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2-流体运动基本方程


第二章
1. 连续性方程

流体力学基本方程

2. 流体的动量方程(N-S方程) 3. 流体的能量方程 4. 流体力学方程组和边界条件

1

1 连续性方程
? 质量守恒 在输运公式中,如某物理量 N 是质量,那么单位质量 流体所具有的这种物理量 η = 1 质量守恒定理 在流动过程中流体团体积V 的大小和形状 可能会发生变化,但质量保持不变。 故: dm = 0 dt
? ?ρ ? ? 输运公式变为: V ? ?t + ?x (ρu k )? dv = 0 k ? ?



积分形式的连续性方程

上述积分的积分区域V是任选的,要使积分恒等于零,只有被积函 数等于零,

?ρ ? ( ρu k ) = 0 + ?t ?x k

?u k Dρ +ρ =0 Dt ?x k

2

? 定常流动和不可压缩流体的连续方程 对于定常流动,
?ρ = 0 ?t

,连续方程可简化为,

?ρ ? ( ρu k ) = 0 + ?t ?x k

? ?xk

(ρ u k ) =

0

Dρ = 0 ,连续方程可简化为, 对于不可压缩流体, Dt

?u k Dρ +ρ =0 Dt ?x k

?u k = 0 ?x k

3

? 密度分层流动 不可压缩流体
Dρ = 0 Dt

上述定义并不要求这个流体质点与 另一个流体质点的密度相等,即不 要求密度场为均匀场。

ρ = ρ2 ρ = ρ1

密度分层流动
流体质点可沿 ρ = ρ1 线或 ρ = ρ 2 线流动,此时其密度保持为常数 ρ1 或 ρ 2 , 因此 D ρ = 0 ,但 ? ρ ≠ 0 , ? ρ ≠ 0 。
Dt

?x

?y

密度分层流动可能发生在大气中(由空气温度变化引起),也可 能发生在大洋中(由于水的含盐量变化引起)。
4

? 均质不可压缩流体 密度处处相等的不可压缩流体

Dρ = 0 Dt
?ρ = 0

密度不是 x、y、z的函数

D ρ ?ρ = + u ??ρ Dt ?t
密度也不是 t 的函数 均质不可压缩流体

?

?ρ =0 ?t

ρ = const

在绝大多数情况下,不可压缩流体也是均质的。
5

应用于定常管流时:

∫∫ ρ υ
A1

1 1n

dA = ∫∫ ρ 2υ 2 n dA
A2

υ1

截面A 截面 A1 上的质 截面A 截面 A2 上的质 量流量 量流量 和 υ 2 分别表示两个截面上的平均流速,并将截面取为有 效截面: 一维定常流动连续性方程

ρ1υ1 A1 = ρ 2 υ 2 A2

方程表明:在定常管流中的任意有效截面上,流体的质量流量 等于常数。 对于不可压缩流体:

υ1 A1 = υ 2 A2

方程表明:对于不可压缩流体的定常一维流动,在任意有效 : 6 截面上体积流量等于常数。

2. 流体的动量方程
2.1 流体的受力分析
2.1.1 流体的作用力 ? 体积力:外场对流体的作用
如地球对流体的作用力

f = ρ aδ V

f = ρ gδ V
电磁场对带电流体的作用力(Columb力和Lorentz力)等等

f = ρe ? E + ? V × H ? δ V ? ?
电荷密度 电场强度 磁导率 磁场密度

(

)

如果是非惯性参考系,则将存在惯性力,如离心力、科里奥利 (Coriolis)力等

7

2. 流体的动量方程
2.1.1 流体的作用力 ? 面积力:外场对流体的作用

f = p nδ S

所考虑的流体单元与同它接触的周围物体之间的作用力,是 一种分子力。 相对于宏观尺度而言,分子力的有效作用距离是一个很小的量
对于气体,它与分子平均自由程同一量级; ? 对于液体,则是单个分子作用力的半径,量级为1010m。

力的大小与分界面积的大小δS成正比,故称为面积力。

8

2.2 流体的动量方程
? 动量定理--流体系统动量的时间变化率等于外力的矢量和 单位质量流体的动量 流体系统的动量 作用在系统上的质量力 作用在系统上的表面力 系统上外力的矢量和 输运公式 动量定理

η =v
N = ∫∫∫ ρv dV

∫∫∫ ρ f
CV

V

dv

∫∫ p ds
n CS

∫∫∫ ρ fdV + ∫∫ p dA = ∑
n V A

dN F = dt

?

? ∫∫∫ ρ vdV + ∫∫ ρ vn vdA = ∫∫∫ ρ fdV + ∫∫ pn9dA ?t CV CS V A

dN ? = ∫∫∫ηρdV + ∫∫ηρvn dA dt ?t CV CS

? 微分形式的动量方程 D ∫ V ρ udv = ∫ S pn ds + ∫ V ρ fdv Dt D Du ∫ n ? σ ds = V ? ? σ dv ∫ ρ udv = ρ dv S Dt V Dt V





pn = n ?σ



ρ

V

Du dv = ? ?σ dv + ρ fdv Dt V V







ρ

V

Du dv = n ? σ ds + ρ fdv Dt S V







? Du ? ρ ? ? ? σ ? ρ f ? dv = 0 ? V ? Dt ?

Du ρ = ? ?σ + ρ f Dt

?u ρ + ρ (u ? ? ) u = ? ? σ + ρ f ?t

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? 用张量表示法表示动量方程
用张量表示法表示动量方程,

Du ρ = ? ?σ + ρ f Dt
?u ρ + ρ (u ? ? ) u = ? ? σ + ρ f ?t

Dui ?σ ij ρ = + ρ fi Dt ?x j
?u i ?u i ?σ ij ρ + ρu j = + ρ fi ?t ?x j ?x j

方程左边表示单位体积流体的动量变化率:第一项是当地加 速度项;第二项是对流加速度项,由速度分布的不均匀性引起 ,即使是定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度项是非 线性的。 方程右边第一项是应力张量的散度,表示作用在单位体积流 11 体上的表面力;第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。

?

守恒形式的动量方程
D Dt



ρ udv =

V



S

p n ds + ρ fdv
V



pn = n ? σ,

∫ n ? σdS = ∫ ? ? σdV
S V

? ?( ρ u ) ? ∫ V ? ?t + ? ? ( ρuu )? dv = ∫ V ? ? σdv + ∫ V ρ fdv ? ?

? ?( ρ u ) ∫ V ? ?t + ? ? ( ρ uu ) ? ? ? σ ? ρ ?

? f ? dv = 0 ?

?( ρu ) + ? ? ( ρ uu ) = ? ? σ + ρ f ?t

12

微分形式的 动量方程

?σ ij ? ? ρu j + ρu j u k = +ρ fj ?t ?x k ?xi

( )
uu

(

)

并矢是二阶张量。
应力的合力和体 积力

流体质点的加速 度

dui 1 ?σ ij = + f j 牛顿第二定律 dt ρ ?xi
13

2.3 N-S方程
动量方程, 本构方程
?σ ij

ρ

Du j Dt

=

?σ ij ?xi

+ ρ fj

? = ?xi ?xi

? ? ?u i ?u j ?? ?u k ?? + ?? + ?? pδ ij + λδ ij ? ?x ? ?x k ? ? j ?xi ?? ? ? ? ?p ? ? ?u k ? ? ? ? ?u i ?u j ?? ? ?λ ?+ =? + + ? ?? ? ?x j ?x j ? ?x k ? ?xi ? ? ?x j ?xi ?? ? ? ? ??

?p ? ρ =? + Dt ?x j ?x j Du j

? ?u k ? ? ? ? ?u i ?u j ? ?λ ? ?x ? + ?x ? ? ? ?x + ?x ? k ? i ? ? j i ? ?

?? ?? + ρ f i ?? ??

Du ρ = ??p + ?(λ? ? u ) + ? ? (2 ? s) + ρ f Dt
s是应变率张量
?ui ?u j + =2s ?x j ?xi

?u k = ??u ?x k
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?不可压缩流体(动力粘性系数为常数)
?p ? =? + ρ ?x j ?x j Dt Du j ? ?u k ? ? ? ? ?u i ?u j ? ?λ ? ?x ? + ?x ? ? ? ?x + ?x ? k ? i ? ? j i ? ? ?? ?? + ρ f i ?? ??

? ?xi

? ? ?u i ?u j + ?? ? ? ?x ? ? j ?xi ?

?? ?? = ? ? ?? ?xi ??

? ?u i ? ? ?x ? j

? ?+? ? ? ?xi ?

? ?u j ? ? ?x ? i

? ? ? ?

? =? ?x j

? ?u i ? ? ?x ? i

? 2u j ? 2u j ? ?+? =? 2 2 ? ?xi ?xi ?

?p ρ =? +? + ρ fj 2 Dt ?x j ?xi Du j

? 2u j

Du ρ = ??p + ?? ? ?u + ρ f Dt

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? 欧拉方程( ? = 0)
?p =? ρ +? + ρ fj 2 Dt ?x j ?xi Du j ? 2u j

Du i ?p ρ =? + ρ fi Dt ?xi
Du ρ = ?? p + ρ f Dt
欧拉方程适用于:平面和空间无旋运动、水波运动等 a. 水波在河中传播时,在较长的距离上,仍不衰减。 b. 大气在高空中运动时,可以长驱直入,常常跨越数千 公里。 但是,无法解释物体在流体中运动的阻力和管道、渠道 等的压力损失
16

3. 流体的能量方程
3.1 能量的存在方式
? 流体宏观运动的机械能 ? 流体分子热运动能量(内能) ? 化学反应的化学能(如燃烧等 ? 其他原因(如凝固、蒸发等) 状态量

3.2 能量的改变
? 做功 ? 传热
热传导 辐射 对流
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3.3 热力学第一定理
对于一个静止的热力学系统(或起始和终止状态处于静 止的系统):系统内能的增加等于外力对系统所作的功与 外界传递给系统的热量之和。 一个确定的流体团也可看作一个热力学系统,流体质点 总在流动中,设该系统偏离平衡态不远:系统总能量的变 化率(包括内能和动能)等于外力对系统的作功功率与通 过导热向系统的传热功率之和。

18

任取流动系统体积V,外表面S,表面外法线单位矢量为 n 单位质量流体的能量 流体系统的能量
u ? u e为单位质量流体的热力学能 η = e+ 2 u2/2为单位质量流体的动能 u ?u N = ∫∫∫ ρ (e + ) dV 2 CV

输运公式

dN ? = ∫∫∫ ηρ dV + ∫∫ ηρ vn dA dt ?t CV CS = ? u ?u u ?u ρ (e + )dV + ∫∫ ρ un (e + )dA ∫∫∫ ?t CV 2 2 CS

流体系统中, 流体系统中,能量的时间全变化率等于作用在系 统上的质量力和表面力所作的功率以及与外界的换热 率之和
? u ?u u ?u ∫∫∫ ρ (e + 2 )dV + ∫∫ ρ un (e + 2 )dA = ∫∫∫ ρ f ? udV + ∫∫ pn ? udA ? ∫∫ n ? qds ?t CV CS CV CS cs
质量力作功功率 表面力作功功率
19

高斯定理



S

u ? pn ds = ∫ u ? ( n ? σ ) ds
S

= ∫ n ? ( σ ? u ) ds = ∫ ? ? ( σ ? u ) dv
S V


得到:

n ? qds = ? ? qdv
S V



uj ?uj ? uj ?uj ? ? ? ? ? ∫∫∫ ?t ? ρ (e + 2 ) ? dV + ∫∫∫ ? ?xi ρ ui (e + 2 ) ?dV ? ? ? CV CV ? = ∫∫∫ ρ f j ? u j dV + ∫∫ σ ij n j ui dA ? ∫∫ ni ? qi ds
CV CS cs

积分形式的能 量方程
20

? ∫∫ σ ij n j ui dA = ∫∫∫ ?xi (σ ij n j )dV CS CV
uj ?uj ? ? ? ? ∫∫∫ ?t ? ρ (e + 2 ) ? dV + ∫∫∫ ?xi ? ? CV CV

?qi ∫∫ ni ? qi ds = ∫∫∫ ?xi dV cs CV

uj ?uj ? ? ) ?dV ? ρ ui (e + 2 ? ? ?qi ? = ∫∫∫ ρ f j ? u j dV + ∫∫∫ (σ ij n j ) dV ? ∫∫∫ ?x dV ?xi i CV CV CV

uj ?uj ? ? ? ρ ui (e + 2 ) ? ? ? ?qi ? 微分形式的能 = ρ f j ?uj + (σ ij n j ) ? ?x ?xi 量方程 i
21

uj ?uj ? ? ? ? ? ρ (e + 2 ) ? + ?x ?t ? ? i

? 第一步简化
vj ?vj ? ? ? ? )? + ? ρ (u + ?t ? 2 ? ?xi ? ? ? vj ?vj ? )? ? ρ vi (u + 2 ? ? ? ?

v j ? v j ? ?ρ ? vj ?vj ? ?? ? ? = (u + )? + ) ( ρ vi ) ? + ρ ? + ? (u + 2 ? ?t ?xi 2 ? ? ?t ?xi ?

得到:
vj ?vj D 1 ? 1 ?qi (u + ) = f j ?vj + (σ ij n j ) ? ρ ?x ρ ?xi Dt 2 i
单位质量 流体的能 量变化率 体积力 面积力 热传导 22

单位质量流体吸收的功率和热能

? 机械能方程
动量方程

Dui ?σ ij ρ = + ρ fi Dt ?x j
?σ ij Du i ρu i = ui + ρ ui f i Dt ?x j

两边同乘 u i ,

上述方程可看作在 i 方向的受力平衡式和速度作点乘,即 方程两边都乘以 u i ,表示力的机械功功率,所以上式是 机械能守恒方程。

?σ ij D ?1 ? ρ ? ui ui ? = ui + ρ ui f i Dt ? 2 ?x j ?

23

? 内能方程
?σ ij ?qi D? 1 ? ?u j ρ ? e + ui ui ? = σ ij + u j + ρ ui fi ? Dt ? 2 ?xi ?xi ? ?xi ?σ ij D ?1 ? ρ ? ui ui ? = ui + ρ ui fi ?x j Dt ? 2 ?
总能量方程减去机械能方程

?u j ?q i De ρ = σ ij ? Dt ?xi ?xi ?u j ?qi ?e ?e ρ + ρu k = σ ij ? ?t ?x k ?xi ?xi
上式左边表示内能的变化率,第一项是当地变化率,第二项是对流变 化率,是由于流体质点从一个区域运动到另一个区域引起的。公式右 边是引起内能变化的动因,第一项表示由于表面力的作用引起的机械 能向内能的转换功率,第二项则表示由于导热从外界向系统内部的传 热功率。
24

? 内能方程
?u j ?u k σ ij = (? pδ ij + τ ij ) = ?p + τ ij ?xi ?xi ?x k ?xi
σ ij
?u j ?xi
?u k ?x k

?u j

?u j

,表示表面力作功功率,可包括两部分:
压缩功功率,表示流体体积变化时,外部压强在单位时间内 对单位体积流体作功的功率,这种转变是可逆的;

?p

? ? ?u ?u j ?u φ = τ ij = ?λδ ij k + ? ? i + ? ?x ?xi ? ?x k ? j ?xi ? ?u j

?? ?u j ? ?u ?? = λ? k ? ?x ?? ?x ? k i ??

? ?u ?u ? ? + ?? i + j ? ? ?x ? ? j ?xi
2

? ?u j ? ? ?x ? i

这部分机械能向内能的转变是不可逆的,在一切流体和一切流动中总大于 零。
? ?q j ?x j =? ? ?x j ? ? ? k ?T ? ?x j ? ? ? ? = ? ? k ?T ? ?x ? ?x j ? j ? ? ? ? ?

φ 称耗损函数,表示流体变形时粘性应力对单位体积流体的作功功率,

导热功率

?u De ? ρ = ?p k + Dt ?x k ?x j

? ?T ?k ? ?x j ?

? ? +φ ? ?

ρ

De = ? p? ? u + ? ? (k?T ) + φ Dt

25

4 牛顿流体的基本方程组
基本方程组包括连续方程,N-S 方程,能量方程及状态方程 和内能公式,
? ? ?ρ + ? ?t ?x ( ρu k ) = 0 k ? ? Du j ?p ? ? ?u k ? ? ? ? ?u i ?u j ?? ? ? ?λ =? + ?ρ ? ?x ? + ?x ? ? ? ?x + ?x ?? + ρ f j ? Dt ?x j ?x j ? k ? i ? ? j i ?? ? ? ? 2 ? ? De ? ?u ? ?u ? ? ?u k ? ? ?T ? ?k ? + λ ? ?u k ? + ? ? ?u i + j ? j ?ρ = ?p + ? ?x ? ? ?x ? ?x k ?x j ? ?x j ? ? Dt ? k? ? ? ? j ?xi ? ?xi ? ? ? p = p(ρ , T ) ? ? ? e = e(ρ , T )                      ?

以上方程包括7个标量方程,7个未知量:uj,ρ , p ,e, T ,方程组是 封闭的。方程中出现的λ,?,κ等参数均可认为是 p 和 T 的函数。 对完全气体,状态方程和内能公式可分别写为 p = ρ RT , e = CV T 。 通常考虑的质量力是重力,此时单位质量力可用重力加速度来表示 f = g 26

?不可压缩流体(动力粘性系数μ为常数)
? ?u k ? ?x = 0 ? k ? Du ? 2u j ?p j ?ρ =? +? + ρ fj ? Dt ?x j ?xi ?xi ?

当密度ρ为常数时,上述连续方程和N-S方程共4个标 量方程,未知量uj 、p也是4个,形成一个封闭的方程 组。也就是说,压强场和速度场只需求解以上方程组 即可得到,然后再求解能量方程得到温度场,流体动 力学问题和热力学问题可分开求解,能量方程和连续 方程、N-S方程不再耦合在一起,使问题得到简化。
27

5. 初始条件和边界条件
流体力学微分方程组是描述流体运动的普遍适用的方程组,要确定 某种具体的流体运动,也就是要找出方程组的一组确定的解,还需 要给出初始条件和边界条件。 初始条件就是在初始时刻流体运动应该满足的初始状态,即t=t0时
u (r , t 0 ) = u 0 (r ), p (r , t 0 ) = p 0 ( r )
ρ (r , t 0 ) = ρ 0 (r ), T (r , t 0 ) = T0 (r )

边界条件指在流体运动边界上方程组的解应该满足的条件,本节主要 研究两种介质界面上的边界条件。这里说的界面是指两种介质的接触 面,其中至少有一种介质是我们所考虑的流体,并假设分界面两边的 物质互不渗透,原来的边界在以后时刻永远是两介质的界面。
28



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