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湖北省黄冈中学2014-2015学年上学期高一期中数学试题


湖北省黄冈中学 2014 年高一秋季期中考试数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? ?x ? N | x ? 6?

,则下列关系式错误的是( A. 0 ? A
1

) D. 6 ? A

B. 1.5 ? A

C. ? 1 ? A ) C. ? 0,1?

2. 函数 y ? ?1 ? x ? 2 ? log 3 x 的定义域为( A. ? ??,1? B. ? 0,1?

D. 0,1 )

? ?

3. 设集合 U ? R ,集合 A ? x | x ? 2 x ? 0 ,则 ? U A 等于(
2

?

?

A. x | x ? 0或x ? 2 C. ?x | 0 ? x ? 2?

?

?

B. x | x ? 0或x ? 2 D. ?x | 0 ? x ? 2? )

?

?

?1 ? x 2 , x ? 1 ? 1 ? ? 4. 设函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f ? ? 的值为( ? ? f (2) ? ? x ? x ? 2, x ? 1
A.

15 16
lg( x ?1)

B. ?

27 16


C.

8 9

D. 18

5. 与函数 y ? 10 A. y ? x ? 1

相等的函数是( B. y ?| x ? 1| )

? x ?1 ? C. y ? ? ? ? x ?1 ?

2

x2 ?1 D. y ? x ?1

6. 已知 0 ? a ? b ? 1 ,则( A. 3 ? 3
b a

B. loga 3 ? logb 3

C. (lg a) ? (lg b)
2
2

2

D. ( ) ? ( )
a

1 e

1 e

b

7. 已知 f ( x ) 是偶函数,g ( x) 是奇函数, 且 f ( x) ? g ( x) ? 2x ? 2x ? 1 , 则 f (? 1 ) ?( A. 3 B. ? 3 ) C. 2 D. ? 2



8. 函数 y ? ln(1 ? x) 的图像大致为(

1

9. 已知 f : x ? x 2 是集合 A 到集合 B ? ?0,1,4? 的一个映射,则集合 A 中的元素个数最多 有( A.3 个 ) B.4 个 C.5 个 D.6 个 )

2 10. 设a ? 0且a ?1 , 函数 f ( x) ? log a ax ? x 在 ?3, 4? 上是增函数, 则 a 的取值范围 (

A.

1 1 ? a ? 或a ?1 6 4 1 1 ? a ? 或a ?1 8 6

B.

1 1 ? a ? 或a ?1 8 4 1 或a ?1 4

C.

D. 0 ? a ?

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.已知幂函数 f ( x) ? x? 的图像过点 ? 4, 2 ? ,则 ? ? _____________________. 12.计算 27
? 1 3

? lg 0.01 ? ln e ? 3 log3 2 ? _____________________.

13.已知集合 A ? ? a, a 2 , 4 , B ? ?? a 3 ,
3

?

?

? ? ? ?

a b? ? , 2 ? 且 A ? B ,则 a ? b ? _____________. a ? ?
y y=f(x)

14.设奇函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?5,5? ,若当

x ??0,5? 时, f ( x) 的图像如右图所示,则不
等式 f ( x) ? 0 的解集是_____________________. 0 2 5 x

y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 15. 设 a 为常数且 a ? 0 , 当 x ? 0 时,f ( x) ? x ?
2

a2 ?2, x

若 f ( x) ? a ?1 对一切 x ? 0 都成立,则 a 的取值范围为_____________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)记关于 x 的不等式 的解集为 T . (1)若 a ? 1 ,求 S T 和 S T ; (2)若 S ? T ,求 a 的取值范围.

x?a ? 0 ? a ? 0 ? 的解集为 S ,不等式 x ?1 ? 1 x

2

17. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a, b ? R) , 若 f1 ) ( ? 1? 且函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称. (1)求 a , b 的值; (2)若函数 f ( x ) 在 ? k , k ? 1? ? k ? 1? 上的最大值为 8,求实数 k 的值.

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ? 1) ? lg

x . 2? x

(1)求函数 f ( x ) 的解析式,并判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)解关于 x 的不等式: f ( x) ? lg ?3x ?1? .

19. (本小题满分 12 分)某上市股票在 30 天内每股的交易价 格 P (元)与时间 t (天)组成有序数对 ? t , P ? ,点 ? t , P ? 落在图中的两条线段上; 该股票在 30 天内的日交易量 Q (万股)与时间 t (天)的部分数据如下表所示 第t 天 4 36 10 30 16 24 22 18

P
6 5

2

O

10

20

30

t

Q (万股)

(1)根据提供的图像,写出该种股票每股交易价格 P (元)与时间 t (天)所满足的函 数关系式; (2)根据表中数据,写出日交易量 Q (万股)与时间 t (天)的一次函数关系式; (3)用 y (万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并求在这 30 天内 第几天日交易额最大,最大值为多少?

3

20. (本小题满分 13 分)已知指数函数 y ? g ? x ? 满足: g ( ?3) ?

1 ,定义域为 R 的函数 8

f ( x) ?

c ? g ( x) 是奇函数. 1 ? g ( x)

(1)求函数 g ( x) 与 f ( x ) 的解析式; (2)判断函数 f ( x ) 的单调性并证明之; (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? m 在 x ?? ?1,1? 上有解,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)已知 f ( x ) 对任意的实数 m, n 都有: f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 , 且当 x ? 0 时,有 f ( x) ? 1 . (1)求 f (0) ; (2)求证: f ( x ) 在 R 上为增函数; (3) 若 f (6) ? 7 , 且关于 x 的不等式 f (ax ? 2) ? f ( x ? x ) ? 3 对任意的 x ?? ?1, ??? 恒
2

成立,求实数 a 的取值范围.

4

黄冈中学 2014 年高一秋季期中考试数学试题 参考答案(附评分细则)
一、选择题: DBDAC 二、填空题: 11. BACCA

1 2

12. ?

1 6

13. 3

14. ? ?2,0?

? 2,5?

15. ? ?1,0?

一、选择题 1.解析: A ? ?0,1, 2,3, 4,5? ,故选 D 2.解析: 1 ? x ? 0 且 x ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ,故选 B 3.解析: A ? x | x ? 2或x ? 0 ,则 ? U A ? ?x | 0 ? x ? 2? ,故选 D

?

?

? 1 ? 4.解析: f (2) ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 , f ? ?? ? f (2) ?
2

?1? ? 1 ? 15 f ? ? ? 1 ? ? ? ? ,故选 A ?4? ? 4 ? 16

2

5.解析: y ? 10lg( x?1) ? x ? 1( x ? 1) ,故选 C 6.解析:利用指数函数、对数函数的单调性可以判断 C 正确,ABD 都错,故选 C 7.解析:令 x ? 1 ,得 f (1) ? g (1) ? 1,令 x ? ?1 ,得 f (?1) ? g (?1) ? 5 两式相加得: f (1) ? f (?1) ? g (1) ? g (?1) ? 6 ,即 2 f (?1) ? 6 , f (?1) ? 3 8.解析:函数的定义域为 ? ??,1? 且在定义域上单调递减,故选 C 9.解析:令 x ? 0,1, 4 ,解得: x ? 0, ?1, ?2 ,故选 C
2
2 10.解析:令 u ( x) ? ax ? x ,则 y ? log a u ,所以 u ( x) 的图像如图所示

当 a ? 1 时,由复合函数的单调性可知,区间 ?3, 4? 落在 ? 0,

? ?

1? 2a ? ?

或?

1 1 ?1 ? 或 ? 3 ,故有 a ? 1 , ?? ? 上,所以 4 ? 2a a ?a ?

当 0 ? a ? 1 时,由复合函数的单调性可知, ?3, 4? ? ? 所以

? 1 1? , ? ? 2a a ?

1 1 1 1 1 1 ? 3 且 ? 4 解得 ? a ? ,综上所述 a ? 1 或 ? a ? ,故选 A 2a 6 4 6 4 a
?

二、填空题 11.解析: 4 ? 2 ,解得 ? ? 12.解析:原式=

1 2

1 1 1 ?2? ?2 ? ? 3 2 6
5

13.解析:由集合元素的互异性可知: ?a ? a 且 a ? 0 ,所以 a ? 0
b 所以 A ? ??a, a,4? , B ? ? a,1, 2b ,故 a ? 1 且 4 ? 2

?

?

所以 a ? 1, b ? 2 ,故 a ? b ? 3 14.解析:由奇函数的图像关于原点对称可知 f ( x) ? 0 的解集为 ? ?2,0?

? 2,5?

15.解析:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,则 0 ? a 2 ? 1 ,解得 ?1 ? a ? 1 ,所以 ?1 ? a ? 0 当 x ? 0 时,? x ? 0 , f (? x) ? ? x ? 由对勾函数的图像可知,当 x ?

a2 a2 ? 2 ,则 f (x) ?? f (?x) ? x ? ? 2 ?x x

a 2 ? a ? ?a 时,有 f ( x)min ? ?2a ? 2

所以 ?2a ? 2 ? a 2 ?1 ,即 a 2 ? 2a ? 3 ? 0 ,解得 ?3 ? a ? 1 ,又 a ? 0 所以 ?3 ? a ? 0 ,综上所述: ?1 ? a ? 0 三、解答题 16.解: (1) T ? ? 0,2? 当 a ? 1 时, S ? ? 0,1? 1分 2分 4 分, S

S T ? ? 0,2?

T ? ? 0,1?

6分 8分

(2)因为 a ? 0 ,所以 S ? x | x ? x ? a ? ? 0 ? ?x | 0 ? x ? a? 则 ? 0, a ? ? ? 0, 2? ,所以 a ? 2 又 a ? 0 ,所以 0 ? a ? 2 12 分 10 分

?

?

17.解: (1)由题意可得: f (1) ? a ? b ? ?1 且 ? 解得: a ? 1, b ? ?2
2 (2) f ( x) ? x ? 2 x ? ? x ? 1? ? 1 2

b ?1 2a
6分

4分

因为 k ? 1 ,所以 f ( x ) 在 ? k , k ? 1? 上单调递增 所以 f ( x) max ? f (k ? 1) ? ? k ? 1? ? 2( k ? 1) ? 8
2

7分 9分

解得: k ? ?3 又 k ? 1 ,所以 k ? 3 18.解: (1)令 t ? x ? 1 ,则 x ? t ? 1

11 分 12 分

6

所以 f (t ) ? lg

t ?1 t ?1 ? lg 2 ? ? t ? 1? 1? t
x ?1 (?1 ? x ? 1) 1? x

2分

所以 f ( x) ? lg

3分

注:若没写定义域或定义域错误扣一分 因为 f ( x ) 的定义域关于原点对称

1? x ? 1? x ? ? 1? x ? 且 f (? x) ? lg ? lg ? ? ? ? lg ? ? ? ? f ( x) 1? x ? 1? x ? ? 1? x ?
所以 f ( x ) 是奇函数 (2) lg 6分 7分

?1

x ?1 x ?1 ? lg(3x ? 1) ? ? 3x ? 1 ? 0 1? x 1? x 1 由 3x ? 1 ? 0 得 x ? ? 3

x ? 1 ? ? 3x ? 1? (1 ? x) x ?1 x ?1 ? 3x ? 1 , ? ? 3x ? 1? ? 0 , ?0 1? x 1? x 1? x


3x 2 ? x 3x 2 ? x ?0, ?0 1? x x ?1

9分



x ? 3x ? 1? ? 0 ? x ? x ? 1?? 3x ? 1? ? 0 且 x ? 1 x ?1
1 ? x ?1 3
11 分

10 分

解得: x ? 0 或

又 x ? ? ,所以原不等式的解集为 ? ? ,0? 3 3 注:区间端点错一个扣一分 19. (1)当 0 ? t ? 20 时,设 P ? at ? b

1

? 1 ?

? ?

?1 ? ? ? 3 ,1? ?

12 分

?b ? 2 ?b ? 2 1 ? ?? 由图像可知此图像过点 ? 0, 2 ? 和 (20,6) ,故 ? 1 , ?P ? t ? 2 5 ?6 ? 20a ? 2 ? a ? 5 ?

同理可求当 20 ? t ? 30 时,? P ? ?

1 t ?8 10
4分

?1 t ? 2, 0 ? t ? 20, t ? N ? ?5 ?P ? ? ?? 1 t ? 8, 20 ? t ? 30, t ? N ? ? 10
7

注:少写一个或写错一个扣 2 分,区间写错或没写 t ? N 扣 1 分 (2)设 Q ? ct ? d ,把所给表中任意两组数据代入可求得 c ? ?1, d ? 40 , ?Q ? ?t ? 40, 0 ? t ? 30, t ? N 6分 (3)首先日交易额 y (万元)=日交易量 Q (万股) ? 每股交易价格 P (元)

? 1 ? (t ? 15)2 ? 125 0 ? t ? 20, t ? N ? ? 5 ?y ? ? ? 1 ? t ? 60 ?2 ? 40 20 ? t ? 30, t ? N ? ?10
当 0 ? t ? 20 时,当 t ? 15 时, ymax ? 125 万元 当 20 ? t ? 30 时, y 随 t 的增大而减小 20.解: (1)设 g ( x) ? a x ,则 g ( ?3) ? a 解得: a ? 2 ,所以 g ( x) ? 2x 所以 f ( x) ?
?3

8分

9分 10 分 12 分

故在 30 天中的第 15 天,日交易额最大为 125 万元.

?

1 8
1分

c ? 2x c ?1 ? 0 ,所以 c ? 1 ,令 f (0) ? 0 得 x 2 1? 2
1 ? 2x 为奇函数,符合题意 1 ? 2x

3分

经检验,当 c ? 1 时, f ( x) ?

4分

所以 f ( x) ?

1 ? 2x 1 ? 2x
5分

(2) f ( x ) 在 R 上单调递减

证明如下:任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则

1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 ?1 ? 2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2

?1 ? 2 ?
?
因为 2 1 ? 0, 2
x x2

x1

? 2 x2

??1 ? 2 ? ? ?1 ? 2 ??1 ? 2 ? ?1 ? 2 ??1 ? 2 ? ?2 ? ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?1 ? 2 ??1 ? 2 ?
x1 x2 x2 x1 x1 x2 x1 ? x2 x2 x1 x1 ? x2 x1 x2

2(2 x2 ? 2 x1 ) 2 ? 2 x1 (2 x2 ? x1 ? 1) ? ?1 ? 2x1 ??1 ? 2 x2 ? ?1 ? 2 x1 ??1 ? 2 x2 ?

7分

? 0 ,所以 ?1 ? 2 x1 ??1 ? 2 x2 ? ? 0
x2 ? x1

而 x1 ? x2 ,所以 x2 ? x1 ? 0 , 2

? 1 , 2 x2 ? x1 ? 1 ? 0

8分

8

2 ? 2 x1 (2 x2 ? x1 ? 1) 所以 ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?1 ? 2x1 ??1 ? 2 x2 ?
所以 f ( x ) 在 R 上单调递减 9分

(3)由(2)知 f ( x ) 在 ??1,1? 上单调递减,所以 f ? ?1? ? f ( x) ? f (1) 即 f ( x ) 在 ??1,1? 上的值域为 ? ? , ? 3 3

? 1 1? ? ?

11 分

要使得关于 x 的方程 f ( x) ? m 在 x ?? ?1,1? 上有解,则 实数 m 的取值范围为 ? ? , ? 3 3

? 1 1? ? ?

13 分

21.(1)解:令 m ? n ? 0 ,则 f ? 0? ? 2 f ? 0? ?1,解得 f ? 0? ? 1 (2)证明:设 x1 , x2 是 R 上任意两个实数,且 x1 ? x2 ,则 令 m ? x2 ? x1 , n ? x1 ,则 f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ?1 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ?1 由 x1 ? x2 得 x2 ? x1 ? 0 ,所以 f ( x2 ? x1 ) ? 1 故 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以 f ( x ) 在 R 上为增函数 (3)由已知条件有: 7分

3分

5分

f (ax ? 2) ? f ( x ? x 2 ) ? f ? ax ? 2 ? x ? x 2 ? ? 1
2 故原不等式可化为: f ax ? 2 ? x ? x ? 1 ? 3 2 即f ? ? ? x ? ? a ? 1? x ? 2 ? ??2

?

?

而当 n ? N 时, f (n) ? f (n ? 1) ? f (1) ? 1 ? f (n ? 2) ? 2 f (1) ? 2

?

? f (n ? 3) ? 3 f (1) ? 3 ? ?????? ? nf (1) ? (n ? 1)
所以 f (6) ? 6 f (1) ? 5 ,所以 f (1) ? 2
2 故不等式可化为 f ? ? ? x ? ? a ? 1? x ? 2 ? ? ? f (1)

9分

9

由(2)可知 f ( x ) 在 R 上为增函数,所以 ? x ? ? a ? 1? x ? 2 ? 1
2

即 x ? ? a ? 1? x ? 3 ? 0 在 x ?? ?1, ??? 上恒成立
2

10 分

令 g ( x) ? x ? ? a ? 1? x ? 3 ,即 g ( x)min ? 0 成立即可
2

(i)当

a ?1 ? ?1 即 a ? ?3 时, g ( x) 在 x ?? ?1, ??? 上单调递增 2

则 g ( x)min ? g (?1) ? 1 ? (a ? 1) ? 3 ? 0 解得 a ? ?5 ,所以 ?5 ? a ? ?3 11 分 (ii)当

a ?1 ? ?1 即 a ? ? 3 时 2

有 g ( x)min ? g (

a ?1 ? a ?1 ? a ?1 )?? ?3? 0 ? ? (a ? 1) 2 2 ? 2 ?

2

解得 ?2 3 ?1 ? a ? 2 3 ?1 而 ?3 ? ?2 3 ? 1 ,所以 ?3 ? a ? 2 3 ?1 综上所述:实数 a 的取值范围是 (?5, 2 3 ? 1) 13 分 14 分

注: (i)(ii)两种情况少考虑一种或计算错一种扣两分,最后综上所述错误扣一分

10


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