 A1 BC1 的法向量为
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m ? ( a , b , c ) ,则 ? m 令c ?

?m ? m ? A1 B ? 0 ? ? ?a ? 3 c ? 0 ?0 2b ? 0 ? m ? A1C1 ? ?



3 ,所以 m ? (3,0, 3) . ··················· 8 分
? 3 ?1 2 7 m? n m·n = = . ··········· 10 分 7 7 m‖n mm 12 ? 3

所以 cos < m , n >=

由图可得二面角 A ? A1B ? C1 的大小为 arccos(?

2 7 ) . ·········· 12 分 7

(19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)>. ······························ 2 分 (Ⅱ)甲班有 4 人及格,乙班有 5 人及格. 事件“从两班 10 名同学中各抽取一人,已知有人及格”记作 A , 事件“从两班 10 名同学中各抽取一人,乙班同学不及格”记作 B ,

20 P( A ? B) 2 则 P( B | A) ? ? 100 ? . ················ 6 分 30 7 P( A) 1? 100
(Ⅲ)X 取值为 0,1,2,3
1 1 1 C6 C52 C6 C 1C 1 C4 C 2 19 2 ? 2 ? ; P( X ? 1) ? 1 ? 5 2 5 ? 1 ? 5 ? ; 1 2 C10 C10 15 C10 C10 C10 C10 45 1 1 1 1 1 C6 C52 C4 C5C5 16 C4 C 2 4 ; P( X ? 3) ? 1 ? 5 ? . ·· 10 分 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 2 45 C10 C10 C10 C10 C10 C10 45

P( X ? 0) ?

P( X ? 2) ?

所以 X 的分布列为

19 16 4 2 15 45 45 45 19 ? 32 ? 12 7 ? . ······················ 12 分 所以 E ( X ) ? 45 5
(20) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知 e ?
2 2

X P(X)

0

1

2

3

c 2 a 2 ? b2 1 c 2 2 ? . ? , 所以 e ? 2 ? a a2 2 a 2

即 a ? 2b . ···························· 2 分 又因为 b ?

2 ? 1 ,所以 a 2 ? 2 , b 2 ? 1. 1?1

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故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 . ··················· 4 分 2

(Ⅱ)由题意知直线 AB 的斜率存在. 设 AB : y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2

? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ?
x1 ? x2 ? 8k 2 8k 2 ? 2 , x1 ?x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

1 . ·············· 6 分 2

∵ OA ? OB ? t OP ,∴ ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) , x ?

x1 ? x2 8k 2 , ? t t (1 ? 2k 2 )

y?

y1 ? y2 1 ?4k ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? . t t t (1 ? 2k 2 )

∵点 P 在椭圆上,∴
2 2 2

(8k 2 )2 (?4k )2 ?2 2 ?2, t 2 (1 ? 2k 2 )2 t (1 ? 2k 2 )2

∴ 16k ? t (1 ? 2k ) . ························· 8 分

∵ PA? PB <

20 2 5 2 5 2 2 2 ,∴ 1 ? k x1 ? x2 ? ,∴ (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ?x2 ] ? 9 3 3

∴ (1 ? k )[
2

64k 4 8k 2 ? 2 20 , ? 4? ]? (1 ? 2k 2 )2 1 ? 2k 2 9
1 . ················· 10 分 4

2 2 2 ∴ (4k ?1)(14k ? 13) ? 0 ,∴ k ?



1 1 16k 2 8 ? k 2 ? ,∵ 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) ,∴ t 2 ? ? 8? , 2 4 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

∴ ?2 ? t ? ?

2 6 2 6 ?t ? 2, 或 3 3 2 6 2 6 )?( ,2) . ·············· 12 分 3 3

∴实数 t 取值范围为 (?2,?

(注意:可设直线方程为 m y ? x ? 2 ,但需要讨论 m ? 0 或 m ? 0 两种情况)
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(21) (本小题满分 12 分)

? ? 解: (Ⅰ)证明:假设存在 x0 , x0 ? (a, b),且x0 ? x0,使得
f (b) ? f (a ) f (b) ? f (a ) ? ? f ?( x 0 ) , ? f ?( x' 0 ) ,即 f ?( x0 ) ? f ?( x0 ) . b?a b?a
∵ f ?( x) ? 1分

ex ex ?( x) ,∴ g ?( x) ? ? m,记g ( x) ? f ? 0, f ?( x)是[a, b] 上的 1? ex (1 ? e x ) 2

单调增函数(或者通过复合函数单调性说明 f ' ( x ) 的单调性). ······ 3 分

? ? ∴ x0 ? x0,这与x0 ? x0 矛盾,即 x0 是唯一的. ············· 4 分
(Ⅱ) f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? , 原因如下: 2 2

(法一)设 x1 , x2 ? R,且x1 ? x2 , 则
x1 ? x2 x1 ? x2 x ?x x1 x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f ( ) ? ln(1 ? e ) ? ln(1 ? e ) ? x1 ? x2 ? 2[ln(1 ? e 2 ) ? 1 2 ] 2 2

? ln(1 ? e x1 )(1 ? e x2 ) ? ln(1 ? e

x1 ? x2 2

)2
x1 ? x2 2

? ln(1 ? e x1 ? e x2 ? e x1 ? x2 ) ? ln(1 ? 2e
∵e
x1

? e x1 ? x2 ) . ············ 5 分
x1 ? x2 2

? 0, e x2 ? 0,且x1 ? x2 ,? e x1 ? e x2 ? 2 e x1 e x2 ? 2e
x1

. ····· 6 分

∴1+ e

? e x1 ? e x1 ? x2 ? 1 ? 2e

x1 ? x2 2

? e x1 ? x2 ,
x1 ? x2 2

? ln(1 ? e x1 ? e x2 ? e x1 ? x2 ) ? ln(1 ? 2e ? ln(1 ? e x1 ? e x2 ? e x1 ? x2 ) ? ln(1 ? 2e
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (
(法二)设 F ( x) ? f (

? e x1 ? x2 ), ? e x1 ? x2 ) ? 0.
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . ····· 8 分 2 2

x1 ? x2 2

x1 ? x2 ), 2

?f(

x ? x2 f ( x) ? f ( x 2 ) x ? x2 1 f ' ( x) )? )? ,则 F ' ( x) ? f ' ( . 2 2 2 2 2

由(Ⅰ)知 f ' ( x ) 单调增. 所以当 x ? x2 即

x ? x2 x ? x2 1 f ' ( x) ? x 时,有 F ' ( x) ? f ' ( )? ?0 2 2 2 2

所以 x ? x2 时, F (x ) 单调减. ··················· 5 分

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当 x ? x2 即

x ? x2 x ? x2 1 f ' ( x) ? x 时,有 F ' ( x) ? f ' ( )? ?0 2 2 2 2

所以 x ? x2 时, F (x ) 单调增. ··················· 6 分 所以 F ( x) ? F ( x2 ) ? 0 ,所以 f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . ······ 8 分 2 2

(Ⅲ)证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ),且x1 ? x2 ? x3 ,因为 m ? 1 ∵ f ?( x) ?

ex 1 ? m ? 1? m ? x ? 0, f ( x)是x ? R 上的单调减函数. ? x 1? e e ?1

9分

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) . BA ? ( x1 ? x 2 , f ( x1 ) ? f ( x 2 )), BC ? ( x3 ? x 2 , f ( x3 ) ? f ( x 2 )), ∵ ∴ BA ? BC ? ( x1 ? x 2 )( x3 ? x 2 ) ? ( f ( x1 ) ? f ( x 2 ))( f ( x3 ) ? f ( x 2 )) . ···· 10 分 ∵ x1 ? x2 ? 0, x3 ? x2 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? 0, ∴ BA? BC ? 0,? cos B ? 0, ?B 为钝角. 故△ ABC 为钝角三角形. ···· 12 分

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 证明: (Ⅰ)连结 BC ,? AB 是直径,
? ? ?ACB ? 90? ,? ?ACB ? ?AGC ? 90 . ?2 分

? GC 切圆 O 于 C ,? ?GCA ? ?ABC . ?4 分 ? ?BAC ? ?CAG . ??????????5 分 (Ⅱ)连结 CF ,? EC 切圆 O 于 C , ? ?ACE ? ?AFC . ???????????6 分
又 ?BAC ? ?CAG, ? ?ACF

∽?AEC .

?8 分 图6

? AC ? AF ,? AC 2 ? AE ? AF . ????10 分 AE AC

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解:曲线 ? y ? sin α

? x ? 4 cos α ?

( ? 为参数)上的每一点纵坐标不变,

横坐标变为原来的一半得到 ? y ? sin α

? x ? 2 cosα ?

,················ 1 分

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然后整个图象向右平移 1个单位得到 ? ?

x ? 2 cosα ? 1 ,????????????2 分 ? y ? sin α
? x ? 2 cosα ? 1 , ······ 3 分 y ? 2 sin α ?

最后横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得到 ?

所以 C1 为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 , ······················ 4 分 又 C 2 为 ? ? 4 sin ? ,即 x 2 ? y 2 ? 4 y , ················· 5 分 所以 C1 和 C 2 公共弦所在直线为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 , ············· 7 分 所以 (1,0) 到 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 距离为

5 , 2

所以公共弦长为 2 4 ?

5 ? 11 . ··················· 10 分 4

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解:原式等价于

b |a ? b| ? |a ? 2b| ? |x ? 1| ? |x ? 2 | ,设 ? t , a |a|

则原式变为 | t ? 1 | ? | 2t ? 1 |?| x ? 1 | ? | x ? 2 | 对任意 t 恒成立. ······ 2 分

1 ? 3t ,t ? ? 2 ? 1 1 3 ? 因为 | t ? 1 | ? | 2t ? 1 |? ?? t ? 2 ,?1 ? t ? ,最小值为 t ? 时取到,为 . · 6 分 2 2 2 ? ? 3t ,t ? ?1 ? ? ?
所以有

?2 x ? 3,x ? 2 3 3 9 ? ≥ x ? 1 ? x ? 2 ? ? 1, <x<2 , 解得 x ? [ , ] .········· 10 分 1 2 4 4 ? 3 ? 2 x,x ? 1 ?

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