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山东省淄博市三校2015-2016学年高二上学期期末联考数学(理)试题


山东淄博淄川一中 2015-2016 学年度高二第一学期期末学分认定考试

数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(填空题和解答题)两部分。满分 150 分; 考试 时间 120 分钟.考试结束后,监考教师将答题纸和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷(共 50 分)
注意事项: 本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分, 共

4 页.满分 150 分, 考试用时 120 分钟.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项:
1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类 填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第I卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不 能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.下列双曲线中,渐近线方程为 y ? ?2 x 的是( A. x ?
2

)

y2 ?1 4

B.

x2 ? y2 ? 1 4

C. x ?
2

y2 ?1 2
)条件

D.

x2 ? y2 ? 1 2

2.设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 0 ”是“

1 1 ? ”的( a b

A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 3.在 ?ABC 中,如果 A.等腰三角形

a b = ,则该三角形是 cos B cos A
C.等腰或直角三角形 D.以上答案均不正确

B.直角三角形

4.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 1 ,那么 a4 的值为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 )

?x ? y ? 0 5.在平面直角坐标系中,不等式组 ? ? x ? y ? 4 ? 0 表示的平面区域的面积是( ?y ? 0 ?
A. 2 B. 4
2

C. 8

D. 16 )

6.若不等式 2kx A. (?3,0)

? kx ?

3 ? 0 的解集为空集,则实数 k 的取值范围是( 8
C. )

B. (??,?3)

?? 3,0?

D. (??,?3] ? [0,??)

7.下列命题中,说法正确的是(

http://www.100.com/?source=eduwk

A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”
2 2

B.“ 0 ? x ?

1 ”是“ x(1 ? 2 x) ? 0 ”的必要不充分条件 2
2

C.命题“ ?x0 ∈R,使得 x02 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ∈R,均有 x ? x ? 1 ? 0 ” D.命题“在 ?ABC 中,若 A ? B ,则 sin A ? sin B ”的逆否命题为真命题 8.等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,且 A.

a Sn 2n ,则 5 ? b5 Tn 3n ? 1
D.

2 3

B.

9 14

C.

20 31


7 9

9.在 ?ABC 中, a ? 2, A ? 30? ,C ? 45? , 则 S ?ABC =( A. 2 B. 2 2 C. 3 ? 1

D.

1 2

?

3 ?1

?

10 .已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F .短轴的一个端点为 M ,直线 a 2 b2
4 , 5

l : 3x ? 4 y ? 0交椭圆 E 于 A, B 两点.若 AF ? BF ? 4 ,点 M 到直线 l 的距离不小于
则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) A.

3 (0, ] 4

B. (0,

3 ] 2

C. [

3 ,1) 2

D. [ ,1)

3 4

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题纸中横线上。 11.已知等比数列 {an } 中, a3 ? ?2 ,那么 a2 ? a3 ? a4 的值为 12.如果 a ? 0 ,那么 a ? .

1 ? 2 的最小值是 a

. .

2 2 2 13. 若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x ? y ? 1的一个焦点, 则p?

14. 设 ?ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c , 若 a ? 3 , sin B ? 则b ? 15. 已 知 f ( x)? .

1 π ,C ? , 2 6

m( ? x

m ? 5 ) (? x
.

m ?, 3g )( x) ? 2x ? 2 . 若 ?x ? R, f ( x) ? 0 或

g ( x) ? 0 ,则 m 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤。
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16.(本小题满分 12 分) 如图 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,且 AD ? AC , sin ?BAC ?

2 2 , 3
A

AB ? 3 2 , BD ? 3 .
(Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求 cos C . (注: sin(
C

D
(16 题图)

B

?
2

? ? ) ? cos ? )

17. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,命题 q :对任意实数 x 不等式 已知命题 p :方程 2 m
x2 ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 恒成立.
(Ⅰ)若“ q ”是真命题,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若“ p ? q ”为假命题, “ p ? q ”为真命题,求实数 m 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 已知直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F ,且与抛物线相交于 M , N 两点. (Ⅰ)当直线 l 的斜率为 1 时,求线段 MN 的长; (Ⅱ)记 t ?

1 1 ? ,试求 t 的值. | FM | | FN |

19.(本小题满分 12 分) 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A , B 两种奶制品.生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨, 使用设备 1 小时,获利 1000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨,使用设备 1.5 小时,获 利 1200 元.要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍,设备每天生产 A , B 两种 产品时间之和不超过 12 小时. 假定每天至多可获取鲜牛奶 15 吨,问该厂每天生产 A , B 两种奶制品各多少吨时,该厂获利最大. 20.(本小题满分 13 分) 数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? ? ? ? ? na n ? 4 ? (Ⅰ) 求 a3 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 前 n 项和 Tn ;

n?2 , n ? N *. 2n ?1

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(Ⅲ)设 bn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ?...... ?log 2 an , cn ?

1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和. bn ?1

21.(本小题满分 14 分)

x2 y2 2 如图,椭圆 E : 2 + 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率是 ,过点 P(0,1) 的动直线 l 与椭圆相 a b 2
交于 A , B 两点,当直线 l 平行与 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2 . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)在 y 轴上,是否存在与点 P 不同的定点 Q ,使得 点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

QA PA 恒成立?若存在,求出 ? QB PB

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数学试题答案
选择题答案(文理) :AACDB CDBCB
11. 12.

?8 4

. .

13. 【答案】 2 2 14. b ? 1 .

15.则 m 的取值范围是

(?4, 0)

.

16.(Ⅰ)由 AD ? AC 知,
sin ?BAC ? sin(?DAB ?

?
2

) ? cos ?DAB ?

2 2 3

?????????2 分

在△ABD 中,由余弦定理知 BD2 ? AD2 ? AB 2 ? 2 AB ? AD cos ?BAD 即 AD 2 ? 8 AD ? 15 ? 0 ,??????????4 分 解得 AD ? 3 或 AD ? 5 显然 AB ? AD ,故 AD ? 3 .??????????6 分 (Ⅱ)由 cos ?DAB ?

2 2 1 得 sin ?BAD ? ????????8 分 3 3
BD AB , ? sin ?BAD sin ?ADB

在△ABD 中,由正弦定理知 故 sin ?ADB ?
cos C ? cos(?ADB ?

6 ??????????10 分 3
) ? sin ?ADB ? 6 .??????????12 分 3

?
2

2 17.解: (Ⅰ)因为对任意实数 x 不等式 x ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 恒成立,

所以 ? ? 4m ? 4(2m ? 3) ? 0 ,解得 ? 1 ? m ? 3  , .????2 分
2

又“ q ”是真命题等价于“ q ”是假命题, .????3 分 所以所求实数 m 的取值范围是 ?? ?,?1? ? ?3, ? ?? .????4 分
2 17.解: (Ⅰ)因为对任意实数 x 不等式 x ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 恒成立,

所以 ? ? 4m ? 4(2m ? 3) ? 0 ,解得 ? 1 ? m ? 3  , .????2 分
2

又“ q ”是真命题等价于“ q ”是假命题, .????3 分
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所以所求实数 m 的取值范围是 ?? ?,?1? ? ?3, ? ?? .????4 分

x2 y2 ? ? 1表示焦点在x轴上的椭圆,所以 0 ? m ? 2 ,??6 分 (Ⅱ) 因为方程 2 m

“p ? q”为假命题,“ p ? q”为真命题,等价于 p, q恰有一真一假,???7 分

?0 ? m ? 2 ,无解????9 分 当p真q假时, ? ?m ? ?1或m ? 3 ?m ? 0, 或m ? 2 当p假q真时, ,则 ? 1 ? m ? 0, 或2 ? m ? 3 ,????11 分 ? ? 1 ? m ? 3 ?

?? 1,0? ? ?2,3? .????12 分 综上所述,实数 m的取值范围是
18.(本小题满分 12 分) 已知直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F ,且与抛物线相交于 M , N 两点. (Ⅰ)当直线 l 的斜率为 1 ,求线段 MN 的长; (Ⅱ)记 t ?

1 1 ? ,试求 t 的值. | FM | | FN |

解: (Ⅰ)由题意知,抛物线的焦点 F (1,0) ,准线方程为: x ? ?1 .????1 分 设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,由抛物线的定义知

| MF |? x1 ? 1 , | NF |? x2 ? 1,
于是 | MN |?| MF | ? | NF |? x1 ? x2 ? 2 .??????3 分 由 F (1, 0) ,所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,

解方程组 ?

? y ? x ?1 2 ,消去 y 得 x ? 6 x ? 1 ? 0 .??????4 分 2 ? y ? 4x

由韦达定理得 x1 ? x2 ? 6 , 于是 | MN |? x1 ? x2 ? 2 ? 8 所以,线段 MN 的长是 8 .??????????6 分 (Ⅱ)设 M ( x1, y1 ),N ( x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为 x ? my ? 1

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联立 ?

? x ? my ? 1 得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , ? ? 16m 2 ? 16 ? 0 2 ? y ? 4x
??????????8 分

y1 ? y2 ? 4m , y1 y 2 ? ?4

因为, y1 y2 ? ?4 ? 0 , ? y1,y 2 异号,又

t?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 2 2 | FM | | FN | 1 ? m | y1 | 1 ? m | y2 | 1 ? m y1 y2
1 ( y1 - y2 )2 1 ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? ? ? 1 ? m2 ( y1 y2 )2 1 ? m2 ( y1 y2 )2
??????????11 分

?t 2 ?
?

1 16m 2 ? 16 ? ?1 16 1? m2

所以 , 所求 t 的值为 1 . ??????????12 分 方法二:设 M ( x1 , y1 ),N ( x2 , y2 ) , 当直线 l 的斜率不存在时, M (1, 2),N (1, ?2) , t ?

1 1 ? ? 1;???7 分 | FM | | FN |

当直线 l 的斜率不存在时,设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 1)

联立 ?

? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 2 消去 x 得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 , ? ? 16k ? 16 ? 0 2 y ? 4 x ?
2k 2 ? 4 4 ? 2 ? 2 , x1 x2 ? 1 ??????????9 分 2 k k

x1 ? x2 ?

t?

x1 ? x2 ? 2 1 1 1 1 ? ? ? ? | FM | | FN | x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1

4 ?4 k2 ? ? 1 ??????11 分 4 1? 2 ? 2 ?1 k
所以 , 所求 t 的值为 1 . ??????????12 分 19.(本小题满分 12 分) 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A , B 两种奶制品.生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨, 使用设备 1 小时,获利 1000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨,使用设备 1.5 小时,获 利 1200 元.要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍,设备每天生产 A , B 两种
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产品时间之和不超过 12 小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量 15(单位:吨) ,问该厂每天 生产 A , B 两种奶制品各多少吨时,该厂获利最大. 解:设每天 A , B 两种产品的生产数量分别为 x , y ,相应的获利为 z ,则有

? 2 x ? 1.5 y ? 15, ? x ? 1.5 y ? 12, ? ? ? 2 x ? y ? 0, ? ? x ? 0, y ? 0,
目标函数为 z ? 1000 x ? 1200 y .

????4 分

????5 分
y

10 8 B ( 3 ,6 )

O

A ( 0 ,0 )

C ( 7 . 5 ,0 )

12

x

上述不等式组表示的平面区域如图,阴影部分(含边界)即为可行域.????7 分 作直线 l : 1000 x ? 1200 y ? 0 ,即直线 x ? 1.2 y ? 0 . 把直线 l 向右上方平移 到 l1 的位置, 直线 l1 经过可行域上的点 B , 此时 z ? 1000 x ? 1200 y 取得最大值. ???? 8分 由?

?x ? 2 y ? 0 解得点 M 的坐标为 ? 3,6 ? .????10 分 ?2 x ? 1.5 y ? 15
∴当 x ? 3 , y ? 6 时,

zmax ? 3?1000 ? 6 ?1200 ? 10200 (元).

答:该厂每天生产 A 奶制品 3 吨, B 奶制品 6 吨,可获利最大为 10200 元.?12 分 20.(本小题满分 13 分) 数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? ? ? ? ? na n ? 4 ? (Ⅰ) 求 a3 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 前 n 项和 Tn ;

n?2 , n ? N *. 2n ?1

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(Ⅲ) (理科)设 bn ? log2 a1 ? log2 a2 ? ...... ? log2 an , cn ? 项和. 解: (Ⅰ)令 n ? 1 ,得 a1 ? 1 , 令 n ? 2 ,有 a1 ? 2a2 ? 2 ,得 a2 ? 令 n ? 3 ,有 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4 ?

1 ,求数列 ?cn ? 的前 n bn ?1

1 , 2

1 5 ,得 a3 ? .????3 分 4 4 n ?1 (Ⅱ)当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? (n ? 1)an ?1 ? 4 ? n ? 2 , 2 n?2 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? (n ? 1)an ?1 ? nan ? 4 ? n ?1 , 2 n ?1 n ? 2 n ②―①,得 nan ? n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 ,???????5 分 2 2 2 1 所以 an ? n ?1 , 2 1 又当 n ? 1 时, a1 ? 1 也适合 an ? n ?1 , 2 1 ? 所以, an ? n ?1 ( n ? N )???????7 分 2
(Ⅲ) (理科) bn ? log2 a1 ? log2 a2 ? ... ? log2 an

① ②

? ?1 ? 2 ???? ? (n ? 1)
?? n(n ? 1) 2
???????9 分

故 cn ?

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn?1 n(n ? 1) n n ?1

???????10 分

1 1 1 1 1 2n c1 ? c2 ? ... ? cn ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? ??12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

2n 1 } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

???????13 分

21.(本小题满分 14 分)

x2 y2 2 如图,椭圆 E: 2 + 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率是 ,过点 P(0,1) 的动直线 l 与椭圆相 a b 2
交于 A , B 两点,当直线 l 平行与 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2 . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

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(Ⅱ)在 y 轴上,是否存在与点 P 不同的定点 Q ,使得 点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

QA PA 恒成立?若存在,求出 ? QB PB

??????????1 分

解得 a ? 2, b ? 2 ,

??????????3 分 ??????????4 分

x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆的方程为 4 2

(Ⅱ)由点 Q 在 y 轴上,可设点 Q 的坐标为 (0, y0 )

??6 分

??????????10 分
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??????????8 分

??????????13 分

??????????14 分

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