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数学软件选讲matlab等


数学软件选讲
? Mathematica ? Matlab ? SAS

第 一 篇
Mathematica

? 基础知识
? 作为一门新的编程语言

? 图形处理(二维、三维及其参数方程的形式)
? 极限、微分与积分

? 求解方程(组)、微分方程(组)


? 在线形代数方面的应用

? 数值处理
? 文件及其它高级操作

第一章 基础知识
一、Mathematica3.0 界面及运行介绍
二、基本数值运算

1. 整数运算:加、减、乘、除、幂、阶乘
2. 数学常量:E、Pi、I、Degree、Infinity 3. 函数及数学函数 4. 浮点数及复数运算:N函数

三、变量及表达式
1. 变量的定义及清除 ◆ 变量的特点 (1) 变量的默认作用域是全局的 (2) 全局变量不需事先定义或声明 (3) 尽量避免使用下划线定义变量

2. 多项式及其操作
(1) 定义、替换符操作

(2) 常用操作:
Expand、Factor、Together、Part Simplify、Collect、Coefficient、 Exponent

四、序列及其操作
1. 序列的定义 2. 序列的生成:Table函数 3. 序列的操作

(1) 添加删除:Append、Prepend、Insert、
Delete、DeleteCases

(2) 取元素:Part、Take、Drop、Select
(3) 检测:Length、Count、Position

五、表达式“头”的概念: Head及Apply函数

六、自定义函数
1. 一元函数 例: Clear[f,x]
f[x_]:= x^2+4x-2

2. 多元函数 例: f[x_,y_]:= 3. 迭代函数 例:f[n_]:=
f[n-1]+f[n-2]; x^2+y^2-3

f[0]= 1; f[1]=1;

第二章 编程语言 1· 条件语句
◆ 逻辑判断符 == >= <= > === =!=

<

!=

◆ 逻辑运算符 ! || &&
◆ /;运算符 x = a /;test 仅当test为True时才执行赋值语句 ◆ If 语句 语法:If [test, then, else] 若test为 True,则执行then,若test为 False,则执行else.

◆ Which 语句 语法:Which [test1, value1, test2,…] 依次计算testi,给出对应第一个test 为True 的value ◆ Switch[expr,form1,value1,form2,…] 比较expr与formi,给出与第一个form 值匹配的value

例1. 定义如下的函数:
?0 ? ? ? x ? 2 ?x ? x ?? 0 0? x? 2 x? 2

① 使用 /; 定义: f [x_]:= 0 /;x<=0 f [x_]:= x /; x>0&&x<=2 f [x_]:= x^2 /; x>2

② 使用 If 定义: f [x_]:= If [ x<=0, 0, If [x>2, x^2, x ] ]
③ 使用Which定义: f [x_]:= Which [ x<=0, 0, x>2, x^2, True, x ]

2· 输出语句Print

3· 循环语句
◆ Do 语句 语法:Do[expr, {i, imin, imax, di}] 计算expr,i=imin,…,imax,步长为di
◆ While 语句 语法:While[test, body] 当test为True时,计算body

◆ For 语句
语法:For[start, test, incr, body] 以start为起始值,重复计算body和 incr,直到test为False时为止 ◆ 循环控制语句Break和Continue Break[] 退出最里面的循环 Continue[] 转入当前循环的下一步

第三章 图形处理
1. 基本二维图形

① Plot[ f, { x, xmin, xmax}],用于
绘制形如y =f (x)的函数的图形。 当将多个图形绘制在同一坐标系上时, 形如: Plot[{ f1,…, fn},{x, xmin, xmax}]

注意:有时需要使用Evaluate函数。

例:在同一坐标系下绘出 sinx, sin2x, sin3x, sin4x, sin5x 的图形。 常用的选项:

PlotStyle->Hue[a] DisplayFunction
AspectRatio 比

设置线条颜色 控制图形显示
图形的宽、高

PlotRange->{a,b} 控制显示范围

例:有如下的抛物线簇:
y ? (tan ? ) x ?
? ?

gx sec ?
2 2

2v

2 0

( g ? 9.8,v0 ? 200)

当?从15 变化到75 ,以15 为间隔时,绘出这组图形
?

程序: Clear[a,y,x] v=200;g=9.8; y[a_,x_]:=Tan[a]*x-g*x^2*Sec[a]^2/(2v^2)

Plot[Evaluate[Table[y[i,x],{i,Pi/12,5Pi/12,
Pi/12}]],{x,0,4000}]

② ListPlot [List],用于绘制散点 图。
{{注意,List的形式应为: }} x0 , y0 },{x1 , y1},??,{xn , yn

例:在同一坐标系下绘制下列两组散点图
p1={{0,0},{0,45},{5.3,89.6},{22.6,131.2}}; p2={{0,0},{2.68,44.8},{12.57,88.28},{27,130.3}};

程序:
g1=ListPlot[p1,PlotJoined->True, DisplayFunction -> Identity]; g2=ListPlot[p2,PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity]; Show[g1,g2,DisplayFunction -> $DisplayFunction];

③ ParametricPlot [{ fx , fy},{t,tmin,tmax}] 用于绘制形如{x = fx(t) , y = fy(t)}的参数方程图形。

例:绘制以点(3,4)为圆心,半径为2的圆。
ParametricPlot[{3+2Cos[t],4+2Sin[t]}, {t,0,2Pi}]

可增加如下选项:
AspectRatio->1, AxesOrigin->{0,0}

2. 其它二维图形 ① ContourPlot[ f, {x,xmin,xmax}, {y,ymin, ymax}],用于绘制形如z =f (x, y)的函

数的等高线图。
② DensityPlot[ f, {x,xmin,xmax}, {y,ymin, ymax}],用于绘制形如z =f (x, y)的函 数的密度图。

3. 三维图形 ① Plot3D[ f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] 绘制形如Z = f (x, y)的三维图形。

例:绘制以下的函数图形: Z = 10sin(x+siny)

命令:Plot3D[10 可增加选项:

Sin[x+Sin[y]],{x,-10,10},
{y,-10,10}] PlotPoints->40

② ParametricPlot3D [{ fx , fy , fz},
{t,tmin,tmax} ,{u,umin,umax}] 用于绘制形如{x = fx(t) , y = fy(t) , z = fz(t)}的参数图形。
例:画出抛物线y ?
?

v

2 0

?

g 2v
2 0

x ( x ? 0, y ? 0)绕
2

2g

y轴旋转60 所得的图形。 ? 9.8, v0 ? 200) (g

解:旋转所得的抛物面参数方程为: ? x ? r cos ? 2 ? ? z ? r sin ? ,其中? ? [0, ? ], r ? [0, 3 ? y ? a ? br 2 ? 其中a ? v
2 0

a b

]

,b ?

g 2v
2 0

2g

4. 利用函数包绘制特殊图形 载入图形函数包的方法:
<<类名`包名` 例:<<Graphics`Graphics`

PolarPlot[r,{t,tmin,tmax}] LogPlot[f,{x,xmin,xmax}] BarChart[list] PieChart[list]

绘制极坐标图形 画对数线性图

画出list的条形图 画出list的百分图

例:<<Graphics`ImplicitPlot`

ImplicitPlot[eqn,{x,xmin,xmax}]
f (x,y)=0的隐函数图形

绘制形如

例:绘制以点(3,4)为圆心,半径为2的圆。
ImplicitPlot[(x-3)^2+(y-4)^2==2,{x,0,5}]

第二章
幂级数、极限、微分与积分
1. 幂级数展开 Series[expr,{x, xo ,n}] 次的幂级数展开 求在点 x=xo 处至多n

例:求ex 在点 x=0处 x4 级幂级数展开

注:使用Normal函数可以去掉级数中的极小 项,从而转变成一般表达式。

2. 极限 Limit[expr,x-> xo] 求 x 逼近 xo时expr的极限
sin x x

例: lim
x ? ?0

lim
x ? ? ??

x ? 3x ? x
2

某些函数在一点处的极限随逼近方向不同而 不同,可用Direction选择方向: Limit[expr, x-> xo, Direction -> 1] 左极限 Limit[expr, x-> xo,Direction-> -1] 右极限 例:求1/x 的左右极限

3. 微分
D[ f ,{x,n}] Dt[ f ] 求f 的n阶偏微分 求f 的全微分

例:D[x^n,{x,3}]
Dt[x^2+y^2]

例:y = xarctgx,求其100阶导数及其在0 点的值

4. 积分
Integrate[ f , x] 求f 的不定积分 求 f 的定积分

Integrate[ f ,{x,xmin,xmax}]

Integrate[ f ,{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}]

求 f 的多重积分
例:?
1 x ?a
2 2 2

? sin(sin
?
2 0

x)

?

1 x ?a

sin(sin x)

1

第三章 线性代数
1. 构造矩阵和向量 Table[ f ,{i,m} ,{j,n}] 构造m×n矩阵,f 是 i, j的函数,给出[i, j]项值 Array[ f ,{m, n}] 构造m×n矩阵,[i, j] 项的值是 f [i, j] DiagonalMatrix[ List] 生成对角线元素为 List的对角矩阵 IdentityMatrix[n] 构造n阶单位阵

2. 截取矩阵块 M[[i]] Map[#[[i]]&, M] M[[i, j ]] 取矩阵M的第 i 行 取矩阵M的第 i 列 取矩阵M的i, j 位置的元素

M[[{i1,…,ir}, {j1,…,js}]] 矩阵M的r×s子 矩阵,元素行标为ik,列标为jk M[[Range{i0,i1}, Range{j0,j1}]] 矩阵M的从 i0到i1行, j0到j1列元素组成的子矩阵

3. 矩阵及向量的运算 M.N M*N 对M、N做矩阵乘法(向量内积) 将M、N的对应位置元素相乘

Outer[Times,M,N] 求M、N的外积
Dimensions[ M ] 给出矩阵M的维数

Transpose[ M ]
Inverse[ M ]

转置
求逆

Det[ M ]

方阵M的行列式值

MatrixPower[M,n] MatrixExp[M] Eigenvalues[ M ]

n阶矩阵幂 矩阵指数 M的特征值

Eigenvectors[M]

M的特征向量

第四章
求解方程(组)、微分方程(组)
1. 求解多项式方程(组)
Solve[ eqns ,vars] 求解多项式方程

Solve[{eqn1,…eqnn}, {var1,…varn}]
求解多项式方程组

注:Solve只能给出多项式方程(组)的解, 因此它们只适用于幂次不高、规模不大的多 项式方程(组)。

NSolve[ eqns ,vars]

求多项式方程的数值解

NSolve[{eqn1,…eqnn}, {var1,…varn}] 求多项式方程组的数值解 对于数值解,可以直接用NSolve求解 例:求解以下方程(组) x2+ax=2 x3+34x+1=0
? x 3 ? y 3 ? xy ? ? x ? y ? xy ? 1

x5-1331x+11= 0
?ax ? by ? 1 ? ? x? y ?2

2. 求解微分方程(组)

DSolve[ eqns ,y[x], x]
DSolve[ eqns ,y, x]

求解y[x]的微分方程

以纯函数的形式给出y的解 DSolve[{eqn1, eqn2,…}, {y1, y2, …}, x] 求解微分方程组 例:求解以下微分方程(组)

y’ = y
? x' ? ? y ? ? y' ? x

y’’- k y =1
? y' ? 2 y 并求x ? 2.8时函数y的值 ? ? y (0) ? 1

第五章 数值处理
1. 数值积分 NIntegrate[expr , {x,xmin,xmax}] 注意,NIntegrate直接计算数值积分,不先给 出符号结果,而Integrate[…]//N会尽可能的 先求精确解的形式。 2. 数值根求解

FindRoot[lhs=rhs , {x, x0}] 以x0为初始点求方程的数值解

FindRoot[lhs=rhs , {x, {x0 ,x1}}] 给出两个 初值求数值根(方程的符号导数无法求出 时,必须使用此形式)

FindRoot[{eqn1, eqn2,…}, {x, x0},{y, y0 }, …] 对联立方程 eqni 求数值解
例:求解下列方程(组) cosx =x
?sin x ? cos y ? ? x ? y ?1

x600+5x+3=0

3. 微分方程数值解

NDSolve[{eqn1, eqn2,…}, y,{x,xmin,xmax}]
求函数y的数值解,x的范围为{xmin,xmax} NDSolve[{eqn1, eqn2,…},{y1, y2, …}, {x,xmin,xmax}] 求函数yi的数值解 注:以上两种形式用于求解常微分方程(组) NDSolve以InterpolatingFunction目标生成函 数yi的解。 InterpolatingFunction目标提供独 立变量x在xmin到xmax范围内yi的近似值。

例:求解以下微分方程(组)并画出函数y的图形
? dy 2 2 ?( ) ? y ? 0 ? dx ? y 2 x ?0 ? 4 ?
? dx 2 ? dt ? ? y ? x ? dy ? ? 2x ? y ? ? dt ? ? x t ?0 ? y t ?0 ? 1 ?

在区间[0,1]上

在区间[0,10]上

NDSolve[{eqn1, eqn2,…}, y,{x,xmin,xmax}, {t,tmin,tmax}] 求由函数y构成的偏微分方 程的数值解 NDSolve[{eqn1, eqn2,…},{y1, y2, …}, {x,xmin,xmax} ,{t,tmin,tmax}]求由函数yi构 成的偏微分方程组的数值解

例:求下面微分方程的数值解并绘图。

? ?2 y ?2 y ? ? 2 2 ?t ?x ? ? ? 2 ?x ? y t ?0 ? e ? ? ? y x ? ?5 ? y x ?5 ? ? ?y ?0 ? t ?0 ? ?t

, x ? [ ?5,5], t ? [0,5]

4. 极大极小值

ConstrainedMax[ f, {inequalities}, {x, y, …}]
ConstrainedMax[ f, {inequalities}, {x, y, …}] 求由目标函数 f 和不等式约束inequalities 构成的线形规划

例:ConstrainedMax[x+y,{x<1,y<2},{x,

y}]

LinearProgramming[ c, m, b] 求使cx在 约束mx≥b和x≥0下取最小值的矢量x

FindMinimum[ f, {x, x0}] 求函数的局部极小值

以x0为初始点,

注:FindMinimum的用法与FindRoot完全相同。
例:求100 cos t ? 300 ? 100 sin t
2 2 2



t ? [0,2? ] 内的极小值
例:求x ? 3x y ? 5 y ? x ? y在x, y ? [0,1]
4 2 2

内的极小值

5. 曲线拟合

Fit [ data, funs, vars]
用变量为vars的函数funs拟合一组数据data

第 二 篇
Matlab

第一章 矩阵及其基本运算
一、矩阵的表示 1.实数值矩阵生成 2.复数矩阵生成 3. 符号矩阵的生成 用sym函数或syms函数 4. 大矩阵的生成 .m文件及函数的定义

5. 特殊矩阵的生成
全零阵、全1阵、单位阵:zeros,eye,ones 随机矩阵: 均匀分布: rand

标准正态分布:
线性等分向量:

randn

linspace

Hilbert矩阵:
魔方矩阵:

hilb
magic

二、矩阵操作 1.取矩阵中的元素 2.增加及删除矩阵中的元素 3.矩阵的旋转与变形

三、矩阵运算

1. 加减法运算
2. 乘法运算

① 矩阵乘法 ② 数组乘法(数乘) ③ 向量内积、外积、叉乘
*④

矩阵的卷积与解卷、张量积

3. 集合运算 并:union
返回a、b的并集,即c = a∪b

交:intersect
差:setdiff

返回向量a、b的公共部分,即c= a∩b

返回属于a但不属于b的不同元素的集合,C = a-b

交集的非: setxor

检测集合中的元素: ismember

4. 除法运算
左除:\ 右除:/

x=A\b是方程 Ax =b的解
x=b/A是方程 xA=b的解。 5. 矩阵乘方 6. 矩阵函数 expm logm sqrtm

7. 方阵的行列式:

det

8. 方阵的逆:
9. 矩阵的迹:

inv
trace

10. 矩阵的秩:

rank

11. 矩阵和向量的范数 norm norm(x,inf ) 12. 其它运算 欧几里德范数 无穷范数

四、矩阵分解
1.LU分解: [L,U]=lu(X)

U为上三角阵,L为下三角阵或其变换形式,满足LU=X

2.QR分解:

[Q,R]=qr(A)

求得正交矩阵Q和上三角阵R,Q和R满足A=QR

3.特征值分解

[V,D]=eig(A)

计算A的特征值对角阵D和特征向量V,使AV=VD成立

五、其它

二次型、秩与线性相关性、稀疏矩阵

第二章 Matlab语言基础
一、M文件

1.脚本文件:在Matlab的工作空间内 对数据进行操作。
2.函数文件:可接受输入参数并返回 输出参数,其内的变量不占用Matlab工作空 间,第一行包含function

注: M文件的调用以文件名为准。
%为Matlab的注释符,其后的语句 不执行(只对当前行有效)。

二、Matlab语言
1.逻辑判断符 >= <= > isequal函数 2.逻辑运算符 & | ~

<

==

~=

3.条件语句 ① if-else语句

② switch-case语句

4.循环语句
① for语句

② while语句
三、编程技巧

1.调试程序
2.输入输出参数

nargin、nargout

第三章 Matlab图形处理
一、二维图形
1. 基本二维图形 Plot a. b. c. d. 用法如下: Plot (X) Plot (X,Y) Plot (X1,Y1,X2,Y2,…) Plot (X1,Y1,LineSpec1,X2,Y2, X3,Y3, …)

其中参数LineSpec定义线条的属性。Matlab 中可以对线条定义如下的特性:
a. 线型: -(实线) -- (划线) :(点线) -. (点划线)

b.
c.

线条宽度: LineWidth
颜色

d.
e.

标记类型
标记大小:Markersize

fPlot

在指定的范围limits内画出一元函数y=f (x)的图形

用法:fplot('function',limits)

注意:函数function必须是一个M文件函数 或者是一个包含变量 x,且能用函数eval计算的 字符串。
例:在同一坐标系下绘制tgx和的sinx图形
fplot(‘[tan(x),sin(x)]’,[-1,1,0,2*pi])

注意坐标系调整函数axis的作用和用法

2. 图形标注
title
为图形添加标题

xlabel
ylabel

为x轴加标注
为y轴加标注

text
gtext

在指定位置上添加文本字符串
用鼠标在图形上放置文本

legend

为图形添加图例

3. 特殊二维图形 polar 用法如下: polar(theta,rho,LineSpec)
画极坐标形式函数r = f (θ )的极坐标图

例:

t = 0:.01:2*pi;
polar(t,sin(3*t).*cos(2*t),'--r')

4. 其它二维图形 pie
用x中的数据画一饼形图

semilogx x轴对数图形
loglog 双对数图形
用二维垂直条形显示向量或矩阵中的值

bar hist

barh 用二维水平条形显示向量或矩阵中的值
二维条形直方图,可以显示出数据的分 配情形

二、三维图形
1. 曲面与网格图形命令 mesh
生成由X,Y和Z指定的网线面

在使用该命令前应先用meshgrid函数生成可用 于计算函数值的矩阵网格。 通常用法如下: [X,Y ]=meshgrid(a) Z= f (X,Y) mesh(X,Y,Z)

2. 三维图形的其它形式
contour pie3 surf quiver surfnorm
曲面的等高线图 三维饼图 在矩形区域内显示三维带阴影曲面图 矢量图或速度图 计算与显示三维曲面的法线

第四章 Matlab应用
一、多项式运算
二、极限 limit (F, x, a, ‘right’ ) x趋向于a时F的极限

三、导数
diff (S, v, n)

四、积分
1. 符号积分

a. 不定积分
b. 定积分

int (S, v)
int (S, v, a,b)

2. 数值积分
a. 一元函数

quad ( fun,a,b)
trapz ( X, Y )

自适应Simpson法
梯形法

b. 二元函数
dblquad ( fun,xmin,xmax,ymin,ymax)

在矩形区域[xmin,xmax,ymin,ymax]上计算二 元函数z=f (x,y)的二重积分
quad2ggen ( fun,xlower,xupper,ylower,yupper) 在任意区域[xlower,xupper,ylower,yupper]上计 算二元函数z=f (x,y)的二重积分

五. 插值
a. interp1( X,Y,xi,method) 一维数据插值

b. interp2( X,Y,Z,xi, yi,method) 二维数据插值

例:已知1900年到2010年每隔十年的数据如下:
75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 256.344 150.697 267.893 179.323 203.212 226.505 249.633

用插值法求1995年的数据。

六、方程(组)求解
1. 方程(组)的符号解 solve (eq) 例:
solve('x^2+3x-6') solve('-x^2*y+3*x-6','x+y^2-1')

求方程的符号解

solve (eq1,eq2,…eqn) 求方程组的符号解

2.方程(组)的数值解 fzero (fun,x0) 用数值方法求方程根

fsolve(fun,x0) 例:求下列方程的根
2 x1 ? x 2 ? e?x1 ? x1 ? 2 x 2 ? e? x 2

用数值方法求方程根

解:先建立方程函数文件,并保存为myfun.m function F = myfun(x) F = [2*x(1) - x(2) - exp(-x(1)); -x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2))]; 然后调用优化程序 x0 = [-5; -5]; % 初始点 [x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options)

七、积分变换 1. Fourier积分变换
对符号单值函数 f 中的缺 省变量 x(由命令findsym确定)计算Fourier变换形式

F = fourier( f ) 例:
syms x w u v

f = sin(x)*exp(-x^2) F = fourier(f)

注:用eval函数计算得出的表达式

f = ifourier(F) 逆Fourier积分变换

Y = fft(X)

快速Fourier变换

2. Laplace变换
输出参量L = L(s)为有缺 省符号自变量t的标量符号对象F的Laplace变换

L = laplace(F) 例:
syms x s t v

f1= sqrt(t);
L1 = laplace(f)

F = ilaplace(L) 3. Z变换
计算z-变换

逆Laplace变换

F = ztrans(f )

对缺省自变量为n的单值函数f

八、求解微分方程(组)
1. 常微分方程(组)符号解 dsolve(eq1,eq2,… ) 例:
dsolve(‘Dy=1+y^2’,’y(0)=1’) dsolve('D3u=u','u(0)=1','Du(0)=-1', 'D2u(0)=pi')

缺省独立变量为t

2. 常微分方程(组)数值解
ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、de23t、

ode23tb

3. 偏微分方程数值解 ① assempde 单的Poission方程(一类特 殊的椭圆型方程),能求解的方程形如:
?? ?2u ? 1 ? ? u ?G ? 0

G ? {(x, y) x2 ? y2 ? 1 }

, ,

② hyperbolic 型方程:

仅能求解如下形式的双曲

?? 2u ? ? 2u ? 2u ? 2u ? ? ?t 2 ? ? ?x 2 ? ?y2 ? ?z2 ? ? 0 ? ? ? u t ?0 ? 0 ? ? ?u t ?0 ? 0 ? ?t ?

G ? {(x, y, z) 0 ? x, y, z ? 1 }

③ parabolic 型方程:

仅能求解如下形式的抛物



??u ? ? 2u ? 2u ? 2u ? ?? 2 ? ? ?0 ? 2 2? ?y ?z ? ? ?t ? ?x ? u ?G ? 0 ?
G ? {(x, y, z) 0 ? x, y, z ? 1 }

九、极值问题(优化工具箱)
1. 无条件极值问题 fminu ( fun, x0 ,options) 2. 条件极值问题

constr ( fun, x0 ,options)
3. 有界条件问题

constr ( fun, x0 ,options, VLB, VUB)


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