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经典数学归纳法类型题


经典数学归纳法题型 一、归项放缩法 由下列不等式:1 ?

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 ,1 ? ? ? 1,1 ? ? ? ? ? ? ,1 ? ? ? ? ? ? 2,? 你 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15

能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明。有何变式? 二、糖水原理放缩法 试比较 n
n ?1

与 (n ? 1)n 的大小,用数学归纳法证明之!试想还有其他什么方法?

三、整除问题类型 略 四、形式比较类型 已知数列 {an } 中, an ? 2n ? 1,求证: (1 ? 五、几何类型题 空间内有 n 个平面,设这 n 个平面最多将空间分成 an 个部分。 (1)求 a1, a2 , a3 , a4 ; (2)写出 an 关于 n 的表达式并用数学归纳法证明 六、三角函数类型题 已知函数 f 0 ( x) ? (1)求 2 f1 ( x) ?

1 1 1 2 3 )(1 ? )?(1 ? ) ? 2n ? 1 。 a1 a2 an 3

?

sin x ( x ? 0), 设 f n ( x) 为 f n?1 ( x) 的导数, x

f 2 ( ) 的值; 2 2

?

(2)证明:对于任何的 n,等式 | nfn?1 ( ) ?

?

?

4

? 2 f n ( ) |? 都成立。 4 4 2

七、导函数思想类型题 设 f n ( x) 是等比数列 1, x, x ,?, x 的各项和,其中 x ? 0, n ? N , n ? 2.
2 n

( 1 ) 证 明 : 函 数 Fn ( x) ? f n ( x) ? 2 在 ( ,1) 内 有 且 仅 有 一 个 零 点 ( 记 为 xn ) ,且

1 2

xn ?

1 1 n?1 ? xn ; 2 2

(2) 设有一个与上述等比数列首项、 末项、 项数分别相同的等差数列, 其各项和为 gn ( x) , 比较 f n ( x) 和 gn ( x) 的大小。

1

八、构造类型题 已知函数 f ( x) 满足: ①对任意实数 x , y 都有 f ( x ? y) ? 1 ? f ( x) ? f ( y) , 且 f ( ) ? 0; ②当 x ?

1 2

1 时, f ( x) ? 0 . 2 1 1 (1)求证: f ( x ) ? ? f ( 2 x ) ; 2 2 1 1 1 (2)用数学归纳法证明:当 x ? [ n?1 , n ] 时, f ( x) ? 1 ? n 2 2 2

九、数列通项归纳类型题 1? 1? 设正数数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= ?an+ ?,试推测出 an 的表达式,并用数学归 an? 2? 纳法加以证明.

十、数列比较大小的类型题

1.已知数列{an}满足 an+1=-a2 n+pan(p∈R),且 a1∈(0,2),试猜想 p 的最小值, 使得 an∈(0,2)对 n∈N*恒成立,并给出证明. 1 2.在数列{an}中,a1=1,an+1=c-a .
n

5 1 (1)设 c=2,bn= ,求数列{bn}的通项公式; an-2 (2)求使不等式 an<an+1<3 成立的 c 的取值范围. an-2 5 1 解 (1)an+1-2=2-a -2= 2a ,
n n

1 2an 4 = = +2,即 bn+1=4bn+2. an+1-2 an-2 an-2 2? 2 ? bn+1+3=4?bn+3?,又 a1=1, ? ? 1 故 b1= =-1, a1-2
? 2? 1 所以?bn+3?是首项为-3,公比为 4 的等比数列, ? ?

4n-1 2 2 1 n -1 bn+3=-3×4 ,bn=- 3 -3.
2

(2)a1=1,a2=c-1,由 a2>a1,得 c>2. 用数学归纳法证明:当 c>2 时,an<an+1. 1 ①当 n=1 时,a2=c-a >a1,命题成立;
1

②设当 n=k 时,ak<ak+1, 则当 n=k+1 时,ak+2=c- 1 ak+1 1 >c-a =ak+1.
k

故由①②知当 c>2 时,an<an+1. 1 1 当 c>2 时,因为 c=an+1+a >an+a ,
n n 2 所以 an -can+1<0 有解,

c- c2-4 c+ c2-4 c+ c2-4 所以 <an< ,令 α= , 2 2 2 10 当 2<c≤ 3 时,an<α≤3. 10 1 1 1 当 c> 3 时,α>3,且 1≤an<α,于是 α-an+1=a α(α-an)<3(α-an)<32(α
n

1 -an-1)<…<3n(α-1). 1 所以 α-an+1<3n(α-1), α-1 当 n>log3 时,α-an+1<α-3,an+1>3,与已知矛盾. α-3 10 因此 c> 3 不符合要求. 10? ? 所以 c 的取值范围是?2, 3 ?. ? ?

3


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